2021-2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知且，若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用集合的含义解答.【详解】解：由题得.故选：B2．若（i是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出即得解.【详解】解：，∴．故选：C3．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，得，求出的值，从而可求出的坐标【详解】解：由得，解得，∴．故选：D4．将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】由题得,即得解.【详解】解：由题得，所以．故选：B5．某品牌计算器在计算对数时需按“log（a，b）”．某生在计算时（其中且）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，然后利用换底公式化简可求得结果【详解】解：由题，∴，即，由于且，∴，即．故选：C6．若，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解.【详解】解：由得，∴或，因为，，所以.由及得，∴，所以．故选：A7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m【答案】A【分析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出．【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．∴（）2=h2+1002﹣，化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故选A．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8．在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（

）A． B．6 C． D．9【答案】B【分析】由题意得，平方化简结合余弦定理可得，设，，由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值【详解】解：由题，∵，∴，即，即，设，，由得，则，（当且仅当，即，是取等），∴周长的最大值为6．故选：B二、多选题9．已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则满足不等式的x可能是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】由题得，画出两个函数的图象即得解.【详解】解：由题得，在同一坐标系中画出和的图象，结合图象可知B，C正确．故选：BC10．关于平面向量，，，下列说法中错误的是（

）A．若，，则存在，使得B．若，为非零向量且，则，的夹角为钝角C．若，则D．若，，则【答案】BCD【分析】根据共线向量的性质即可判断A；举例说明即可判断B；根据平面向量数量积的定义和运算律即可判断C；当时结论不成立，进而判断D.【详解】A：当时，向量与共线，由向量共线定理可知存在使得，故A正确；B：当，夹角为时，，故B错误；C：，则，得，无法判断与的关系，故C错误；D：当时，结论成立，当时，结论不成立，故D错误.故选：BCD11．下列说法正确的是（

）A．若复数（i为虚数单位），则B．若复数z满足，则C．若复数（a，），则z为纯虚数的必要不充分条件是D．若复数z满足，则【答案】ACD【分析】根据复数的乘、除法运算和复数的乘方即可判断A；举例即可判断B；根据复数的概念即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.【详解】A：∵，∴，故A正确；B：若，则，但，故B错误；C：若z为纯虚数，必然有；若，则z为实数，∴“”是“z为纯虚数”的必要不充分条件，故C正确；D：根据复数加法的几何意义可知，设，则，所以，所以复数对应的点的集合为圆心为、半径为1的圆，所以，故D正确．故选：ACD12．在△ABC中，，，，则（

）A．△ABC外接圆面积为定值，且定值为 B．△ABC的面积有最大值，最大值为C．若，则 D．当且仅当或时，△ABC有一解【答案】ABD【分析】对于A：利用正弦定理求半径；对于B：利用余弦定理建立边之间的关系，再利用基本不等式求得；对于C：利用正弦定理求得，再利用大边对大角进行判断；对于D：利用余弦定理得，结合二次函数零点分布理解计算．【详解】由容易得到，由得，，A正确；由得，解得，∴，B正确．若，由得，∴或（均符合题意），C错误．由得，，此方程有唯一正解等价于或，又由于，∴或，D正确．故选：ABD．三、填空题13．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为____________．【答案】【分析】设正方体的棱长为a，求出的值，设球的半径为R，求出R即得解.【详解】解：设正方体的棱长为a，则，得．设球的半径为R，则，即．所以球的体积．故答案为：14．欧拉公式把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数满足，则=________．【答案】【分析】利用欧拉公式可得：．代入，化简可得，再利用模的运算性质即可得出．【详解】解：．，，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了欧拉公式、复数的运算性质、模的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．函数，若，则实数m的取值范围是____________．【答案】【分析】作出函数的图象，根据图象可得，从而可求出实数m的取值范围【详解】因为所以是偶函数，作出的图象如下：由得，，∴．故答案为：16．已知△ABC中，，，，则____________．【答案】【分析】根据三角形重心的定义可得，结合题意和平面向量的线性运算即可得出结果.【详解】由知，点O是△ABC的重心，∵，∴，，∴．故答案为：.四、解答题17．如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F分别是边BC，CD的中点，，．(1)用，表示，；(2)若向量与的夹角为，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）直接利用平面向量的三角形法则求解；（2）求出，即得解.【详解】(1)解：，．(2)解：．，同理，∴．18．在复平面内，复数，，对应的点分别为，，．(1)计算，并求的模；(2)求向量在向量上的投影向量，其中O为复平面的原点．【答案】(1)，(2)【分析】(1)根据复数的几何意义求出，结合复数的乘、除法运算即可求出，根据复数的几何意义即可求出；(2)根据平面向量的坐标运算求得、，进而求出、，结合投影向量的计算公式即可求解.【详解】(1)由复数的几何意义，得，，∴．∴．(2)，，∴，，设为，∵，∴向量在向量上的投影向量是．19．已知向量，．(1)若，且，求；(2)若，且存在使得，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出，结合倍角公式求解即可；（2）由数量积公式、三角函数的性质结合得出实数a的取值范围．【详解】(1)由得，由知，∴，即，∴．(2)由题，其中．，当时，，∴当时，取得最小值，最小值为，∴，即实数a的取值范围是．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．(1)若，求A；(2)在第（1）问的前提下，若，求△ABC的周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）由正弦定理的边化角公式，结合三角恒等变换得出；（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由，得出△ABC的周长的取值范围．【详解】(1)选①．由及正弦定理得，∴，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．选②．由及正弦定理得，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．选③．由及正弦定理得，∴，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．(2)由将，代入余弦定理得，∴，即，由于得，∴，解得，（当且仅当时取等）又，∴，即，∴求△ABC的周长的取值范围是．21．如图，在长方体中，，，点E，F分别是棱AB，BC的中点．(1)求三棱锥的体积；(2)点E，F，确定的平面为，试作出平面截长方体的截面图，并计算该截面的面积（不必写出画法和理由）．【答案】(1)(2)作图见解析，【分析】（1）由直接求解，（2）延长DC交EF于点，延长DA交EF于点，交与点M，交于点N，则五边形为求的截面，【详解】(1)，∴三棱锥是体积为．(2)延长DC交EF于点，延长DA交EF于点，交与点M，交于点N，平面截正方体的截面图为五边形（如图所示）．由相似三角形的知识可知，，，同理，，易求得，，∴，∴该截面的面积为．22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是线段BC上一点（不包括端点），且AD⊥AC，求△ABD的面