2023-2024学年天津市咸水沽高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年天津市咸水沽高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线x+（2机-l）y+l=0与直线-3x+机y+3=0垂直，则机的值（）

3、3、3

A.—或1B.—1C.—或—1D.—

222

【正确答案】C

【分析】讨论直线斜率不存在的情况，斜率存在时，根据直线垂直可得斜率之积为-1,列

式即可求得答案.

［详解］当；时，直线x+（2/n_l）y+l=0即x+］=0,

直线-3x+/wy+3=0即-3x+；y+3=0,二者不垂直，不合题意；

当加=0时，直线x+（2m-l）y+l=0即x-y+l=0,

直线-3x+my+3=0即x-1=0,二者不垂直，不合题意；

故小则由直线x+（2m-l）y+l=0与直线-3x+wy+3=0垂直，

133

可得—3~7'2=一1，解得加=T或〃?=：，

2m-lm2

故选：C

2.已知公差不为0的等差数列满足%,%,4成等比数列，｛q｝的前〃项和为S”,

A.—B.~C.3D.—

233

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式和等比数列性质可求出首项和公差的关系，再利用等差数

列前n项和公式即可求得表达式的结果.

【详解】设等差数列｛凡｝的公差为d,且

又满足6,%，%成等比数列，即的2=卬小可得（％+24）2=q（卬+34）,

所以％+4d=0,

则所以

S4-S)〃3+。4—3d3一S)3

故选：B.

,.2„2

3.抛物线/=8x的焦点到双曲线?-]=1的渐近线的距离是()

A.V3B.2C.—D.-

22

【正确答案】A

【分析】写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程,由点到直线的距离计算.

【详解】抛物线/=8x的焦点坐标是(2,0),双曲线:一三=1的渐近线方程是后±y=0,

所求距离为丝g=0.

V3+1

故选：A.

“、，,--，、，,ULU£URI'1ULU'一

4.四棱锥尸-Z8C。中，设8/="，BC=b,BP=c，P

E=-PD.^BE=（）

P

AB

1入1p2Kc2rlrir

A.~u—bT—cB.-ciH—b——c

333323

1r1r2r1r0r

C.—a4--c--bD.—Q+一b+-c

333323

【正确答案】A

uuiriririr

【分析】根据空间向量基本定理，先表示出PD=a+6-c,可得PE=—a+—b——c,进而根

333

据配'=B方：p£，即可得出结果.

【详解】PD=PB+BA+AD=BA+BC-BP=a+b-c，

iuriuuiriririr

X।X.X1X।X.X2X

所以BE=BP+PE=+-Q+-b——c=-Q+-b+-c.

333333

故选：A.

5.已知，P,Q分别为圆x2+y2-8x-8y+28=0与圆/+/+8》-4^+19=0上的动点，A

点为X轴上的动点，则|工尸|+|工。|的最小值是()

A.7B.8C.11D.14

【正确答案】A

【分析】确定圆心和半径，求得―+8x-4y+19=0关于x轴的对称的圆的方程，采用

几何作图分析，即可确定|工尸|+以。|的最小值.

【详解】根据题意,设，+/-8x-8y+28=0为圆M:(x-4)2+(y-4)2=4,半径H=2,

设圆x2+/+8x-4y+19=0为圆N:(x+4)2+(y-2>=l,半径r=l,

设圆N'与圆N关于x轴对称，点。'与点0关于x轴对称，

则圆％'的方程为"：。+4)2+3+2)2=1,

又由。为N:(x+4)2+(y-2)2=l上的动点，则0'在圆N'上，

连接MN；AN，设MH交x轴点4则有卜丹+卜0=附|+10'|,

设此时交圆M与点P,交圆N'于。'

在X轴上任取一异于点力的c点，则|CM+|CM|=|CM+|CN>|MM，

贝”/目+140|的最小值为IMN'\-R-r=J(4+4>+(4+2>-2-1=7,

故选：A.

6.在四棱锥尸-中，PD1底面4BCD,底面/BCD是直角梯形，AB//CD,

ZADC^90°,AB=AD=\,尸。=CD=2,点E为棱PC的中点，则点E到尸8的距离为

)

A.0B.也C.—D.3

223

【正确答案】B

【分析】在直角梯形中证明出8CJ.8。，然后由线面垂直的性质定理得PC_L8C,从而得

8C/平面尸8D,得出6C_LP8,然后利用中点性质可得结论.

