高中数学讲义（人教A版必修二）：第07讲 平面向量基本定理（教师版）

第07课平面向量基本定理

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课程标准课标解读

1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理

1.理解平面向量基本定理及其意义，了解解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面

向量基底的含义.向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.

2..掌握平面向量基本定理，会用基底表示2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，

更应该学会用基底表示平面向量.

平面向量.

3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平

3.会应用平面向量基本定理解决有关平

面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.

面向量的综合问题.

鳖|□识精讲

知识点平面向量基本定理

1.平面向量基本定理：如果ei，e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量”,

有且只有一对实数为,%2，使。=九01+%02.

2.基底：若ei，e2不共线，我们把｛ei，e2｝叫做表示这一平面内所直向量的一个基底.

【即学即练】(多选)下列结论正确的是()

2

A.已知向量。=(九2)力=(-3,1),且〃与b的夹角为锐角，则几

B.一ABC中，b=3,c=5C=g则..ABC有两解

C.向量a=(-1,2),。=(5,7)能作为所在平面内的一组基底

1?

D.已知平面内任意四点。，A,B,尸满足OP=§OA+：OB,则A,B,尸三点共线

【答案】CD

【详解】对于A,由a=(42),6=(-3,1),贝心力=2-3几，卜|="+%2,|&|=V9TT=7W,

由cos(〃/片丽，且a与人的夹角为锐角，则cos《/)>0,Jio(4+7),

2

即2—32>0,解得几<—，

3

且cos(a,»wl,向量a/不共线，即;1+6片0,解得几片一6,故A错误；

对于B,根据余弦定理，则，=/+加-2ai>cosC,BP3=a"+9—2a-3-cos—,

整理可得。2一3。+6=0,A=9-4x6=-15<0,三角形无解，故B错误；

I=5/1-

对于C,设a=X。，贝Uc「，显然该方程组无解，即。力不共线，故C正确；

12=7z

对于D,由OP=：O4+go2,30P=OA+2O8，OP-OA=2(OB-OP),AP=2PB，贝UA，B,尸三点共

线，故D正确.

故选：CD.

反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点

(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示

向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.

(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.

J'能力拓展

考法01平面向量基本定理的理解

【典例1］已知G是ABC的重心，点。满足8。=。。，^GD=xAB+yAC,则x+y为()

【答案】A

【详解】解：因为3D=DC，

又因为G是AABC的重心，

所以GO=；A。，

又因为。为3c中点，

所以A£>」A8+LAC,

22

所以G£>=JdAB+』AC）」AB+』AC,

32266

所以x=y=J,

6

所以x+y=g.

故选：A

【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副"弦图"给出了勾股定理的证明，后人称其为

"赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"

中，已知AE=3EF,A2=a,AD=6,则AE=（）

D

1297161274334]

A.——aH-----bB.——a-\----bC.—a+—b7D.—a+—b

252525255555

【答案】A

【详解】由题意

3333393939

AE=-AF=-(AB+BF)=-(AB+-ED)=-AB+—ED=-AB+—(AD-AE)=-AB+—AD-AE,

4444416416416

253939

即上A石=+二=+二b,

16416416

129

所以A£=——a+——b

2525

故选：A.

考法02用基底表示向量

【典例2］如图，在.ABC中，BD=4DC，贝1JA£>=()

41

B.-AB+-AC

5555

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

6666

【答案】A

4

【详解】AD=AB+BD=AB+-BC

4/\14

=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.

故选：A

【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现

象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形A3CDEFG//,其中。为正八边形的中心,

则下列说法不正确的是（

图1

A.OA-ED=DOB.AB=EFc.OB+OD=6OCD.4〃和CE能构成一组基底

【答案】B

【详解】在正八边形ABCDEFGH中，

对于A,OA-ED=EO-ED=DO,所以选项A正确；

对于B,AB=FE=-EF，所以选项B错误；

对于C,在正八边形ABCDEFGH中，因为="斗=|。。|,ZD0B=^-x2=^,所以以向量OB和向量

0。为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为因为/COB=/COD=?,所以OB+OD的方向

与向量0。方向相同，且长度为向量0C长度的0倍，所以OB+OZ）=0OC，所以选项C正确；

对于D,由图可知向量AG和CE为相等向量，所以向量AH和CE不共线，故和CE能构成一组基底，所

以选项D正确.

