2023-2024学年河北省邢台重点中学高一（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省邢台重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合4={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则4U8=（）

A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8}

2.已知a>0,函数/。）=。/+取+•若殉满足关于％的方程23+6=0,则下列选项的命题中为假命题

的是（）

A.3%G7?,/（x）</（x0）B.3xER,/（x）>/（x0）

c.vxG/?,/（%）<y（x0）D.vxe/?,y（x）>/（x0）

3.若a>b,则下列正确的是（）

Ad〉/B.b-c<a-cC.ac>beD.；4

4.若a,£>>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围是（）

A.ab<1B.ab>9C.ab>3D.1<ab<9

5.已知全集U=R,集合4={x|0<x<8,xGR}和B={x|-3<x<5,xGZ}关

系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（）

A.3个B.4个C.5个D.无数个

6.已知X6R,则S0成立”是“|x-l|+|x-2|=1成立”的条件.（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

7.已知a6[-1,1]，不等式/+（a-4）x+4-2a>。恒成立，贝仕的取值范围为.（）

A.（-oo,2）U（3,+oo）B.（-00,1）u（2,+oo）

C.（-oo,l）U（3,+oo）D.（1,3）

8.下列结论中正确的个数是（）

①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；

②命题"mxe{y|y是无理数},/是有理数”是真命题；

③命题“a>b是浸>be?的必要不充分条件”是真命题；

④命题“mx>0,使久2+2x+1<0"的否定为"Vx<0,都有/+2x+1>0”；

⑤若x6R,则函数y=Vx2+3+的最小值为2.

JVxz+3

A.3B.2C.1D.0

9.某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T,前一半时间T以速度a匀速跑，后一半时间T以速度b匀

速跑；选手乙前半程|以速度a匀速跑，后半程|以速度b匀速跑；若a大b,则（）

A.甲先到达终点B,乙先到达终点

C.甲乙同时到达终点D.无法确定谁先到达终点

10.若集合4满足xG4必有:“，则称集合4为自倒关系集合.在集合M={-1,0鼻2,123,4}的所有非空

子集中，具有自倒关系的集合的个数为（）

A.7B.8C.16D.15

二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题有多项符合题目要求）

11.设集合/=口,9,机},B=若力nB=B,则满足条件的实数m的值是（）

A.0B.1C.3D.-3

12.下列命题正确的是（）

A.若a>6>0,m>0,则？<竺^

B.若正数a、b满足a+b=1,则—二+TT7—3

a+1b+13

C.若x>0,则2——：的最大值是2—4「

D.若％=（久-2）y,%>0,y>0,则％+2y的最小值是9

13.已知函数/（%）=一%aER,则下列叙述正确的是（）

A.若对V%6R都有/（%）>0成立，则一4<a<4

B.若mx6[1,2]使得/（%）>0有解，则a<4

C.若x2>0且%i丰%2使得f（%i）=f（%2）=0，则a>4

D.若f（x）<0的解集是[1,4],则a=5

14.设集合M={x\x=6fc+6Z},N=（x\x=6fc4-4,fc6Z},P=[x\x=3fc—2,k6Z},则下列说法

中正确的是（）

A.M=N建PB.（MUN）呈PC.MnN=0D.CPM=N

15.若a>0,b>Oy且2Q+Z?=1,则下列说法正确的是（）

A.帅有最大值:B.+，石有最大值「

C.工+E有最小值4D.4a2+*有最小值?

ab2

16.若m&e停,2],使得2就一版0+1<0成立是假命题，则实数4可能取值是

()

A.|B.2yT2C.3D.g

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

17.不等式与<1的解集为____.

x—2

18.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两

种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

19.若一元二次不等式2k/+依—J<。对一切实数刀都成立，贝।味的范围是.

O

20.已知实数a,b,c满足a?+4匕2+2c?=5,贝！|2ab+3c的最大值为.

四、解答题(本大题共4小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21.(本小题12.0分)

已知m>0,n>0,关于x的不等式/一mx-20<0的解集为{x|-2<尤<n}.

(1)求m,n的值；

(2)正实数a,b满足na+mb=2,求2+£的最小值.

22.(本小题12.0分)

已知集合A={x|x2+4x=0},B={x\x2+2(a+l)x+a2—1=0}.

(1)若4是B的子集，求实数a的值；

(2)若B是4的子集，求实数a的取值范围.

23.(本小题13.0分)

如图，设矩形4BCDG4B>BC)的周长为24,把它沿4c翻折，翻折后AB'交CC于点P,设4B=x.

(1)用x表示DP,并求出工的取值范围；

(2)求4ADP面积的最大值及此时x的值.

