专题21图形的相似与位似（讲义）

专题21图形的相似与位似核心知识点精讲理解掌握比例线段的相关概念；理解掌握比例的性质、黄金分割点等定义；理解掌握平行线分线段成比例定理；理解掌握什么是相似多边形、位似图形。考点1比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2.比例的性质（1）基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3.黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB考点2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。5.相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6.位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。【题型1：比例的性质与比例线段】【典例1】（2023•霞山区校级一模）已知ab=35【答案】见试题解答内容【分析】利用设k法，进行计算即可解答．【解答】解：∵ab∴设a＝3k，b＝5k，∴b+ab−a故答案为：4．1．（2023•南海区校级模拟）已知2a＝3b（ab≠0），则下列各式正确的是（）A．ab=23 B．a2=【答案】C【分析】根据比例的性质，即可求解．【解答】解：∵2a＝3b（ab≠0），∴ab=3C选项正确，符合题意；a3=b2，故故选：C．2．（2022•南海区一模）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为34cm【答案】34cm【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得ab=cd，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴ab∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，∴a3解得：a=3故答案为：34cm3．（2022•龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d＝9cm．【答案】9．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，∴d＝9，则d＝9cm．故答案为：9．4．（2024•深圳模拟）已知5a＝2b，则a：b＝2：5．【答案】见试题解答内容【分析】依据比例的性质进行变形即可．【解答】解：∵5a＝2b，∴a：b＝2：5．故答案为：2：5．【题型2：黄金分割】【典例2】（2023•福田区校级二模）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如图AC长度为15cm，则AB的长度约为9.27cm．（黄金分割率为0.618）【答案】9.27．【分析】根据黄金分割的定义可知：ABAC【解答】解：∵B为AC的黄金分割点，AB＞BC，AC＝15cm，∴ABAC∴AB＝0.618•AC＝9.27（cm）．故答案为：9.27．1．（2023•禅城区二模）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（）A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割【答案】D【分析】根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：因为0.618是黄金分割数，所以体现了黄金分割．故选：D．2．（2023•兴宁市二模）古希腊以来，人们以满足黄金分割比的事物为美．长发及腰，佳人倾城一笑亦是一种美．现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x（0≤x≤4）年其身高近似满足函数y＝2x+160（单位：厘米）．若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米，则下列说法正确的是（）注：黄金分割比为5−1A．对于函数y＝2x+160而言，y为自变量，x为因变量，160为常量 B．该少女此时身高约为160厘米（四舍五入取整） C．该少女年龄为17岁（四舍五入取整） D．若某一年该少女身高为170厘米，则该少女年龄为18岁【答案】C【分析】根据题目要求和选项以此判断即可得出答案．【解答】解：A．对于函数y＝2x+160而言，x为自变量，y为因变量，故该选项错误，不符合题意；B．设该少女头发末端到脚底的长度为m厘米，∵该少女的头发长度为64厘米，∴其身高为（m+64）厘米，又∵该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比5−1∴mm+64≈0.618，解得其身高为103.5+64＝167.5≈168厘米，∴该少女此时身高约为168厘米（四舍五入取整），故该选项错误，不符合题意；C．由B知，该少女此时身高约为168厘米，∵其身高近似满足函数y＝2x+160，∴解得x＝4，又∵13+4＝17，故该选项正确，符合题意；D．若该少女身高为170厘米，则2x+160＝170，解得x＝5，∵0≤x≤4，故该选项错误，不符合题意；故选：C．3．（2023•深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm【答案】B【分析】根据图形和题目中的数据，可以得到ABCD【解答】解：由题意可得，ABCD解得AB≈49，故选：B．【题型3：平行线分线段成比例】【典例3】（2023•禅城区校级三模）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为（）A．4 B．2 C．72 D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，代入计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC∵AB＝2，DE＝BC＝3，∴23解得：EF=9故选：D．1．（2024•深圳模拟）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（）A．20cm B．25cm C．30cm D．100【答案】C【分析】由平行线分线段成比例可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，∵BE∥AD，∴BCAC∵AC＝50cm，∴BC＝30cm．故选：C．2．（2023•榕城区一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，∵a∥b，∴ABAC∵AC＝12，∴AB=2故选：A．3．（2023•东莞市校级一模）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（）A．6 B．9 C．10 D．25【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，∴DEEF=AB解得，EF＝9，故选：B．【题型4：相似图形的性质】【典例4】（2023•茂南区二模）任意下列两个图形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形【答案】C【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．【解答】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以D不符合题意；故选：C．1.（2023•福田区模拟）下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对应边成比例的四边形是相似四边形 C．