2023-2024学年天津市河北区高一年级下册期中数学试题

2023-2024学年天津市河北区高一下册期中数学试题

一、单选题

ɪ.下列说法中正确的是()

A.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

B.零向量是最小的向量

C.若向量α与向量〃平行，向量方与向量C平行，则向量α与向量C一定平行

D.单位向量的长度为I

【正确答案】D

【分析】利用向量的定义与性质即可判断AB,利用零向量的特殊性即可判断C,根据单位

向量的定义即可判断D.

【详解】对A,若向量方向不同，则终点不同，故A错误；

对B,向量无大小之分，故B错误；

对C,若b=0,根据零向量与任何向量共线，则α与C可能不平行，故C错误；

对D,根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1,故D正确.

故选：D.

2.若复数Z满足z=4-3i,贝IJZ的虚部是()

A.3B.-3C.3iD.-3i

【正确答案】B

【分析】根据虚部的定义直接得到答案.

【详解】复数Z满足z=4-3i,则Z的虚部是—3.

故选：B

3.己知A⅛=(l,3),且点4(-2,5),则点B的坐标为()

A.(1,8)B.(—1,8)C.(3,—2)D.(—3,2)

【正确答案】B

【分析】设点B的坐标为(x,y),化简(x,y)—(—2,5)=(1,3)即得解.

【详解】解：设点B的坐标为(x,y),则A⅛=(χ,y)-(-2,5)=(l,3)，

所以(XM=(L3)+(-2,5)=(T,8),即点B的坐标为(-1,8).

故选：B

【正确答案】D

【分析】根据棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念即可判断.

【详解】对A,侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；

对B,上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；

对C,将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；

对D,符合棱锥的定义，正确.

故选：D.

本题主要考查棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念的理解，属于基础题.

5.如图，正方形Ow8'C'的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形

的周长是（）

C.6D.2+2√3

【正确答案】B

【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形QABC的性质，然后可计算周长.

【详解】由题意OE=TL所以原平面图形四边形。4BC中，OA=BC=I,08=20，

OBLOA,所以OC=AB="/+（20）2=3,

所以四边形的周长为：2×(l+3)=8.

故选：B.

6.在“ABC中，Aβ=√6,A=75,B=45,则AC=()

A.y∣2B.2C.√3D.3

【正确答案】B

【分析】根据三角形内角和先求出角C,再根据正弦定理即得.

【详解】因为A+8+C=180,所以C=60,

ABACR_AC

由正弦定理可得，一/=-⅛∙,即二万一旅，

sɪnoθsɪn45——

22

解得AC=2.

故选：B.

7.已知向量”,b不共线，且C="+入d=a+(2λ-∖)b,若C与“反向共线，则实数/1的

值为()

A.1B.—C.I或—D.—1或

222

【正确答案】B

【分析】利用向量共线的充要条件，再根据题设条件建立方程组，求出结果.

【详解】由于C与4反向共线，则存在实数%,使得C=Zd(Z<0),

贝IJ有/la+〃=&a+(2；l-l)Z。，Bp(∕L-⅛)α=[(2Λ-l)⅛-l]⅛,

λ-k=O

又向量“，b不共线，所以

(2Λ-1U-1=O,

消人整理得2万一2—1=0,解得4=1或2=-1，又因为/<0"=上，所以/<0,⅛A=-i

22

故选：B.

8.在“A8C中，内角A、B、C的对边分别为。，b,c,且α=ccos3,则：,ABC的形状

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D,等腰直角三角形

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理将边化角得到SinA=SinCCOS3,再由诱导公式及两角和的正弦公式

判断即可.

【详解】解：,在ASC中，α=ccos8,

由正弦定理得SinA=SinCCOSB,又SinA=Sin（B+C）,

.∙.sin（β÷C）=sinCcosβ,

即sinBcosC+sinCcosB=sinCcosB,

.∙.SinBcosC=O,

•在AABC中5∈（0,乃）,sinB>O,

.IcosC=O,又C∈（0,万），

:.C=-.

2

.二ABC是直角三角形.

故选：B.

9.某人向东偏北60。方向走50步，记为向量a；向北偏西60。方向走IOO步，记为向量b；

向正北方向走200步，记为向量C.假设每步的步长都相等，则向量C可表示为（）

A.2√3a+⅛B.a+2√3⅛C.2a+√3⅛D.√3a+2⅛

【正确答案】A

【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.

【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，

贝IJa=(50cos600,50sin600)=(25,25√3)，c=(0,200)，

b=(100cosl500,l∞sinl500)=(-5O√3,5O)，

0=25x-50√3yL

由c=xa^yb可得"，解得x=26,y=l,

200=25√r3x+50j

所以W=2ΛΛZ+A

故选：A

10.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华

夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某

爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为6cm,外层底面直径为8cm,

且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为1()Cm的球面上.此模型的体积为()

D.123万Cnτ'

【正确答案】C

【分析】根据题意可求出内、外侧圆柱的高分别为九、h2,底面半径为4、4则模型的体积为

2

Rf也；+町x(∕¾-Λ2).

【详解】内层圆柱的底面半径4=3Cm,外层圆柱底面半径4=4Cm,

内外层的底面圆周都在一个直径为IoCm的球上，球的半径4=5cm,

如图，以内层圆柱为例,

∙.∙内层圆柱的底面圆周在球面上，

.∙.球心。与内层圆柱的底面圆心Ol的连线垂直于底面圆,

2

则OOi1AO1,：.Oa=y∣AO-AO^=&2一片=,52—32=4cm,

根据球的对称性可得，内层圆柱的高为％=2x4=8cm,

同理可得，外层圆柱的高为Zz2=2,高-4?=6cm,

故此模型的体积为.万戏4+孙设（/?|-初=96万+18万=114万（53）

故选：C.