AB

24.(本小题13.0分)

已知函数f(X)=mx2—(m+l)x4-2,mER.

(1)设?n<I，解不等式f(%)<mx；

(2)设m>0,若当％G[2,+8)时/(x)的最小值为%,求m的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},

则4UB={1,2,357,8}.

故选：D.

利用并集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查二次函数的最值问题，全称量词命题和存在量词命题真假的判断，注意对符号三和V的区分和理解.

由劭满足关于％的方程2ax+b=0得出％=X。是二次函数的对称轴，由a>0可知二次函数有最小值.

【解答】

解：：与满足关于x的方程2ax+b=0,=-卷，

「a>0,.•.函数/■(%)在x=殉处取到最小值是/(-点)=/。0),

等价于/(X)>/(x0),所以命题B,。正确，C错误.

3x=4使得f。)<故命题A正确；

故选：C.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题.

由特值法即可判断4C。，由不等式的基本性质即可判断B.

【解答】

解：对于4,取a=1,b=-2,满足a>b,但a2<。2,故A错误；

对于B,由a>b,可得a—c>b—c,故8正确；

对于C,当c=0时，ac=be,故C错误；

对于。，取a=l,b=-1,满足a>b,但工>：,故。错误.

ab

故选股

4.【答案】B

【解析】解：因为ab=a+b+3,a,b>0,

所以ab=a+b+322，ab+3,BP(Vah')2-2Vab-3>0,当且仅当a=b=3时，等号成立；

解得ab>9或ab<-1(舍).

故选：B.

利用基本不等式及不等式的解法可得答案.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：全集U=R,集合力={x[0<x<8,xeR},B={x\-3<x<5,xEZ),

所以CuZ={x\x>8或x<0},

则阴影部分所表示集合为BClCy/1={x|-3<x<0,xeZ)={-2,-1,0).

故选：A.

由已知可知阴影部分所表示集合为BnCuA,结合集合的交集及补集运算即可求解.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：如果(x-l)(x—2)W0,则1SXS2,

此时-1|+|x-2|=%—1+2—x=1成立，

当既一1|+|2-x|=1=一(X—2)|,则(％—1)(卜一2)工0,

所以“(x—1)。-2)W0成立”是“氏一1|+设一2|=1成立”的充要条件，

故选：C.

解一元二次不等式得出的x的范围即可求解绝对值不等式，然后再根据绝对值不等式的性质即|a|+网=

\a-b\,得出abSO,由此即可判断求解.

本题考查了四个条件的应用，涉及到绝对值不等式的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了恒成立问题，体现了数学转化思想方法，“更换主元”是解答该题的关键，属于基础题.

把不等式看作是关于a的一元一次不等式，然后构造函数/•(a)=(x-2)a+x2—4%+4,由不等式在[-1,1]

上恒成立，得到楙°，求解关于a的不等式组得x的取值范围.

【解答】

解：令f(a)=(x-2)a+——轨+4,

则不等式/+(a-4)%+4-2a>0恒成立转化为f(a)>0恒成立(a6[-1,1]).

*(-1)>0mjf-(x-2)+/-4%+4>°,整理得:%2—5%+6>0

1/(1)>。'1%—24-%2—4%4-4>0—3x+2>0'

解得：x<1或%>3.故x的取值范围为(一8,1)u(3,4-00).

故选：C.

8.【答案】A

【解析】解：对于：①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题，故①正确；

②命题匕％E{y|y是无理数},令％故/是有理数”是真命题，故②正确；

③命题当Q>b时，当c=0时，贝ijac?=be?,故tic?>be2不成立，反之成立，故"Q>b是ac?>儿2的必

要不充分条件”是真命题，故③正确；

④命题"3%>0,使/+2%+140”的否定为“V%>0,都有/+2%+1>0"，故④错误；

⑤若xeR,则函数y=7/+3+令，#+3=2/3),piijy=t+由于该函数在［1,+8)

上单调递增，故函数丫=仃11+7臬在口,+8)上的最小值为二+义=手，该命题为假命题.

VX^+3V33

故选：A.

直接利用存在量词，特称命题和全称命题，命题的否定，充分条件和必要条件，基本不等式和对勾函数的

性质判断①②③④⑤的结论.

本题考查的知识要点：特称命题和全称命题，命题的否定，充分条件和必要条件，基本不等式和对勾函数

的性质，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于中档题和易错题.

9.【答案】A

【解析】解：对于甲，前一半时间g以速度a匀速跑，后一半时间(以速度b匀速跑,

TT2s

则QX-4-hX-=S,即T

a+b'

对于乙，乙用的时间为北=l+l=S(a+b),

1ab2ab

22

r—7一半乎=S[萼W学]=—5名%<0,即T<T1，即甲先到达终点.