【详解】PD_L平面/8CZ),8Cu平面/8CZ),:.PDLBC,

力8CD是直角梯形，/NOC=90。，AB//CD,AB=4D=1,CD=2,

则8c=肝+(2_1)2=0,所以SC?+8》=。。2,BCLBD,

BDPD=D,8O,PDu平面PBD,所以8C1平面PBD,又P8u平面PBD，所以8clp8,

即C到直线PB的距离是0,

E是PC中点,所以E到P8的距离等于C到直线P8的距离的一半，即为也.

2

故选：B.

丫22

7.双曲线--4=l(a>0,b>0)的右焦点恰是抛物线/=2/(p>0)的焦点厂，双曲线与

a~b

抛物线在第一象限交于点力(2,加)，若=则双曲线的方程为()

【正确答案】D

【分析】由抛物线的定义求出。的值，可得出抛物线的标准方程，进而可求得点A、厂的方

程，可求得双曲线的左焦点尸的坐标，利用双曲线的定义可求得。的值，进而可求得6的值,

由此可得出双曲线的标准方程.

【详解】由抛物线的定义可得|/尸|=2+5=5,可得p=6,故抛物线的方程为/=i2x,

将点A的坐标代入抛物线方程可得nr=24,m>0,解得m=2瓜,

抛物线V=12x的焦点为尸(3,0),故双曲线的左焦点为尸'(-3,0),

则\AF'\=J(2+3)?+(2痣)2=7.：.2a=\AF'\-\AF\=2,：.a=\,则/,=732-«2=20，

2

因此，双曲线的标准方程为/-匕=1.

8

故选：D.

8.己知椭圆C:=1(a>b>0）的下焦点F（0,-c）（c>0）,M点在椭圆C上，线段"F

（八2,2unr]uuiM

与圆/+y+1=会相切于点MB.FN=-NM,则椭圆C的离心率为（）

A.-B.叵C.—D.—

5342

【正确答案】B

|皿1

【分析】记上焦点为圆心为由c线段成比例得出@V//P'W,且周=],于

是有1kMi=6,然后由椭圆定义和垂直得出关于6,c齐次等式，化简后可求得离心率.

【详解】如图，记上焦点为F，圆心为£（0,-；）,则尸'（c,0）,连接PF,NE,

\FF'\=2c,\FE\=-c,又FN=QNM,则煮=厂曷，

EMi

所以EN"F'M,同j=『

|EN|=；6,则归M=b,

由椭圆定义|FM=2"FM=2a-6,

又ENLFM,所以FN_LfA/,所以/+(2a-6)2=(2cp,

2(a2-c2)+b2=2ab,BP3b2=lab，b=：,

c=4^bT=—a，所以e=£=好.

3a3

故选：B

9.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1；再染3个偶

数2,4,6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的

7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,

45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,....,

则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是()

A.3991B.3993C.3994D.3997

【正确答案】D

【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数

的数字个数的关系，找出第〃组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果.

【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下：

第一组：1共1个数；

第二组：2,4,6共3个数；

第三组：7,9,11,16,15共5个数；

第四组：16,18,20,22,24,26,28共7个数；

第五组：29,31,33,35,37,39,41,43,45共9个数；

由此规律可知，第〃组最后一个数是组数”与该组的数字个数2〃-1的乘积为〃(2〃-1),且该

数在组成的红色子数列中是第1+3+5+……+2〃-1=〃2个数，

易知，当〃=45时，即第45组最后一个数是452=2025与数字2021接近，

此时，红色子数列中第2025个数为45x(2x45-1)=4005,

所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997.

故选：D

二、填空题

10.己知向量a=(2m+l,3,m-l),b,且〃〃6，则实数机的值为.

【正确答案】-2

【分析】利用向量共线的性质，直接计算求解即可.

