计算机博弈算法与编程 课件 5Monte Carlo算法

5MonteCarlo算法蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。MonteCarlo算法提出：蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国数学家布丰（GeorgesLouisLecleredeBuffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。MonteCarlo算法基本思想：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。MonteCarlo算法工作过程：蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤：（1）构造或描述概率过程对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。MonteCarlo算法（2）实现从已知概率分布抽样构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。MonteCarlo算法（3）建立各种估计量一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。MonteCarlo算法案例：计算PI原理：

先画一个正方形，画出其内切圆，然后这个正方形内随机的画点，设点落在圆内的概为P，则P=圆面积/正方形面积。

P=Pi*R*R/2R*2R=Pi/4

即Pi=4PMonteCarlo算法PI计算示意图MonteCarlo算法1.在一个平面直角坐标系下（暂定第一象限），在点（R,R）（R>0）处画一个半径为R的圆。

2.以这个圆画一个外接正方形，其边长为2R。

3.随机取一点（X，Y）使得0<=X<=2R并且0<=Y<=2R，即随机点在正方形内。

4.判断点是否在圆内，通过公式(R-X)(R-X)+(R-Y)(R-Y)<R*R计算。

5.设所有点（也就是实验次数）的个数为N，落在圆内的点（满足步骤4的点）的个数为M，则

P=M/N

于是Pi=4*N/MMonteCarlo算法简化步骤：

1.将圆心设在原点，以R为半径做圆，则第一象限的1/4圆面积为Pi*R*R/4

2.做该1/4圆的外接正方形,坐标为（0，0）（0，R）（R，0）（R，R），则该正方形面积为R*R

3.随即取点（X，Y），使得0<=X<=R并且0<=Y<=R，即点在正方形内

4.通过公式X*X+Y*Y<R*R判断点是否在1/4圆周内。

5.设所有点（也就是实验次数）的个数为N，落在1/4圆内的点（满足步骤4的点）的个数为M，则

P=M/N

于是Pi=4*N/MMonte