湖北省十堰市2023年高三《数学》上学期月考试题与参考答案

湖北省十堰市2023年高三《数学》上学期月考试题与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小颗给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【分析】分别求出集合对应的代表元素，根据并集的定义即可求解.【详解】由题意可得，，则，故选：B.2.已知复数，，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据复数的代数乘法运算求解即可.【详解】解：因为复数，,所以，故选：A3.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据余弦二倍角公式求解即可.【详解】解：由，得；由，得.故“”是“”充分不必要条件.故选：B4.已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是（）A.10 B. C. D.【答案】D【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，即可得与的关系，即可求得离心率.【详解】因为直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点所以直线与双曲线：的渐近线平行，故，则双曲线的离心率.故选：D5.《中国居民膳食指南（2022）》数据显不，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是（）A.50 B.52.25 C.53.75 D.55【答案】C【分析】结合频率分布直方图可求出频率，即可判断出中位数所在区间，即可求出中位数.【详解】因为，，所以该地中学生的体重的中位数在内，设该中位数为，则，解得.故选：C.6.已知，，且，则的最小值是（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】由得，巧用常数的关系即可求解.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：C.7.如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值．【详解】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，由已知，到直线的距离为，则，，，，从而，.故，因此是钝角，.故选：D．8.已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】将看做整体，先求出对应的，再根据方程的解得个数确定对应的的取值范围即可得解.【详解】令，得或，画出的大致图象.设，由图可知，当或时，有且仅有1个实根;当或时，有2个实根;当时，有3个实根.则恰有4个不同的零点等价于或或或解得或.故选：C.二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（）A.D1C∥平面A1ABB1 B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DB D.平面BCD1⊥平面A1ABB1【答案】AD【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.故选：AD10.已知函数，则（）A.的定义域是 B.的值域是C.是奇函数 D.在上单调递减【答案】AC【分析】逐个判断每个选项.详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：所以的定义域是；故A项正确；对于B项，的值域是，故B项错误；对于C项，，令，定义域为，所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确；对于D项，多个单调区间可用逗号（或“和”）隔开，所以在，上单调递减，在上不是单调递减，故D项错误.故选：AC.11.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A. B.C.是偶函数 D.在区间上单调【答案】BC【分析】由，求得，由题意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得，得到和解析式，逐个判断选项.【详解】，则，由题意得，即，故，因为，，所以，所以，则选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为偶函数，则选项C正确；，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误.故选：BC12.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若直线OA，OB的斜率之积为，则直线过定点B.若直线OA，OB的斜率之积为，则面积的最大值是C.若，则的最大值是D.若，则当取得最大值时，【答案】AC【分析】设直线：，，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，然后由斜率之积求得值，得定点坐标判断A，由选项A的推导得的面积，由面积的表达式得最小值，判断B，在中，由余弦定理得，代入后应用基本不等式得最值，判断C，由选项C的推导得可设直线：然后求得判断D．【详解】设直线：，，，联立整理得，则，.因为直线OA，OB的斜率之积为-2，所以.因为，，所以，所以，解得，即直线过定点，故A正确.由A选项可知，当且仅当时，等号成立，则面积的最小值是，故B错误.在中，由余弦定理可得.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确.由C选项可知直线的斜率不存在，设直线：，则直线与轴的交点为，从而，.因为，所以，所以，即，整理得，解得或.当时，；当时，.综上，或，则D错误.故选：AC．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则__________.【答案】0.8【分析】由向量坐标的加、数乘、数量积运算可得结果.【详解】由题意可得，则，解得故答案为：.14.设等比数列的前项和为，写出一个满足下列条件的的公比__________.①，②是递增数列，③.【答案】2（答案不唯一）【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】由等比数列的通项公式可得，则，因为，且是递增数列，所以，因为，所以，即，因为，所以，解得，综上，故答案为：2（答案不唯一）15.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.【答案】【分析】根据给定条件，求出买5个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答.【详解】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.故答案为：16.若对任意的，都有成立，则的最大值为___________.【答案】e【分析】等价于，即可转化为，设对应函数，结合函数单调性即可求解.【详解】等价于，即，即，设，由题意可知在上单调递减，因为，则在上恒成立，则，故的最大值为.故答案：e.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【小问1详解】设数列的公差为，由题意可得解得，则【小问2详解】由（1）可知，则18.在中，内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若是边的中点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理求解即可；（2）由题知，进而得，再结合基本不等式得，再根据面积公式求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，所以，.因为，所以.【小问2详解】解：因为是边的中点，所以，所以，因为，且，所以.因为，所以，当且仅当时等号成立，所以.则的面积.所以，面积的最大值.19.如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点.（1）证明：平面.（2）求平面ADE与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：连接BD.因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，则.因为平面，平面，所以平面.因为平面ABD，且，所以平面平面.因为平面ABD，所以平面.（2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面ADE的法向量为，则令，得，设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面的夹角为，则.20.某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.（1）求比赛进行四局结束的概率；（2）求甲获得比赛胜利的概率.【答案】（1）（2）【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；【小问1详解】比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜,第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率,第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率,故比赛进行四局结束的概率.【小问2详解】设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件，比赛进行三局，甲获胜的概率为,比赛进行五局，有以下6种情况：，甲获胜的概率为,比赛进行七局，有一下8种情况：甲获胜的概率为,故甲获得比赛胜利的概率为.21.已知椭圆：右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2.（1）求椭圆的标准方程.（2）若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为【分析】（1）根据椭圆的标准方程列方程组求解即可；（2）当直线斜率不存在时，易得，当直线斜率存在时，设直线：，，，将直线与椭圆成联立，利用韦达定理结合向量数量积的坐标公式求解即可.【小问1详解】设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）得，当直线垂直于轴时，，代入椭圆方程，解得，.所以直线的方程为，令，得，则，直线的方程为，令，得，则，所以，，则，即，若为定值，则必为，当直线的斜率存在时，设直线，，，联立整理得，，则，，直线的方程为，令，得，则，直线的方程为，令，得，则，因为，所以，，则，故，即.综上，为定值.22.已知函数，且曲线在处的切线为.（1）求m，n的值和的单调区间；（2）若，证明：.【答案】（1）；在与上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析【分析】（1）由导数得几何意义列出方程组即可求得的值，再