1a+b2abL2(a+b)abJ2(a+b)ab

故选：A.

根据已知条件，分别求出甲，乙所用的时间，再结合作差法，即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查学生掌握元素与集合关系的判断，理解子集的定义，是一道基础题.学生做题时注意VX64都

有:G4这个条件.

【解答】

解：根据新定义，集合M中的元素1和-1倒数等于本身，满足条件，2个元素；

2和最集合相同，只能选择1个，即1个元素；

3和3只能选择1个，

所以共有4个元素满足题意.

集合元素的个数有4个，自倒关系的集合的个数为：24-1=15个.

故选D.

11.【答案】ACD

【解析】解：AnB=B,

则BU4

当62—TH时，解得m—0或m=1,

当血=0时，符合题意，当m=l时，不符合集合元素的互异性，

当m2=9,解得m=3或一3,符合题意，

综上所述，满足条件的实数小的值是0,3,-3.

故选：ACD.

根据已知条件，结合集合的包含关系，以及集合元素的互异性，即可求解.

本题主要考查集合的包含关系，以及集合元素的互异性，属于基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：对于选项A,

aa+m_(Q—

bb+mb(b+m)'

va>Z?>0,m>0,

aa+m一八

二厂诉>d

aa+m

,<,B>百

故命题不正确;

对于选项B,

•・•Q+b=1,

・•.a+l+b+l=3，

11

,a+b+1

111

=3-(^+i+m)-(a+1+fa+1)

1b+1Q+1

=3-(aTT+y+T+2)

-r

当且仅当得=得,即a=b/时，等号成立；

故命题正确；

对于选项C,

V3%+->23x・±=4C，

xyjx

当且仅当3x=立即工=浮时，等号成立;

x3

***2—3x—W2—4yl~3,

x

故2-3%-:的最大值是2-4C，

故命题正确；

对于选项D,

vx=(%—2)y,

・,・％+2y=xy9

1,21

-I—=1,

12

•••x+2y=(x+2y)(-+-)

yx

3+4

yx

当且仅当-=?,即x=4,y=2时，等号成立;

yx

故％+2y的最小值是8,

故命题不正确；

故选：BC.

对于选项4作差法比较g与胖的大小即可；

ub-vm

对于选项B,化简a+l+b+l=3,士+9(空+鬻+2),从而利用基本不等式判断；

对于选项c,利用基本不等式判断即可；

对于选项。，化简得:+9=1,x+2y=?+?+4,利用基本不等式判断即可.

本题考查了基本不等式的应用及作差法的应用，属于中档题.

13.【答案】ACD

【解析】解：对于4项，由己知可得，4<0,即a2-16W0,解得一4<aW4,故A项正确；

对于B项，由已知可得mxG[1,2]使得/1(%)=%2-ax+4>0有解，

即aWx+g在xe[1,2]上有解，只需aW(x+3max即可，

设g(%)=x+：Vxt,x2G[1,2],且与<%2，

则-g(%2)=Xi+^--x2--^=(x1-x2y

X1x2xlx2

因为%T，X2e[1,2],且％1<%2,

所以1<XrX2<4,且％i-不<°，

所以g(%i)-g(%2)>。，g(%i)>。(亚)，

所以g(x)=x+：在x€[1,2]上单调递减，

所以g(%)max=1+4=5,所以QW5,故8错误；

对于C项，由己知可得，/(%)=/一。工+4=0有两个不相等正实根，

+%2=Q>0

则％1%2=4，所以％1+%2=Q>4,故C项正确；

/=M-16>0

对于。项，由已知可得，1和4是方程/一@%+4=0的两个根，

fl—a+4=0

则卜6—4a+4=0,解得：a=5,故。项正确.

G=a2-16>0

故选：ACD.

根据不等式恒成立以及不等式在区间上有解，转化为求判别式的符号以及函数的最值问题，即可判断4B；

根据方程或不等式解(集)的情况，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，列出关系式，求解即可判断

C、D.

本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，是基础题.

14.【答案】CD

【解析】解：M={x|x=6fc+l,fcGZ}={x|x=3(2k+1)—2,/cGZ],

N-{x\x=6k+4,keZ}={x|x-3(2k+2)—2,fcGZ],

P=[x\x=3k-2,keZ),

•••2k+l为奇数，2k+2为偶数，:.M丰N,MUN=P,MCN=0,QPM=N.

故选：CD.

把集合M与N变形，可得M彳N,MUN=P,MCiN=0,结合选项得答案.