二次函数y＝x2+bx﹣1（b为常数）的图象与x轴有两个交点 D．若代数式1x+1在实数范围内有意义，则x【答案】C【分析】根据菱形的判定，相似多边形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义分析即可得解．【解答】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误，不符合题意；B．对应边成比例且对应角相等的四边形是相似四边形，故该选项错误，不符合题意；C．对于二次函数y＝x2+bx﹣1（b为常数），Δ＝b2+4＞0，所以图象与x轴有两个交点，故该选项正确，符合题意；D．若代数式1x+1在实数范围内有意义，则x故选：C．2．（2022•中山市三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（）A．5×(52)C．5×22022【答案】A【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC=A∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为5：2，∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比5：2，∵矩形ABCD的对角线为5，∴矩形AB1C1C的对角线AC1=5依此类推，矩形AB2C2C1的对角线和矩形AB1C1C的对角线的比为5：2，∴矩形AB2C2C1的对角线AC2=5∴矩形AB3C3C2的对角线AC3=5×（5按此规律第n个矩形的对角线A∁n=5×（52∴AC2022的长为5×（52）故选：A．【题型5：位似图形】【典例5】（2023•仁化县二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知OAOA′=13，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】先利用位似的性质得到ABA′B′=OAOA′=13，则四边形A'B【解答】解：∵四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点为位似中心的位似图形，∴ABA′B′∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似比为3，∴四边形A'B'C'D'的面积＝9四边形ABCD的面积＝9×2＝18．故选：D．1．（2023•南海区校级一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．12 B．18 C．20 D．50【答案】C【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：AD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，∴ACDF且△ABC∽△DEF，∵OA：AD＝2：3，∴DFAC又△ABC∽△DEF，∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：5，∵△ABC的周长为8，∴△DEF的周长为20．故选：C．2．（2023•茂南区校级模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．27【答案】D【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到ABDE【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴ABDE∴S△ABCS△DEF=（1∵△ABC的面积为3，∴△DEF的面积为27，故选：D．3．（2023•顺德区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比为1：2，若点B（﹣4，﹣2），则其对应点B'的坐标为（）A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）【答案】D【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比为1：2，点B（﹣4，﹣2），∴点B的对应点B'的坐标为[﹣4×（﹣2），﹣2×（﹣2）]，即（8，4），故选：D．4．（2023•禅城区三模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知OAOA′=13，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′A．3 B．6 C．9 D．18【答案】D【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，证明△OAB∽△OA′B′，求出ABA′B′【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴ABA′B′∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为1：9，∵四边形ABCD的面积是2，∴四边形A′B′C′D′的面积是18，故选：D．【题型6：位似图形作图】【典例6】（2023•南山区模拟）如图，已知点B（﹣3，6），C（﹣3，0），以坐标原点O为位似中心，在第四象限将△OBC缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为1：3）．（1）画出缩小后的图形；（2）写出B点的对应点坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M经位似变换后的对应点坐标．【答案】（1）见解答；（2）B点的对应点坐标为：（1，﹣2）；（3）（−13x，−【分析】（1）由以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半，根据位似图形性质，可求得其对应点的坐标，继而画出图形；（2）结合（1）可求得B点的对应点坐标；（3）根据位似图形的性质，即可求得点M经位似变换后的对应点坐标．【解答】解：（1）如图，△B′OC′，△B″OC″为所求，（2）B点的对应点坐标为：（1，﹣2）；（3）△OBC内部一点M的坐标为（x，y），则点M经位似变换后的对应点坐标为，（−13x，−1．（2023•龙川县三模）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．【答案】见解答．【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．2．（2023•潮阳区模拟）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1；（2）△A1B1C1的面积为28．【答案】（1）图形见解答；（2）28．【分析】（1）连接OB延长OB到B1，使得OB＝BB1，同法可得A1、C1，△A1B1C1就是所求三角形；（2）用矩形面积减去3个三角形面积即可求解．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形；（2）如图，分别过点A1、C1作y轴的平行线，过点B1作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，∴A1（﹣2，4），B1（4，2），C1（8，10），∴△A1B1C1的面积＝8×10−12×6×2−3．（2023•榕城区二模）如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．（1）仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标（0，2）．