【详解】由题意得(2/n+1):2=3:=(/«-1):(-w)=加=-2

故-2

11.随着双减政策的落地，小明决定利用写完作业后的时间，进行了一次“阅读经典”的活动,

阅读书籍共1200页.他第一天只读了10页，之后采取了积极措施，从第二天起每一天阅读

的量都比前一天多10页.这次“阅读经典”活动小明一共进行的天数为.

【正确答案】15

【分析】由题意可得小明每天阅读书籍构成了一个以10页为首项，以10页为公差的等差数

列，设小明一共阅读了"天，然后建立关于〃的方程，求出〃即可.

【详解】由题意可得，第一天阅读10页，第二天阅读20页，

小明每天阅读构成了一个以10页为首项，以10页为公差的等差数列，

根据题意，设小明一共阅读了〃天，则1200=10”+若lx1。，

解得”=15或-16(舍去)，所以w=15,

故15.

12.已知直线/：5+夕-2-2"?=0与圆/+/-2》-8=0相交于Z,B两点,则|/用取最小

值时直线/的方程是.

【正确答案】x+2y-6=0

【分析】根据直线过定点(2,2)可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最小，即可得出

直线斜率求得/的方程.

【详解】由直线/：mx+y-2-2〃?=0可知，直线/过定点(2,2),

圆-2x-8=0即(x-l)2+/=9,可得圆心(1,0),半径厂=3；

设圆心到直线/的距离为d,根据弦长公式2必彳可知，

d最大时，|力身取最小值，

易知，d的最大值为圆心(L0)到定点(2,2)的距离,

此时圆心(1,0)和定点(2,2)的连线与直线/垂直，

可得直线/的斜率一加满足-加x2F-0=-l,得，〃1

2-12

所以，直线/的方程为x+2y-6=0

故x+2y-6=0

13.已知抛物线C:x2=4y,过点力(0,1)作倾斜角为g的直线/,若/与抛物线交于8,C两

点，弦8c的中点尸到x轴的距离为.

【正确答案】7

【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式代入即可求解.

【详解】由题意可知40,1)为抛物线的焦点，直线/的方程为尸出x+1,

联立直线与抛物线的方程「石1=/-4瓜-4=0,

x=4y

设8(X1,yJ,C(X2，%),则再+w=4抬',

则BC的中点P到X轴的距离为史&.=/♦+.2=行4石+2=7,

222

故7

14.点P是直线》+尸4=0上的动点，过点尸作圆(x+l)2+(y-l)2=/(r>0)的两条切线

R1和尸B,4和8是切点，NNP5的最大值是三，则，•的值

【正确答案】2

【分析】由切线性质得出N/P8最大时，P与圆心连线垂直于直线/,然后由最大值求得圆

半径，

\AC\

【详解】如图，设圆心为c,当圆固定时，|PC|取最小值时，sinZAPC

最大，//PC是锐角，从而NZPC最大，

由已知C(T1),俨(:心=邑。4=2啦,

由题意N/PC最大值为C,此时sin/NPC=」==sin&=交，r=2,

42V242

故2.

15.给出下列四个命题:

①已知直线X+5-2=0,则该直线的倾斜角为?

6

②抛物线20x2=了的准线方程为X=5

③在等差数列｛/｝中，-<-1,若｛《,｝的前n项和S“有最小值，则使S“<0时最大的自然

《012

数n的值为2022

…(x|—Q]〃+2,〃>8/-

④已知数列｛《,｝,%=13)(〃eN)若对于任意(〃eN*)有则实

a'"\n<8

数.取值范围是

其中正确命题的序号为.

【正确答案】③

【分析】根据倾斜角和斜率，抛物线，数列最值和单调性等知识点分别判断即可.

