2023-2024学年甘南州卓尼县高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年甘南州卓尼县高二数学上学期期中考试卷

2023.11

(考试满分：150分考试时间：120分钟)

本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.直线％_2y_6=0与直线2x+y_2=0的交点坐标为()

A.(0,-3)B.(1,0)C.(3,-4)D.（2,-2）

2.在等比数列｛4｝中，%=1，。7=9，则“5=()

D.g或J

A.-3B.3C.3或-3

3.已知S“为等差数列｛6,｝的前w项和，若4=6,%=2,则58=()

A.64B.32C.28D.22

4.已知点(1,2)在圆C：f+y2一⑻-2y+：a=0外，则实数”的取值范围为()

A.{a|a>4}B.{a|a>-4}

C.{a[T<a<l或。>4}D,{a[T<a<—l或a>4}

5.已知点A(-1,3),8(3,1),过点。(0,-1)的直线/与线段AB相交，则/的斜率的取值范围为()

131「“2一

A.——B.-4,-

L42」L3J

(1]「3)」2、

C.^-00,--p+oojD.-4]U+8

6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要

成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数；I(2^1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为

阿波罗尼斯圆.已知点0(0,0),4(3,0),动点P(x,y)满足震=则点尸的轨迹与圆

。:(％-1)2+:/=1的公切线的条数为()

A.1B.2C.3D.4

5s

7.已知S〃为等比数列前〃项和，若/=3,则谓=()

A.3B.6C.9D.12

8.已知圆。：（%—3）2+（丁一4）2=25,4,5为圆。上两点，且|/冏=8,P为圆。上一点，贝”PA+P@的

取值范围是（）

A.[4,16]B,[8,25]C.[1,9]D,[2,17]

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得（）分.

9.已知三条直线：直线4：ax+y-3=O,/2：x+y-l=O,/3：2x—y—5=O不能围成一个封闭图形，则

实数。的值可以是（）

A.-2B.1C.2D.3

10.在数列｛风｝中，a1=l,a2=3,V〃eN*M“+2=a“M-a"，S”为｛q,｝的前〃项和，则S?,,的值可以为

（）

A.OB.3C.4D.5

11.已知圆C:（x—3）2+（），-4『=1,点A（4,0）,B（（）,3）,P为圆C上一点，Q为直线A3上一点，则

（）

1OQ

A.|PQ|的最大值为]B.|PQ|的最小值为]

C.当N8AP最小时，|叫=4D.当NBAP最大时，|AP|=4

12.已知S,为等差数列｛4｝的前〃项和，若S2023<032024>。，则（）

A.使4>0的〃的最小值为2024

1^0121<1^0131

C.当S“取最小值时，〃=1012

D.｛9"为单调递减的等差数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线3》+6y一2=0的倾斜角为.

14.在数列｛4｝中，«,-2,VneN'>„«„+1则4。24=.（用指数式表示）

15.已知直线/：依7-。+2=0与圆C：（x-3『+V=9交于A,B两点，则质图的最小值为.

16.已知数列｛为｝的通项公式为=2〃-1,在处和处』之间插入％个2（〃eN*）形成一个新数列

｛/?„｝,则｛2｝的前2024项的和为.

四、解答题：本题共6小题、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知A（-1,1）,B（2,—2）,C（5,1）.

(1)求点A到直线BC的距离；

(2)求.ABC的外接圆的方程.

18.已知递增的等差数列｛4｝和等比数列｛包｝满足4=2仇=2,%=%,/=仇.

(1)求｛4｝和｛2｝的通项公式;

(2)若c“=a”+b”,求｛6｝的前〃项和S”.

19.已知.ABC的顶点8的坐标为(1,-2),AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y+l=0,

ZBAC的平分线所在的直线方程为x+7y-12=0.

(1)求点A的坐标；

(2)求直线AC的方程

31

20.已知数列｛%｝的前“项和为5”,GN*,S“.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)记勿=要，求数列｛2｝的前〃项和T..

21.已知圆C过点(1,1),圆心C在直线x+y=o上，且被直线x-y-1=0截得的弦长为指.