（2）若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出△A1B1C1在y轴左侧的位似图形△A2B2C2．且△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1；（3）在（2）中，若△A2B2C2边上的一点P2的坐标为（a，b），则点P2在△A1B1C1上的对应点P1的坐标为（2a，2b）．【答案】（1）（0，2）；（2）见解答；（3）（2a，2b）．【分析】（1）连接A1A、B1B、C1C，它们的交点为位似中心M点，然后写出M点的坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以12得到点A2、B2、C2（3）根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把P2的横纵坐标都乘以2得到P1点的坐标．【解答】解：（1），如图1，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；故答案为：（0，2）；（2）如图2，△A2B2C2为所作；（3）点P2在△A1B1C1上的对应点P1的坐标为（2a，2b）．故答案为：（2a，2b）．一．选择题（共7小题）1．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝DE，BC＝4，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，可得出EFDE=BCAB，再结合AB＝DE，【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴EFDE又∵AB＝DE，BC＝4，∴EF＝BC＝4．故选：A．2．下列各组的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm【答案】C【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A.2×3≠1×4，故本选项错误；B.2×8≠4×6，故本选项错误；C.5×30＝10×15，故本选项正确；D.20×5≠10×15，故本选项错误；故选：C．3．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，而四边形ABCD的面积等于4，∴四边形A′B′C′D′的面积为9．故选：D．4．已知a−ba+b=2A．15 B．−15 【答案】C【分析】根据已知条件得出a＝5b，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．【解答】解：∵a−ba+b∴3a﹣3b＝2a+2b，∴a＝5b，∴ab故选：C．5．若ab=3A．17 B．−17 【答案】B【分析】根据已知条件得出a=34【解答】解：∵ab∴a=34∴a−ba+b故选：B．6．若ba=3A．1 B．45 C．75 【答案】C【分析】根据比例性质即可求解．【解答】解：∵ba∴设a＝5k，b＝3k（k≠0），∴2a−ba故选：C．7．如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若ABBC=1A．12 B．13 C．2【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵ABBC∴ABAC∵a∥b∥c，∴DEDF故选：B．二．填空题（共5小题）8．如果xy=53，那么x−y【答案】23【分析】先把x−yy化成x【解答】解：∵x：y＝5：3，∴x−yy=xy−故答案为：239．如图，已知AD∥EF∥BC，BC＝2AD，BE＝2AE，AD→=a，那么用a表示EF→【答案】43【分析】连接BD交AC于G，由平行线得出BEBA=23，DFDC=AEAB=13，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD=EBAB=23，FGCB=DF【解答】解：连接BD交AC于G，∵AD∥EF∥BC，BE＝2AE，∴BEBA=23，DFDC=AEAB=∴EGAD=EB∴EG=23AD，GF=∵BC＝2AD，AD→∴EG=23a→∴EF＝EG+GF=4故答案为：4310．已知a3=b2≠0，且a+3b＝5，则a【答案】53【分析】利用设k法进行计算，即可解答．【解答】解：设a3=∴a＝3k，b＝2k，∵a+3b＝5，∴3k+6k＝5，解得：k=5∴a＝3k=5故答案为：5311．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC＝5−1【答案】5−【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到AC=5−12AB【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），∴AC=5−12AB=故答案为：5−12．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为（3，4）或（﹣3，﹣4）．【答案】见试题解答内容【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是2：1，点C（6，8），∴点C的对应点F的坐标为（6×12，8×12）或（6×（故答案为：（3，4）或（﹣3，﹣4）．三．解答题（共3小题）13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1；（2）画出△A2B1C2，使得它与△ABC关于点O中心对称，并写出C2的坐标．【答案】（1）画图见解析过程；（2）画图见解析过程，C2（3，﹣1）．【分析】（1）根据位似的性质，找到点A，C，使得BC1＝2BC，BA1＝2BA，连接A1，C1即可求解；（2）根据中心对称的性质画出画出△A2B1C2，使得它与△ABC关于点O中心对称，并根据坐标系写出C2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求，（2）如图所示，△A2B1C2即为所求，C2（3，﹣1）．14．如果a2=b3=c4，且3a﹣2b+c【答案】6．【分析】令a2=b3=c4=k，从而表示出a，b，c．再代入3【解答】解：令a2=∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵3a﹣2b+c＝8，∴6k﹣6k+4k＝8，∴k＝2，∴a＝2k＝4，b＝3k＝6，c＝4k＝8，∴a﹣b+c＝4﹣6+8＝6．15．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2，l3于点A、C、E和点B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的长．【答案】275【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ACAE∵AC：CE＝2：3，∴ACAC+CE即22+3∴BD=18∴DF=BF−BD=9−18一．选择题（共7小题）1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（）A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．3cm，3cm，3cm，4C．2cm，4cm，9cm，18cm D．4cm，5cm，6cm，7cm【答案】C【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵2×3.5≠3×2.5，∴四条线段不成比例；B、∵3×43C、∵18×2＝4×9，∴四条线段成比例；D、∵4×7≠6×5，∴四条线段不成比例；故选：C．