本题考查交集及其运算，考查集合间的关系及应用，是基础题.

15.【答案】ABC

【解析】解：afa=ix2a-b<|x(^)2=l,当且仅当2a=8且2。+b=1,即a另，b=)寸等号成立，

ZZZo4Z

故ab有最大值:，故A正确；

+V-3)2=2a+b+2yT2ab=1+2yTZab<1+2J2x/=2,当且仅当b=2a且2a+b=1,即

a=[,b时等号成立，所以，2a+7"石有最大值V"攵,故8正确；

[+.等+2=5+(+222『^+2=4,当且仅当"今且2a+b=1,即a=b=：时等号成立，即

工+:有最小值4,故C正确；

4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab>当且仅当b=2a且2a+b=1,即a=[,时等号成立，

所以4a2+/的最小值为去故。错误.

故选：ABC.

利用基本不等式求最值判断各选项.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

16.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查由存在量词命题的真假求参数的范围，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属于中档题.

由命题的否定是真命题，即Vxeg,2],2M-；lx+lN0恒成立，分离参数，将恒成立问题转化为最值问

题求解.

【解答】

解：3x0G[1,2],使得2欧一菽0+1<0成立是假命题，

故：Vx6[1,2],2/—4%+120恒成立.

即2x+r2对任意的xG2]恒成立.

即(2%+3..22，

2x+l>2<2,(当且仅当％=好等号成立).

故>1<2/7.

故选:AB.

17.【答案】[—2,2)

【解析】解：由不等式名41,可得名—1W0,

x—2x—2

+2

即夸<0,即｛(X2^-2)w0.

求得—2<x<2,

可得原不等式的解集为[-2,2).

故答案为：[-2,2).

由题意，利用分式不等式、一元二次不等式的解法，求得工的范围.

本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.

18.【答案】25

【解析】解：设4=｛做对物理实验的学生｝,B=｛做对化学实验的学生｝,

则有

x=25.

这两种实验都做时的有25人.

故答案为：25.

根据题设条件，先做出文氏图，再结合文氏图进行求解.

本题考查集合的关系判断，解题时要先作出文氏图，数形结合效果较好.

19.【答案】一3<k<0

【解析】解：•.•一元二次不等式2k/kx-l<0对一切实数x都成立，

+O

…(2k<0

k=0,且满足］=k2_4x2fc(-|)<O'

即忧03k<0，

解得—3Vk<0,

故答案为：-3<fc<0.

利用一元二次不等式和函数之间的关系，利用判别式进行求解即可.

本题主要考查一元二次不等式的解法，利用不等式恒成立转化为判别式V0是解决本题的关键.

20.【答案】v4

【解析】解：:a2+4b2+2c2=5,

:.a2+4b2=5—2c2,

...2ab<包炉，当且仅当a=2b时取等号；

•••2ab4-3c<次贷+3c=5~^+3c=-(c-|)24--^<

故答案为：4

利用基本不等式以及题中的条件，转化成关于c的二次三项式，即可解出.

本题考查了不等式的应用，学生的数学运算能力，属于基础题.

21.【答案】解：(1)根据题意，不等式/一小乂一20<0的解集为{M—2<x<n},

即方程/-mx-20=。的两根为—2和n,

则有仁黄建一m

解可得ri=10,m=8,

(2)正实数a,b满足HQ+mb=2,

即10Q+8b=2,变形有5Q+4b=1,

所以2+R4+演5a+4b)

当且仅当5a=2b时等号成立,

故黑掷最小值为9.

【解析】本题考查一元二次不等式的解法，涉及基本不等式及的性质以及应用，属于中档题.

(1)根据不等式的解集以及韦达定理即可求出m,n的值;

(2)代入加，凡的值可得5a+4b=1,利用1的代换以及基本不等式可求得2+：的最小值.

22.【答案】解：(1)••・A=[-4,0},B=[x\x2+2(a+l)x+a2-1=0},又4cB,

••A=

(2)B是4的子集,

・・・B=。或8={-4}或B={0}或B={-4,0},

①B=0时，4=4(a+l)2—4(a2—1)<0,・,•a<—1；

(—4+(—4)=-2(ci+1)

②⑶:{-4}时，4x〉4-M1乙・•・ae。；

1—4X(一句—CL—1

③吐{。耐{晨=”产……

@B={-4,0}时，由(1)知a=l,

综合可得实数a的取值范围为(—8,-1]u{1}.

【解析】(1)根据题意可得4=8,从而建立方程组即可求解；

(2)由B是4的子集，可得8=。或8={—4}或8={0}或8={-4,0},再分类讨论建立方程即可求解.

本题考查集