故选：B.

考法03平面向量基本定理的应用

【典例3】在平行四边形A3CD中，AB=3,AD=4,ZBAD=60，点E是BC的中点，CF=2如，贝！1AE.8尸=

()

A.-6B.-2C.2D.6

【答案】D

【详解】AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD,

22

2.2———2_

BF=BC+CF=BC+-CD=BC——DC=AD——AB,

333

(1)(2)22212

/.AE.BF=\AB+-ADV\AD--AB\=--AB+-ABAD+-AD

291

=——x32+—x3x4xcos60°+—x42=6.

332

【变式训练】锐角三角形ABC中，。为边3C上一动点（不含端点），点。满足49=300,且满足

A°='AB+〃AC'则2的最小值为（）

16

D.T

【答案】D

【详解】依题意AO=3Or>=3AD=』(A5+Br))=3AB+ag。,

44、744

33Y

^BD=xBC(Q<x<i),贝!JAO=[A3+彳5c

A0.吟(AC-AB)「呜AC

3-3x3x14}__4_

所以4=

4'〃=]工3—3x'//3x

所以;+，=44

-----1----

Z〃3-313x

Y1—Y1

当且仅当H=T'X=I'X=5时等号成立.

故选：D

fii分层提分

题组A基础过关练

1.在,.ABC中，点。在边A5上，5=3。3.记CA=〃,CO=b,则CB=()

A.—a+—bB.——a+—bC.—a——bD.—a+—b

33333333

【答案】B

【详解】因为点。在边AB上，AD=3DB,

1I

所以BPCD-CB=-(CA-Cr>),

33

所以CB=-ga+?.

故选:B.

\CD\

2.在四边形A5co中，AB!/CD,若AC=2AB+〃AQ(2,〃eR),且X+〃=3,则

\AB\

B.3C.~2D.2

【答案】D

如图，过C作CE//AD,又因为AB//CD,

所以四边形ADCE是平行四边形,

所以AC=AE+A。,

XH>JAC=2AB+//A£)(2,//GR),

所以〃=1,AE=2AB,

又因为彳+〃=3,所以2=2,

CD

所以AE=2AB=Od,所以——=2.

AB

故选:D.

3.如图，已知。4=原08=瓦00=△43=28。，则＜i=（）

3-1

C.2d-bD.—a——b7

22

【答案】A

【详解】因为A3=25C，^OB-OA=2（OC-OB）,

3131

t^OC=-OB——OA=-b——a,

2222

故选：A.

4.若向量。与〃是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（）

A.-a与〃+/?B.a+b2a+b

C.2。-5〃与-4々+108D.2a+Z?与a+2b

【答案】C

（1=—A

【详解】对于A,假设存在实数彳，使a+。=4（-“），则，八,方程组无解，即不存在实数彳，使a+b=2（-“）,

1=0

即-。与a+Z?不共线，A不选;

对于B,假设存在实数4,使。+6=斗。+力，贝"]金，方程组无解，即不存在实数X,使。+6=2（2〃+耳,

即与2a+6不共线，B不选；

z、[2=-4彳1

对于C,假设存在实数4,使2〃-56=2-4。+10。，则解得人即2a-51与Yd+106共

1—5=10Z2

线，选C；

对于D,假设存在实数2,使2a+6=4卜+2＞），则]=22，方程组无解，即不存在实数2,使2。+6=+24,

即2a+方与a+26不共线，D不选；

故选：C

5.如果｛3e?｝表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A.4,q+%B.6]_2e?,e?一2q

C.ex-2e2,4^2-2exD.ex-e2

【答案】C

【详解】根据平面基底的定义知，向量生令为不共线非零向量，即不存在实数彳，使得6=彳4，

对于A中，向量e2和q+e2，不存在实数几，使得令=〃乌+4）,可以作为一个基地；

对于B中，向量q—2q和e；—2e「假设存在实数2,使得6-24=〃4-2叩，

fl=—2/1一一一一

可得c,,此时方程组无解，所以e「2e,和e2-2q可以作为基底；

1—2=A

对于C中，向量e；—2/和4%-2令，假设存在实数2,使得与一24=〃44一2冬），

（1=—2A1一一一一

可得c解得2=-彳，所以4-2«2和4e,-2q不可以作为基底；

[—2=4Z2

对于D中，向量q+s和6一』，假设存在实数之，使得弓+/=%（61-/）,

fl=X-.一一

可得1=_彳，此时方程组无解，所以6+02和q-02可以作为基底；

故选：C.