【详解】对于①：直线x+JJv-2=0的斜率为左,倾斜角为a,则4u-^ntana,即倾斜

73

角为浮故①错误；

O

对于②：抛物线20f=y,即1=5)，的准线方程为夕=-白，故②错误；

zu80

对于③：因为等差数列中，4也<-1,所以须〃碇<°，所以.+1=.产.2<0,

。1012^1012^1012

又因为｛%｝的前〃项和S〃有最小值，所以q011<。，囚012>。，^1011+^IOI2<0

c_2022(q+々2022)_2022(《Ou+〃[012)外

32022==2@'

+i3

c_2023(q+“2023)_2023(^|012ioi2)_、八

»2023=----------------------------------=---------------------------------------='UZ&i0]2>U,

则使S“<0时最大的自然数〃的值为2022,故③正确;

a〃+2,”>8

对于④：因为数列{%},%=\nGN*)

an~7<8

若对于任意(”eN*)有%>。川，当心=(；-。4+2时％单调递减,

1

当a„=a'"时an单调递减，且％>为

0<67<1

可得<；-"0,所以;<"1,故④错误；

故③

三、解答题

16.(1)已知圆“经过"(0,0),8(1,1),C(4,2)三点，求圆M的标准方程;

(2)在(1)的条件下，求过尸(-1,3)作圆〃的切线/,求切线/的方程.

【正确答案】(1)(x-4『+(y+3)2=25(2)1lx+60y-169=0和x=—1

【分析】(1)代入三个点即可求解圆的一般式方程，进而转化成标准方程即可,

(2)根据相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.

【详解】设圆”的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D1+E2-4F>0),

F=0D=-8

将4(0,0),8(1,1),C(4,2)代入得,2+D+E+F=0=>E=6,

20+4D+2E+F=0F=0

所以A/的一般方程为x2+y2-8x+6_y=0,

故圆M的标准方程为(x-4)2+6+3)2=25,

(2)当直线无斜率时，则方程为x=-l,此时直线与圆相切，满足条件,

当直线有斜率时，设直线/的方程为y-3=%(x+l),即履-y+3+%=0,

圆心坐标为(4,-3),半径为厂=5,

根据相切得“；：："幻=5,解得左=_普，此时切线方程为：llx+60yT69=0

综上：切线方程为：llx+60yT69=0和工=一1

17.如图，在四棱锥尸-458中，尸力，底面”88,底面48CZ）为平行四边形，/C=2,

Z8/C=90。，8C=Ji5且4=3,E是尸。中点.

（1）求证：P8〃平面/EC；

（2）求直线PC与平面ACE所成角的正弦值；

（3）在线段PB±（不含端点）是否存在一点使得二面角M-AC-E荻角的余弦值为噜？

若存在，确定阳的位置；若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵返

26

（3）存在点/，且PM=；PB

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明尸8〃平面ZEC：

（2）根据几何体特征可以/为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线

PC与平面ZCE所成角的正弦值；

（3）假设存在点利用共线向量写出其坐标，根据空间向量求出二面角夹角

的余弦值的表达式，即可确定用的位置.

【详解】（1）证明：连接8力交4c于凡连接EF,如下图所示：

p

因为底面N8CD为平行四边形，所以厂是80的中点，又E是尸。中点;

所以PB〃EF，

又PBtz平面AEC,EFu平面AEC,

所以，P8〃平面NEC；

(2)由/C=2,NBAC=90°,8。=拒得］5=3,

又因为P/_L底面N8CD,所以

以/为坐标原点，分别以尸所在直线为x轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系；如

则A(0,0,0),8(0,3,0),C(2,0,0),D(2,-3,0),P(0,0,3),E^l,-1,|^

设平面NEC的一个法向量为〃=(x,y,z),/iC=(2,0,0),J£=ll--,-

(k.

nAC=2x=0

所以，XT33得x=0,令歹=1,则z=l；

nAE=x——y+—z=0

22

即〃=(0,1,1).

又PC=(2,0,-3),设直线PC与平面4CE所成的角为。，

Ijlijsma=|cos(^p33

।'/I«||PCA/2XVH26

即直线PC与平面/CE所成角的正弦值为返.

26

(3)假设存在点M满足题意，

设“二;I尸片，0<；1<1),得M(0,3/l,3-3/l),

设平面MAC的一个法向量为加=（xQi，Z|）,AC=（2,0,G）,AM=（0,343-34）,

（入一'、

tnAC=2x,=01

所以xf'得占=0,令4=1,得乂=1一：,

[m-AM-32y,+（3-32）z,-04

/1

即加=（0』-彳，1）；

A

设二面角M-4C-E的平面角为0,

12

化简得9万-94+2=0，解得兀=§或2=]；

又因为二面角M-ZC-E夹角的余弦值为画，所以4=匕

所以，在线段P8上(不含端点)存在一点M,B.PM=^PB,使得二面角M-/C-E夹角

的余弦值为画.