(I)求圆C方程；

(2)若A,8为圆C上两个不同的点，。为坐标原点，设直线。4,。8的斜率分别为匕,修，当勺・&=3

时，求的斜率女的取值范围.

22.在数列｛《,｝中，q=2且N",%]=3a“+2x3”.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵设%=巴史~,若也｝的前〃项和为S”，证明：S„<-.

4生用4

【答案】

1.D

【分析】联立方程，解之即可.

x-2y-6=0x=2

【详解】由《,解得《则交点坐标为(2,-2).

2x+y-2=0[y=-2

故选：D

2.B

【分析】令等比数列｛为｝的公比为4,根据等比数列的通项公式可得夕2=3,进而可求解.

【详解】令等比数列｛%,｝的公比为夕，则。7=%/，

所以/=9,解得d=3,

2

所以%=a3q=1x3=3.

故选：B.

3.B

【分析】由等差数列前〃项和公式及等差数列下标和性质求58.

【详解】S8=-~%)=4(/+%)=4&+4)=4X8=32.

故选：B

4.C

【分析】根据一般方程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可判断选项.

(-a)+(-2)—5a>0

详解】由题意得｛5，解得或。>4｝.

5-«-4+-a>0

[4

故选：C

5.D

【分析】先求得直线AC和直线BC的斜率，再利用数形结合法求解.

【详解】解：如图所示：

3-(-1)=2

=-4,

3-03

由图象知：当/的斜率不存在时，直线与线段A3相交,

故/的斜率的取值范围为(-8,-4]u

故选：D.

6.B

【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点P的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位

置关系，可得答案.

【详解】由题意知化简得*+1尸+歹=4,其圆心为3(-1,0),半径7；=2,

V(x-3)2+/2

又圆C的圆心C(l,0),半径4=1,所以|BC|=2,且目<18。|<4+2，

所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.

故选：B.

7.C

【分析】根据等比数列的性质计算即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

因为券=1+/=3,所以/=2,则率=1+广=1+23=9.故选：c.

8.A

【分析】设弦AB的中点为。，求出|CZ)|,由向量运算可得PA+PB=2PD=2(PC+CO),

由||pc|-|cE)||<|pc+cr>|<|PC\+\CD\,可得解.

【详解】设弦A8的中点为。，|AB|=8,圆C的半径r=5,,-.|CD|=>/52-42=3,

PA+PB=2PD=2(PC+CD),

又附-「。卜附+c*附|+加，

21|pc|-|CD||<|PA+<2(|pc|+|cz?|),又凶=5,.-.4<|PA+PB|<16.

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.ABC

【分析】根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即

可求得实数〃的值.

【详解】若4,A4中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，

若“〃2，由两直线平行与斜率之间的关系可得0=1；

若“〃3，由两直线平行与斜率之间的关系可得。=-2;

x+y—1=0

联立4,4可得，可知LA的交点为(2,-1)，

若人」2」3交于同一点，可得4=2,

故选：ABC.

10.ACD

【分析】利用列举法判断｛4｝为以6为周期的数列，又56=1+3+2—1-3-2=0,进而可得的值

只能为Sz.ScSe，计算即可.

【详解】4=1，。2=3,。“+2=。"+1-

2,a4=a3-a2=-l,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-2,

%=%—%=1'/=a?—。6=3,…

为以6为周期的数列，且56=1+3+2—1-3—2=0,

而V〃eN*,2〃被6除的余数只能为0,2,4,

所以§2“的值只能为§2=1+3=4,S4=1+3+2—1=5,S6=0,

故ACD正确，B错误.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】根据题意确定圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系逐项分析选项，即可得结论.

【详解】由题意可知圆C:（x-3）2+（y—4尸=1的圆心为C（3,4）,半径厂=1

点A（4,0）,B（0,3）,所以直线A3的方程为:+；=1,即3x+4y—12=0,

|3X3+4X4-12|13

设圆心C到直线AB的距离为dT

1QQ

Q

所以|尸。|的最小值为g，没有最大值，故A错误，B正确;

如图，

£m

当直线与圆相切时44P取到最大值NBAA和最小值

则此时切线长|AP|=|A©=|A刃=J|AC『一/=J（4一3）z+42-12=4,故C,D正确.