6.(多选)已知q,4是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是()

A.若实数m,〃使me{+ne2=0,则加=〃=0

B.平面内任意一个向量〃都可以表示成［二相6十“4，其中相，〃为实数

C.对于加，neR,…不一定在该平面内

D.对平面内的某一个向量〃，存在两对以上实数相，〃，^a=mex+ne2

【答案】AB

【分析】根据基底的定义逐项判断即可.

【详解】解：根据基底的定义知AB正确；

对于C,对于加，neR,在该平面内，故C错误；

对于D,m,九是唯一的，故D错误.

故选:AB.

7.(多选)在下列向量组中，可以把向量。=(3,2)表示出来的是()

A.G=(0,0),e2=(1,2)B.G=(—1,2),e2=(5,—2)

C.ex=(3,5),e2=(-6,10)D.ex—(2,—3),e2=(—2,3)

【答案】BC

【详解】对于A.q=(0,0),exHe2,q,/不可以作为平面的基底，不能表示出A；

-12--.

对于B.由于与心不共线，华色可以作为平面的基底，能表示出a；

5—2

35--

对于C.—不共线，可以作为平面的基底，能表示出〃；

—o10

对于D.e2=-ex,exlle2,勺建?不可以作为平面的基底，不能表示出a.

故选：BC.

8.(多选)已知向量0,6是两个不共线的向量，且向量〃匐-3〃与。+(2-机)6共线，则实数机的可能取值

为()

A.-1B.6C.4D.3

【答案】AD

【详解】解：因为向量a，B是两个不共线的向量，所以向量a,6可以作为平面内的一组基底,

又向量相〃—与a+(2—机)b共线，所以相。一3/?=丸[〃+(2—m)同,

\m=A.

即j_3_2(2-加)，解得％=-1或m=3；

故选：AD

9.(多选)下列各组向量中，不能作为基底的是()

A.G=(1,0),02=(0,1)B.6=(1,2),02=(—2,1)

C.£1=(-3,4),e2=D.e,=(2,6),e2=(-1,-3)

【答案】CD

【详解】对于A,4=(1,0)勺=(0,1)不共线，所以可以作为一组基底.

对于B,q=(1,2),4=(-2,1)不共线，所以可以作为一组基底.

对于C,L所以4=(-3,4),e2=[g,共线，所以不可以作为一组基底.

对于D,4=一2%,所以q=(2,6),e2=(-l,-3)共线，所以不可以作为一组基底.

故选：CD.

10.在平行四边形A3CD中，AE=-2AD<AF=pAB,若E,C,P三点共线，则实数〃=.

【答案】|

【详解】由题意得，

AC=AB+AD=—AF--AE,

〃2

E,C,厂三点共线，

112

一―-=1>解得〃=Z.

月23

故答案为："I.

11.如果日电是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量〃，有且只有一对实数力,

%，使。=.我们把｛e''S｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

【答案】为6+4弓

【详解】平面向量的分解定理：如果6,02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量",有且只有一对实数力，方，使。=4q+4e；.我们把｛为述?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

故答案为：\ex+A^e2

12.已知下列四个命题：

①若a//6，bile，则a//c;

②设a是已知的平面向量，则给定向量6和c，总存在实数几和〃，使“=/lb+〃c；

③第一象限角小于第二象限角；

④函数/(尤)=J(sinx+cos尤)-g|cosx-sinx|的最小正周期为27r.

正确的有.

【答案】④

【详解】对于①，若a与2都是非零向量，并且它们不共线，b=0,满足a//b，bUc，而结论不成立，

①不正确；

对于②，若给定向量6和c满足b//c，而已知向量a与6不共线，则不存在实数彳和〃，使。=2b+〃c成立,

②不正确；

对于③，390是第一象限角，120是第二象限角，显然390>120,③不正确；

sinxfcosx之sin%)

对于④，函数/(幻=',一.、，而正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的最小正周期都是2兀，

[cosx,(cosx<sinx)

所以函数/(x)的最小正周期为2兀，④正确.