10

18.己知数列｛4｝是等差数列，其前〃项和公式为S,,数列｛〃｝是等比数列4=1,4=2,

%+4=23,h4=S4.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵令，“=」一(〃N*),求数列匕,｝的前“项和/“，求证：力,<?

a“a〃+i2

(3)令4,=(T)”管〃€N,),求数列⑷的前"项和Tn；

【正确答案】⑴%=2〃-1,4=2"；

⑵证明见解析;

I71(-1严(2〃-1)

PR，3x2"

【分析】(1)设｛%｝的公差为d,也J的公比为4,由已知列方程组求得后可得通项公

式：

(2)由裂项相消法求得和4,可证得不等式成立；

(3)由错位相减法求和.

【详解】(1)设的公差为d,也,｝的公比为4,由已知得：

'1+34+2如=23d=2

,解得

2q3=4+6dg=2

所以。“=1+2(〃-1)=2〃-1,6“=2X2"T=2"；

c==(

(2)由(1)»(2„-1)(2,!+1)22«-12«+11'

由…1“1、1/1、1/11、111

所以4=”-§)+乃-7++万2丁五-石还＜5

(3)由⑴4,=㈠…),

«2”

135,(-1『⑵一1)

7；1=-2+7-7++-3

13,5.,MH^-3),e-lf⑵

一/亍H7—H济L'

相减得g1+尸厂2㈠尸(④-1)

2,T

_1「卜(一2)“"(-ir'(^-i)_1bi(_i严⑵-1)

+,；'+|

21+17-63^22'

2

121(T严(2〃-1)

所以北=----1---\-------------

9923x2"

方法点睛：数列求和的常用方法：是等差数列，且各项均不为0，｛"｝是等比数列.

(1)公式法；

(2)裂项相消法：数歹lj｛」一｝常用裂项相消法求和;

的用

(3)错位相减法：数列｛《也,｝常用错位相减法求和；

(4)分组(并项)求和法：数列｛%+6,,｝用分组求和法求和:

(5)倒序相加法：首末两项及与首末两项等距离的两项的和相等时，常用倒序相加法求和.

19.椭圆C：W+《=l(a>b>0)的离心率e=:，过点左顶点为4过点N作斜

率为上任HO)的直线/交椭圆C于点。，交y轴于点E,

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)求△O/力面积取最大值时的女的值.

⑶若P是线段AD的中点，问是否存在x轴上一定点Q,对于任意的%(%=0)都有EQLOP,

若存在求出。点坐标，若不存在请说明理由.

【正确答案】(1)片+片=1;

43

(2)k=±—;

2

3

(3)存在。(-于。)满足题意，理由见解析.

【分析】(1)由已知列出关于凡伉。的方程组求解可得；

(2)设由=；|。/|尻|=|切|,只要|%|最大即可，此时。为短轴端点，由

此计算出左值；

(3)由直线/的方程为y=A(x+2),求出。点坐标得中点尸的坐标，再求出E点坐标，

设存在满足题意的点。(九0),用坐标表示出垂直关系后由恒等式知识得〃?的值.

C1

e=—=—

a2卜=2

【详解】(1)由已知l,，+J=l,解得」=囱,

a2=b2+c2|c=l

r2v2

所以椭圆方程为'+匕=1；

43

(2)设£)(%,%),

由(1)得”(-2,0),易知£血帆|=|为|,

当D为椭圆短轴顶点时|%|最大，此时£>(0,后)或(0,-73),

从而苜或4=*=_正；

222

(3)直线/方程为y=鼠x+2),代入椭圆方程得(3+4公)/+16-x+16S-I2=0,

易知x=-2是此方程的根，另一根为/=；；4/'；、=分3，

一I^TK)JI^TK

P点横坐标为与=当匚=-言尸，yP=k(xp+2),

在尸=4(x+2)中令x=0得y=2&,即E(0,2无)，

设。(肛0),由E0J.O尸得Eg：。》10,EQ=｛m-2k),OP=｛x,„yP｝,