故选：BCD.

12.BC

【分析】根据52023<0,52024>0得到4012<°，♦3>°，且MoJ<k。/，得到A错误，BC正确；求

出公差d〉0,计算出3—」L=—>0,D错误.

72+1n2

【详解】AB选项，因§2023=2。23（0+%。23）=2023%"<0，

NUNJ2IvIZ

a_2024（。］+。2024）_1o/\n

S2024=A=1012（a1012+q（）［3）>0>

故.2<°吗013>0，且IqoJvMM，故4,>0的〃的最小值为1012,A错误，B正确；

C选项，因为《on<°，％013>0,故当〃=1012时，S“取得最小值，C正确;

D选项，设｛4｝的公差为d,因为。刈2<°，。1013>0,所以d>0,

n(n-\\d~(n-l]d

因为S“=na.+-------,所以」=q--------,

M12n12

故屋L』=q+网(〃-l)d_d

--------------------——7u»

n+1n222

S

故为单调递增的等差数列，D错误.

n

故选：BC

2兀

13.T

【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.

【详解】由题意得该直线的斜率为-百，故其倾斜角为7.

2兀

故答案为：—

3

14.21011

【分析】由数列递推式求得的，继而推出当〃22时4a=2,判断数列｛4｝的偶数项构成以1为首项,

an-\

公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式即可求得答案.

详解】由题意知数列｛《,｝中，1=2,V〃eN”,%a“M=2",

当〃=1时，ata2=2,:.a2=l,

当〃22时，a,i%=2"T,则3=2,

%

则数列｛4｝的偶数项构成以1为首项，公比为2的等比数列，

故外。24=々'2""27=23,

故答案为：21°”

15.2

【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可.

【详解】由"一>一。+2=0=。(*-1)一y+2=0知直线/过定点尸(1,2),

当直线/和直线CP垂直时，圆心到直线/的距离最大，最小，

此时|CP|=’(3-1)2+(-2'=2>/2.

根据弦长公式得|AB|的最小值为2亚二厨'=2J百=2.

故答案为：2

16.7891

【分析】依题意，确定数列｛2｝的前2024项所包含数列｛4｝的项，以及中间插入2的数量即可求和.

【详解】在数列｛〃"｝中，在4+1的前面的所有项的项数为2+(1+2+…+女)=£^<2024,

当上=62时，与二=2015,即在43的前面的所有项的项数为2015,又在《3与之间共有63个2,

所有数列｛2｝的前2024项中包含数列｛可｝的项有63项，中间插入2的数量为1+2+.+62+8=1961,

所有数列低｝的前2024项和为63(1+；63-1)+］961x2=7891.

故答案为:7891.

四、解答题：本题共6小题、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)3亚(2)X2+y2-4x-2y-4=0

【分析】(1)利用直线的两点式求得直线8c的方程为》-)」4=0,由点到直线距离公式即可求出结

果；

(2)设一ABC的外接圆的方程为/+产+或+尸=0,代入坐标联立解方程组即可求得结果.

【小问1详解】

y—(—2)X-2

直线BC的方程为；

［一(-2)5—2

化简可得x-y-4=0,

1-1-1-41

所以点A到直线BC的距离&=1/

A/1+(-1)

【小问2详解】

22

设ABC的外接圆的方程为x+y+DX+Ey+F=O,

将ARC的坐标代入，得

(-l)2+l2-Z)+£+F=0,—D+E+F=—2D=-4

«22+(-2)2+2£)-2£+F=0,即〈2。一2七+尸=一8解得<£'=一2；

52+l2+5£>+£+F=05O+E+F=—26[F=-4

故所求圆的方程为/+丁2一4%一2>-4=0.

2

18.(1)a“=2n,bn=2"'';(2)r+n+n-\.