故答案为：④

题组B能力提升练

1.已知七是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有()

①°=5百，b=1a；②b=3et-2e2；

③a=et+e2,b=30「3e2.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【详解】对于①。=5q,b=［《,a=h,故两向量共线；

对于②a=7g2，b=3。1—2。［,a=—b,故两向量共线；

对于③〃=G+«，b=3ex-3e2,

彳发设存在4,a=Xb=>,+/=X（3q-3,）

n（3/l—1）6=（32+1）4,因为G，马是不共线向量，

故得到34-1=32+1无解.

故选：A.

2.若｛e"J是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）

A.一e2,e2—e1B.一e2,e】+e2

C.2e2-e1,-2e2D.2et+e2,4e1+2e2

【答案】B

【详解】不共线的向量能作为基底，

因为G-e?=-卜2-6），所以向量4-e；,e；-e；共线，故排除A；

....（A=l

假设华-％="q+e）,解得《,无解，

IZ——1

所以向量6―/,q+e2不共线，故B正确；

因为2e?-q=—卜2«2+ej,所以24-0，-2弓+6共线，故排除C；

因为26+6；=；（4弓+2/）,所以2q+e；,4q+2e2共线，故排除D,

故选：B

3.若G，02是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）.

A.弓+S和耳一与B.3,-2%和44一6,

C.,+34和％+3弓D.4和6+与

【答案】B

【详解】因为向量e；,62是平面内的一组基底，可得向量G，02为平面内不共线向量,

•.一一[1=2

对于A中，设,，可得〈°，此时方程组无解，

\1=—Z

所以向量q+02和e「4不共线，可以作为平面的一组基底；

....[3=-621

对于B中，设3q—2e,=〃4e,—6令)，可得。解得兄=一不

--1—2=4/L2

所以向量3q-2e2和4e2-6q为共线向量，不能作为平面的一组基底；

对于C中，设J+3e»+3q),可得',此时方程组无解，

-一p=X

所以向量G+3/和/+3。不共线，可以作为平面的一组基底；

对于D中，设马=〃4+/)，可得＜,,此时方程组无解，

[1=X

所以向量02和4+e2不共线，可以作为平面的一组基底.

共线：B.

4.如果斗心是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是

()

A.6]与q+e2B.gj-2e2与et+2e2

C.q+e2与e1-e2D.q-2e2与-ex+2e2

【答案】D

【详解】由q,e?为不共线向量，可知6与q+4,ex—2e2与ex+2e2,q+e2与q-e2必不共线，

都可作为平面向量的基底，

而2e2=-(-e；+2e2),故q-2e；与-q+2e；共线，不能作为该平面所有向量的基底.

故选:D.

5.在给出的下列命题中，错误的是()

A.设O,A8,C是同一平面上的四个点，若。4=%・。2+(1-机＞OC(〃?eR),则点A,B,C必共线

B.若向量°,5是平面a上的两个向量，则平面a上的任一向量c都可以表示为c=Xa+〃b(〃"eR)，且表

示方法是唯一的

ARAf

C.已知平面向量OAOB,OC满足O4OB=O4OC,AO=4；—+--,贝UABC为等腰三角形

(|明\AC\J

D.已知平面向量OA,O8,OC满足|OA|=|OB|=|OC|=r(r>0),且。4+O3+OC=0,则..ABC是等边三角形

【答案】B

【详解】对A,^OA=m-OB+(\-m)-OC,则0A-0C=m(02-0C),^CA=mCB,贝UCA//C2,

且有公共点C,故A,B,C共线，故A正确；

对B,根据平面向量基本定理可得若a,b共线，则不满足题意，故B错误；

对C,OAOB=OAOC,：.OA(OB-OC^=Q,即O4CB=0,所以OA_LCB,

(AfiAT)

XAO=2—+—,所以(M为/R4c的角平分线，所以一ASC为等腰三角形，故C正确.

{\AB\\AC\J

对D,若|OA|=|OB|=|0C|=r(r>0),^.OA+OB+OC=0,则OA+O8=—OC,

则OA2+20A-OB+OB2=OC，即/+2r2cos<OA,OB>+r2=r2,

则cos<OA,OB>=-g,则0AOB的夹角为120。，同理。4,OC的夹角为120。，02,0C的夹角为120。，

所以..ABC是等边三角形，故D正确.

综上，错误的选项为B.

故选：B.