2．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（）A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n） C．（m，n） D．（m，n）或（﹣m，﹣n）【答案】B【分析】回顾位似的两种类型，有A型或者X型；所以给点P的坐标乘±2，即为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），化简即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，∴P的坐标为（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），故选：B．3．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（）A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm【答案】B【分析】根据成比例线段的定义得到a：3＝6：9，然后利用比例的性质求a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段，∴a：b＝c：d，即a：3＝6：9，∴a＝2（cm）．故选：B．4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝8，BC＝12，EF＝9，∴ABBC∴812∴DE＝6．故选：A．5．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，有下列结论：①EDEA=EFEB；②DEBC=EFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴EDEA=EFEB，DEAD故①②④正确；故③错误；故选：C．6．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【答案】C【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选：C．7．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，点C就是线段AB的黄金分割点．若ABA．5−12 B．5−1 C．3−【答案】C【分析】利用勾股定理求出AD的长即可解决问题．【解答】解：由题知，∵AB＝2，BD=1∴BD＝1．又∵BD⊥AB，∴AD=1又∵DE＝BD＝1，∴AE=5则AC＝AE=5∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（5−1）＝3−故选：C．二．填空题（共5小题）8．如图，已知l1∥l2∥l3，AC＝6，DF＝8，AB＝2，那么EF＝163【答案】163【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABAC=DE解得：DE=8∴EF＝DF﹣DE＝8−8故答案为：1639．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是6．【答案】6．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长＝6，故答案为：6．10．已知ab=13，那么a+b【答案】43【分析】根据比例的性质“如果ab=c【解答】解：∵ab∴a+bb∴a+bb故答案为：411．黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长＞宽），若该书长为20cm，则宽为12.4cm．（结果精确到0.1cm）【答案】12.4．【分析】根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比计算它的宽即可．【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm，∴它的宽＝20×5−12故答案为：12.4．12．已知正方形ABCD的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比为12，则点A1与点B的最大距离为210；连接A1C1，若△PA1C1的周长为3+22，则△PA1C1的面积为12【答案】210；12【分析】依据题意，根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点A1最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可；根据正方形ABCD的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比为12，得到正方形A1B1C1D1的边长为2，得到A1C1＝22，设PA1＝x，则PB1＝2﹣x，根据PA1+PC1【解答】解：如图，当位似中心P与点C重合时，点A1最远，此时与点B的距离也是最大的．∵正方形ABCD的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比为12∴正方形A1B1C1D1的边长为2．∴A1B=BB1故答案为：210．∵正方形ABCD的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比为12∴正方形A1B1C1D1的边长为2．∴A1C1＝22．设PA1＝x，则PD1＝2﹣x，∵△PA1C1的周长为3+22，∴PA1+PC1＝3．∴x+(2−x∴（2﹣x）2+22＝（3﹣x）2．∴x=1∴△PA1C1的面积为12故答案为：12三．解答题（共3小题）13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E为BC边上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转120°得到线段FE，连接AC，AF，AF交CD边于点H，设BECE=x，【尝试初探】（1）如图1，求证：△ABC∽△AEF；【深入探究】（2）如图2，连接CF，当x＝1时，探究得出y的值为1，请写出证明过程；【联系拓展】（3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为y=2x1+x．请根据该关系式，解决下列问题：连接EH，若AB＝12，当△EHF为等腰三角形时，求【答案】（1）（2）见解析，（3）BE＝3或33【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明△ABC∽△AEF．（2）连结BD交AC于O，过F作BC的平行线交CD于M．等腰三角形ABC中，顶角120°，底角30°，得到AC=3BC，证明△ABE∽△ACF，得到CF=3BE，再证△CFM中∠FCM＝90°，∠CFM＝30°，CF=3CM，得到CM＝BE，DM＝CE，x＝1，BE＝CE，可得MF＝DA，证明△ADH≌△FMH，可得AH＝（3）①当△EHF为等腰三角形时有两种可能，①HE＝HF，②FF＝FH，可求x的两个值．【解答】证明：（1）∵AB＝BC，AE＝EF，∴ABAE∵∠ABC＝∠AEF，∴△ABC∽△AEF．（2）连结BD交AC于O，过F作BC的平行线交CD于M．菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，AC，BD互相垂直平分，∴AB＝2OB，OA=A∴AC=3AB∵△ABC∽△AEF，∴ABAE∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴BECFCF=3BE∠ABE＝∠ACF＝120°，∠MCF＝∠ACF﹣∠ACD＝120°﹣30°＝90°，∵MF∥BC，∴∠FMC＝∠BCD＝60°，∴∠MCF＝30°，∴MF＝2CM，CF=MF∵CF=3BE∴BE＝CM，∵BC＝CD，∴CE＝MD．