【分析】(1)由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式;

(2)用分组求和法计算.

【小问1详解】

由已知q=2,伉=1,

设等差数列｛凡｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为夕,

2+d=q~3=2d=-\

由题意，,解得《或彳,(舍去)，

2+3d=q，[4=2匕=一］

,,_|

所以%=2+2("-l)=2/i,bn=2；

【小问2详解】

由(1)S„=(2+1)+(4+2)+..+(2〃+2"T)=(2+4+.+2〃)+(1+2+-+2,,_|)

〃(2+2〃)1-2"7,2,

=-------+-----=2"+/+〃-1.

21-2

19.(1)(-2,2)(2)3x—4y+14=0

【分析】(1)设点4的坐标，可得A8中点的坐标，且该点在直线x+7y-12=0上，结合两直线的位置

关系列出方程组，解之即可求解；

(2)利用点关于直线对称的关系求出点8关于直线x+7y-12=0的对称点9的坐标，结合直线的点斜

式方程即可求解.

【小问1详解】

(+］九—2、

设点则AB中点M的坐标为［一厂，一^一J，

由题意知点A在直线x+7y-12=0上，点M在直线2x-y+l=0上,

772+7/7-12=0(-

m=-2,/、

所以1cm+\n-2,八解得｛即点A的坐标为(—2,2).

2x-----------F1=0n-2.

22i

【小问2详解】

设点B关于直线x+7y-12=0的对称点为B'，则由角的对称性知点6'在直线AC上,

x+1y-2

设点B'的坐标为(x,y)，则点BB'的中点坐标为

22

y+2

x-1x=2

则〈解得《二’即点B'的坐标为(2,5).

X+1_^-^-12=0J=工

----+7x

I22

5-23

直线AB'的斜率为卜=,_(_2)=%,

3

所以直线A*即AC的方程为y-2=-(%+2),即3x—4y+14=0.

,,_|

20.(1)an=3

【分析】(1)利用与S.的关系，即可得到a.=3a,i，(〃N2),数列｛q｝是首项为1，公比为3的等

比数列，进而求出通项公式.

(2)由(1)得出/，利用错位相减法即可求得

【小问1详解】

3J3

由题知,5„_,>2),则a“=S“—S,T=](a,-4T)，(〃？2),

i3

整理得,即a“=3a,i，(〃N2),

31

令〃=1,4=百=]%-3,得4=1,所以数列｛4｝是首项为1,公比为3的等比数列,

则a”=1X3"T=3"i.

【小问2详解】

7几+1〃+123〃+1

由(1)得%=亡=丁，则/，=伪+%++b"=3+3r+'"+^yr，

n〃+1

・+—+

3〃

_2_2111〃+1n+1_5

相臧得=1+3+亨+…+诞一^7T

尹一5

【分析】(1)由题意，令C(G—C)且与直线x—y-1=0的距离4=与尹，半径r=结

合弦长列方程求参数c,即可得圆的方程；

(2)令直线AB为>=履+6,4(内，必),8(工2，%)，联立圆C，应用韦达定理及K-e=3得到

〃=3—左2NO,结合△>()求人的取值范围，注意人,右都存在.

【小问1详解】

由题意，令C(G—。)，圆C过点(1,1),则半径r=J(c_l)2+(_c—l)2=J2(c2+1),

|2c—l|

而C(c,-c)与直线x-y-l=0的距离d且圆被x-y—1=0截得的弦长为",

V2

(2clf2

所以储+*)2=-+|=2(c+1)，则c=0,

所以圆C的方程为V+y22.

【小问2详解】

由题意，令直线A3为>=依+。，4%1,弘),8(工2，%)，联立圆C，

22

可得(1+/2)为2+2kbX+从-2=0,则A=4k2b2-4(1+k)(b-2)>0,即2(1+X)>/,

2kbh2-2b2-lk2

所以玉+x=-则乂%=+比>（X[+x）+b2

2T+F2l+F

vvZ?2—2k2

由直线。4,08的斜率分别为K，&，月.尢山2=3,所以上匹=「——=3,