6.(多选)设.是己知的平面向量，向量a,6,工在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是()

A.给定向量6,总存在向量c，使a=b+c;

B.给定向量方和c，总存在实数九和〃，使a=M+〃c；

C.给定单位向量方和正数〃，总存在单位向量c和实数X，使“=财+〃。；

D.若忖=2,存在单位向量6,c和正实数4〃，使a=/lb+〃c,贝！］2+〃>2.

【答案】ABD

【详解】对A,给定向量人总存在向量c，使a=6+c，

即a-6=c，显然存在c，所以A正确.

对B,因为向量°,b>c在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：

总存在实数4和〃，使。=/lb+〃c,故B正确.

对C,给定单位向量6和正数〃，总存在单位向量c和实数彳，使。=26+〃c,

当a分解到c方向的向量长度大于"时，向量a没办法按"c分解，所以C不正确.

对D,存在单位向量6、c和正实数彳，〃，由于。=2b+〃c,向量6、c的模为1，由三角形的三边关系可

得2+〃>2,所以D成立.

故选：ABD

7.(多选)下列说法中正确的为()

A.已知:=(1,2),力=(1,1)且“与助的夹角为锐角，则实数X的取值范围是+^|

B.向量6=(2,-3),02=g,-j不能作为平面内所有向量的一组基底

C.非零向量a，b，满足忖>忖且。与b同向，则

D.非零向量a，b，满足口=卜卜卜-0,贝0与a+b的夹角为30。

【答案】BD

【详解】解：对于A选项，a=(1.2),8=(1,1),a与"的夹角为锐角，

a-2/?=(l,2).(2,2)=32>0,且;所以2>0,故A错误；

对于B选项，向量6=(2,-3)=4q,即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确;

对于C选项，卜卜忖且°与方同向，向量依然不能比较大小，故C错误;

对于D选项，因为,卜卜卜卜一0,两边平方得=忖一=2a.b,则a-(a+b)=W+<7/="|卜|，

故cos(a,a+3=［仁9=三1=/，而向量的夹角范围为［0,句,

\/\^a+b\印可2

7T

得a与〃+8的夹角为7，即为30。，故D项正确.

6

故选：BD

8.（多选）下列命题正确的是（）

A.AB+MB+BC+OM+CO=AB

B.已知向量。=（6,2）与6=（-3,幻的夹角是钝角，则:的取值范围是氏<0

C.若向量q=（2,-3）,e?能作为平面内所有向量的一组基底

D.若a"b，贝h在匕上的投影向量为a

【答案】AD

【详解】对于A:AB+MB+BC+OM+CO=AB+BC+CO+OM+MB=AB；

对于B:当上=-1时，夹角为平角;

对于C:0=44，所以与乌共线，不能构成基底；

a-b7a-bza-b7

对于D：a在匕上的投影向量为讨电，当a与分同向时，后仍=。成立；当―与6反向时后小=。也成立.

故选：AD.

9.（多选）古代典籍《周易》中的"八卦"思想对我国建筑中有一定影响.下图是受"八卦"的启示，设计的正

八边形的八角窗，若。是正八边形ASCDE尸G"的中心，且,可=1,贝I（）

A.A”与C尸能构成一组基底B.ODOF^O

C.OA+OC=>/3OBD.ACCD=—

2

【答案】BD

【详解】连接8G,CF,由正八边形的性质可知，AH//BG,CF//BG,

所以AH〃CT,所以AH与C尸是共线向量，所以A"与CF不能构成一组基底，A项错误;

171

又ZDO尸=：x2乃=彳，所以ODLOF.所以。。.0尸=0,B项正确；

42

由上过程可知OA_LOC,连结AC交。3于点

在直角三角形OAC中，M为AC的中点，贝UQ4+OC=2OM,

iuuur1UUIBA/2|UUTI、历jUUBUULuuu_ULIU

又0M|AC=^|OA|=^|OB-所以。4+OC=V^OB，C项错误;

13n

又正八边形的每一个内角为：-(8-2)x^=—,

84

TTTT

延长。C,AB,相交于点N,则/CBN=/BCN=—，所以/BNC=—,故ABLCD,

42

uimuunuunuunuunuunuimuunuunuun(/o

所以AC-Cr>=(AB+3C>C£>=AB-C£>+8C-C£>=|BC|2cos%-]=+，D项正确.

故选:BD.

10.设是两个不共线的非零向量，且a=q—2e],A=q+3/.