∵x＝1，BE＝CE，∴CM＝DM．∵MF∥AD，∴∠D＝∠HMF，∠DAH＝∠MFH，∴△ADH≌△FMH（AAS）．∴AH＝FH，∴y=FH解：（3）当△EHF为等腰三角形时有两种可能，①△EFH中，HE＝HF，∵△AEF∽△ABC，∵AC=3∴AF=3EF△EFH中，HE＝HF，∴∠HEF＝∠F＝30°，∴△AEF∽△EHF，∴EF=3FH∴AF＝3HF，∴AH＝2FH，∴y=FH∵y=2x∴x=1∴BECE∵AB＝BC＝12，∴BE＝3．②FH＝FE，AF=3FE∴AH＝AF﹣FH＝（3−1）EF∴y=FHy=2x2x1+xx=2x=BECE，AB＝BE＝33+所以BE＝3或33+14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C；（3）直接写出∠A1C1B1+∠B2A2C的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90°．【分析】（1）分别确定A，B，C的位似对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；（2）分别确定A，B绕C点逆时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可；（3）由位似的性质可得：∠A1C1B1＝∠ACB，由旋转的性质可得：∠B2A2C＝∠BAC，∠ACB+∠BAC＝90°，从而可得答案．【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求；（2）如图△A2B2C即为所求；（3）由位似的性质可得：∠A1C1B1＝∠ACB，由旋转的性质可得：∠B2A2C＝∠BAC，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°∴∠A1C1B1+∠B2A2C＝90°15．已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．（1）在图①中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；（2）在图②中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周长比为2：1【答案】（1）作图见解答过程；（2）作图见解答过程．【分析】（1）根据相似比得出各边扩大2倍，即可得出答案；（2）根据相似比得出各边扩大2倍，即可得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△A1B1C1即为所作图形；（2）如图②所示，△MNP即为所作图形．一．选择题（共1小题）1．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（）A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数【答案】A【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，故选：A．二．填空题（共2小题）2．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【答案】15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴420∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴1020∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积=12（HK+GF=1＝15．故答案为：15．3．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=43【答案】332【分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB=12，BOOD=43，得出对应边之间关系，设BC＝4a，表示AB、【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC=ANNM=tan∠又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC设BC＝4a，由BCDM=OBOD=∴AB＝2a，DN=35a，AN=∴NB＝AB+AN＝2a+65a=∴S△ABD故答案为：332三．解答题（共3小题）4．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．①求证：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC=13，求cos∠【答案】（1）作法、证明见解答；（2）①证明见解答；②cos∠DCE的值是35【分析】（1）由菱形的性质可知AD＝AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；（2）①由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，则ABAC=ADAE，∠BAD＝∠CAE，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△②延长AD交CE于点F，可证明△ABC≌△ADC，得∠BAC＝∠DAC，而∠BAC＝∠DAE，所以∠DAE＝∠DAC，由等腰三角形的“三线合一”得AD⊥CE，则∠CFD＝90°，设CF＝m，CD＝AD＝x，则CFAF=tan∠DAC＝tan∠BAC=13，所以AF＝3m，DF＝3m﹣x，由勾股定理得m2+（3m﹣x）2＝x2，求得CD＝x=5【解答】解：（1）如图1，作法：1．以点D为圆心，BC长为半径作弧，2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，3．连接DE、AE，△ADE就是所求的图形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE＝BC，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SSS），∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．（2）①如图2，由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴ABAC=ADAE，∠BAC+∠CAD＝∠∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．②如图2，延长AD交CE于点F，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∵AE＝AC，∴AD⊥CE，∴∠CFD＝90°，设CF＝m，CD＝AD＝x，∵CFAF=tan∠DAC＝tan∠BAC∴AF＝3CF＝3m，∴DF＝3m﹣x，∵CF2+DF2＝CD2，∴m2+（3m﹣x）2＝x2，∴解关于x的方程得x=53∴CD=53∴cos∠DCE=CF∴cos∠DCE的值是355．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现BFBH和∠HBF（1）①BFBH=2②∠HBF＝45°；③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了OHAF和BABO的关系，请你按他的思路证明（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BDAD=EAFA=k