二、双空题

H-3i1l-3i

ɪi.已知i是虚数单位，化简;^的结果为______；「小的值为_______.

1+211+21

【正确答案】l-5z7-5∕+l√26

【分析】空1：利用复数的除法计算即可；空2：根据复数模的定义即可得到答案.

ll-3i(ll-i)(l-2i)5-25i_.

【详解】3==15

l+2i(l+2i)(l-2i)5

22

则τf⅞=∣l-5i∣=λ∕l+(-5)=√26.

故1—5i；5/26.

12.一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是；与“你”字相对

的字是.

【正确答案】前程

【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案.

【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.

故前；程.

三、填空题

13.若向量α,6满足卜卜3,卜-q=5,α∙b=l,则W=.

【正确答案】3拒

【分析】根据题目条件，利用CLb模的平方可以得出答案

【详解】∙.[叱4=5

.,.∣^-⅛∣=a-+⅛2-2«∙⅛=9+1⅛∣-2=25

Λ∣⅛∣=3√2.

故答案为.3亚

14.已知-3i是关于X的方程2f+川+4=0(p,q∈R)的一个根，则p+4=.

【正确答案】18

【分析】将-3i代入方程，即可得到关于PM的方程组，解出即可.

【详解】将-3i代入方程得2x(-町+pX(-3i)+4=0,

,

即(/T8+\)3pi=0,则G[―iP8+=6O=0，解得二]p=回o

故p+q=18,

故18.

15.已知正方体ABCD-AIBICIDI的棱长为2,M、N分别为BBi,AB的中点，则三棱锥A-NMDi

的体积为____________

【正确答案】ɪ

【分析】利用匕7V皿=匕“，"计算即可.

因为正方体ABCO-A∕B∕C√λ的棱长为2,M、N分别为BB/、A8的中点

所以匕-加=%WΛw=gxgxlxlx2=;

故：

在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.

四、解答题

16.已知复数z=(〃/-i)+(,"2一,"_2)i,m∈R.

(1)若Z是实数，求用的值；

⑵若Z是纯虚数，求加的值；

(3)若Z在复平面内对应的点在第四象限，求机的取值范围.

【正确答案】⑴，"=T或加=2；

(2)加=1；

(3)1<m<2

【分析】(1)根据虚部为零列方程求解；

(2)根据实部为零，虚部不为零列方程求解；

(3)根据实部大于零，虚部小于零列不等式求解；

【详解】⑴解:z=(∕n2-l)+(m2-m-2)i,且Z是实数,

tτf—Iti—2=0，

解得帆=T或m=2；

(2)解：Z是纯虚数，

∕n2—1=0

.∙.<

jn2-m-2≠0

解得m=1；

(3)解：Z在复平面内对应的点在第四象限，

∕n2-1>0

.∙.<

[m2-πz-2<0

解得1<相<2.

17.已知向量〃=(-1,3),6=(1,2).

⑴求N-N的值；

(2)求α/及向量。在向量力上的投影向量的坐标;

⑶若("〃劝，α,求实数，”的值.

【正确答案】(1)5

(2)α∙6=5,(1,2)

(3)∕n=2

【分析】(1)求出2α-∕7的坐标，进而可得模；

(2)直接利用数量积的坐标运算求〃力，至于投影向量也直接用公式求解即可;

(3)求出α-,汕的坐标，然后利用(〃-，泌)∙〃=0求解实数机的值即可.

【详解】(1),«=(-1,3),6=(1,2),

.∙.2a-h=(-3,4),

.*.∣2ɑ-⅛∣=,9+16=5；

(2)5=(T3),6=(1,2),

Λ<7⅛=-1×1+3×2=5，

向量4在向量8上的投影向量为

(3)由己知〃一〃力=(T-皿3-2根)，

:,(a-inb^`a=-l×(-l-w)+3(3-2m)=O,现军得∕n=2.

18.如图，在平行四边形ABC。中，点E是AB的中点，点F,G分别是AO,BC的三等分

点(AFwg8G=：8C).设赤,AD=b-

（1）用〃，b表示EF，EG-

3

（2）如果∣"=]∣0∣,EF,EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.

【正确答案[（I）EF=EG=∣α+∣⅛

（2）EFlEG,证明见解析

【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解;

(2)证明E/.EG=O即可判断EnLEG.

【详解】(1)EF=AF-AE=-AD--AB=-b--a；

3232

EG=EB+BG=-AB+AF=-AB+-AD=-a+-b.

22323

(2)EFLEG.

证明如下：

由(1)知，EF=-h--a,EG=-b+-a,

3232

.∙.EF∙ES=(15-!α]∙([b+'α]=152-!q2=-×-a2--a2=0.

U2∏32J94944

:.EFA.EG，LEFLEG.

19.已知,.ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,向量〃?=(",屈),

1

Zi=(cosA,sinB),且“//〃.

(1)求角A;

(2)若α=J7,h=2,求边C及"8C的面积;

⑶在（2）的条件下，求sin（2B-A）的值.

【正确答案】(I)W

(2)c=3,S,18c=ψ

（喏

【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得nsin8=√⅛CoSA,结合正弦定理与角度关系，即

可得角A；

（2）根据余弦定理求得边长c,再利用面积公式求解即可.

（3）利用正弦定理求出sin8=叵，再求出CoSB=纽，再利用二倍角公式求出

77

sin2B,cos2B,最后再利用两角和与差的正弦公式即可.

【详解】（1）因为向量相=（〃，辰），〃=（COSA,SinB）,且就/〃

所以〃sin3=V⅛cosA,由正弦定理得SinASin3=GsinBc