（1）证明：｛。，可可以作为一个基底；

（2）以｛。,耳为基底，求向量c=3q-e2的分解式.

【答案】（1）证明见解析；（2）c=2a+b.

【分析】（1）利用反证法，先假设a,6共线，推出矛盾，由此证得。*不共线，即｛

（2）利用向量线性运算求得向量c=的分解式.

【详解】⑴假设a,6共线，则a=肌，

贝|e1-2e2=2(q+3e2)=Xex+3Ae2

A=If

由de?不共线，得八二

3

所以4不存在，故不共线,

即｛a,b｝可以作为一个基底.

(2)设。=ma+nb，

则3e1—e2="6—2e2)+〃(,+3/)=(m+n),+(3n-2m)e2

3=m+n\m=2

所以-1=-2,〃+3〃,解得〃=1

故c=2a+〃.

题组C培优拔尖练

1.在.ylBC中，AB=2,AC=3,ABAC=60,N为线段BC的中点,M为线段AC上靠近点A的三等分

点，两条直线⑷V与相交于点P,则AP.BC=()

.57一9

A.—B.-C.一

444

【答案】A

夕)1

【详解】解：由题知，AP=AAN=-AB+-AC=-AB+—AM,

2222

AP=AB+BP=AB+JuBM=AB+Ju^AM-AB^=(l-/j)AB+JuAM

A32,

—+——=1

22

5=1-〃,解得丸=:

32

了="

1311

AP=-AB+-AM=-AB+-AC

4444

AP.BC=AB+；AC：(AC-AB)=：(AC。一AB。)=：,

故选：A.

13

2.如图，.ABC中，BD=3DC，AE=mAB，AF=nAC，m>0,n>0,则一+—=（）

mn

43

A.3B.4C.-D.-

34

【答案】B

QQ1O

【详解】由题意得：AD=AB+BD=AB-i—BC=AB+-（AC-AB]=-AB+-ACf

44、744

13

AE=mAB，AF=nAC，A。---AE+--AF,

4m4〃

1313

瓦三点共线，.•.「+丁=1,即—+—=4.

4m4nmn

故选：B.

3.在平行四边形A3CD中，E、尸分别在边AD、8上，AE=3ED,。尸二尸。,A尸与郎相交于点G,记

AB=a,AD=b,则AG=（）

【答案】D

【详解】过点尸作产N平行于3C,交班于点

1133

因为小=尸。，则方为QC的中点，所以MNA石且=石二不乂二人「二入人。，

2248

35

因为7VF=A£）,所以MF=NF—MN=AD――AD=-AD,

88

A£>

AEAGCCH,AGAE46

由二AEGT可得:而‘所以方=而=.=二

EMG~FM

8

因为46=94b=9（人。+。月）=9（4。+,”）=243+94。，

11111121111

所以AG=aa+%,

4.如图，在二AfiC中，点。是边A8上一点且BD=2A。，E是边BC的中点，直线AE和直线。交于点忆

BC

若族是-ABC的平分线,则制=（）

A

,EB

L

A.4B.3C.2D.

2

【答案】c

、

A+rn，（根据角平分线的条

【详解】因为8尸是/ABC的平分线，所以存在一个实数4使得①7=几

网国J

件，选择合适的基底）

/\

因为是边的中点，所以歹=几器+学，又点E,歹共线,2221

EBC84所以网+网①•（三点共

〔网1和

线的应用：OA=WB+luOC（/1,〃为实数），若A,B,C三点共线，则2+〃=1）

"3、

BDRC3AA

因为=所以2尸=2j码+国，又点cR0共线’所以宿向②，联立①②,

/

11BC

得啊一网,则胡=2,即

BA

故选：C.

5.在平行四边形A3CD中，E是边。。的中点，AE与BD交于点F.若AB=a,AD=b，则A/=（）

132r1r31

A.-ciH—7bB.—ci+—bC.—an—7bD."b

44334433

【答案】D

【详解】AE^AD+DE=AD+-AB.

2

设AP=/IAE(O<X<1)，

则2尸=4尸一48=力［4£)+:48)—42=/14£)+(1—1)43,

又BD=AD-AB，且氏三点共线，则共线，

即三〃eR,使得BF=ji/BD,B|JAAZ)+^――1JAB=/JAD—/JAB,

A=//A=-

又AB,AD不共线，则有1,解得<3

—\--u2，