湖南省岳阳市大塅中学2022年高二数学文测试题含解析

湖南省岳阳市大塅中学2022年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线上的点到直线的最短距离是（

）A．

B.

C.

D.0参考答案：A略2.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax3+bx2+cx．．由图象可得：函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在x=﹣1处取得极大值．可得f′（x）≤0在上恒成立，且f′（﹣1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，设k=，则k=，求k的最值，进而得出结论．【解答】解：由图象可知：经过原点，∴f（0）=0=d，∴f（x）=ax3+bx2+cx．由图象可得：函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在x=﹣1处取得极大值．∴f′（x）=3ax2+2bx+c≤0在上恒成立，且f′（﹣1）=0．得到3a﹣2b+c=0，即c=2b﹣3a，∵f′（1）=3a+2b+c＜0，∴4b＜0，即b＜0，∵f′（2）=12a+4b+c＞0，∴3a+2b＞0，设k=，则k=，建立如图所示的坐标系，则点A（﹣1，﹣2），则k=式中变量a、b满足下列条件，作出可行域如图：∴k的最大值就是kAB=，k的最小值就是kCD，而kCD就是直线3a+2b=0的斜率，kCD=﹣，∴．∴故选A．3.已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：D4.设是一个等比数列，它的前3项的和为10，前6项的和为30，则它的前9项的和为(

)A．50

B．60

C．70

D．90

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B．

C．

D．参考答案：A试题分析：令函数F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x）∵f（x）+xf′（x）＜0，∴F（x）=xf（x），x∈（-∞，0）单调递减，∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴F（x）=xf（x），在（-∞，0）上为减函数，可知F（x）=xf（x），（0，+∞）上为增函数∵，∴a=F（-3），b=F（-2），c=F（1）F（-3）＞F（-2）＞F（-1），即

考点：函数的单调性与导数的关系；奇偶性与单调性的综合6.利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对参考答案：C【考点】RG：数学归纳法．【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端=+++…+，那么当n=k+1时

左端=++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．7.已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）?f（b）?f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）=e﹣x+lnx进行求导，判定在定义域上的单调性，根据单调性即可比较．【解答】解：f’（x）=﹣e﹣x+=，∵x＞0，＜1∴f’（x）＞0则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增函数∵正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）?f（b）?f（c）＞0，∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＞0，或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，则a＜b＜x0＜c，或x0＜a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的单调性的应用，属于中档题．8.已知一组数的平均数是，方差，则数据的平均数和方差分别是

（

）

A．11，8

B．10，8

C．11，16

D．10，16参考答案：C9.过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为arccos的直线，交椭圆于A、B两点。若|AF|?|BF|=1?3，那么椭圆的离心率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D10.函数在[2,4]上的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】对函数求导，利用导数分析函数的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数的最大值。【详解】，，令，由于，得.当时，；当时，。因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，，，因此，，故选：A。【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下：（1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性；（2）求出函数的极值；（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知

求的最小值_____________．参考答案：5

略12.已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】压轴题． 【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=t，b=t，设直线AB方程为x=sy+t，由此可知． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵=3，∴y1=﹣3y2， ∵e=，设a=2t，c=t，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 设直线AB方程为x=sy+t， 代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0， ∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣， 解得s2=，k=． 故答案：． 【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 13.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________.

参考答案：14.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是

．参考答案：60415.若直线y=x+k与曲线恰有一个公共点，则k的取值范围是

▲

；

参考答案：略16.已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点，则的面积最小为

.参考答案：解析：设直线方程为,代点得:.由于,所以,所以

17.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为．参考答案：60°【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；运动思想；数形结合法；空间角．【分析】首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后求得结果．【解答】解：在平面α内做BE∥AC，BE=AC，连接DE，CE，∴四边形ACEB是平行四边形．由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，∴AB⊥平面BDE．又CE∥AB，CE⊥平面BDE．∴△CDE是直角三角形．又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则：DE=2cm，利用余弦定理：DE2=BE2+BD2﹣2BE?BDcos∠DBE，解得cos∠DBE=，∴∠DBE=60°，即二面角的度数为：60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的应用，线面垂直的性质，二面角的应用．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，若直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.参考答案：（1）直线的参数方程是（为参数），消去参数可得直线的普通方程为曲线的极坐标方程是，化为，所以曲线的直角坐标方程为.（2）将（为参数）代入方程，得，即.由，解得，所以∵，∴，解得或或1，都满足，所以或或.19.工厂有一段旧墙长m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为m2的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1m旧墙费用是元；(3)拆去1m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：①利用旧墙的一段(x<14)为矩形厂房一面的边长；②矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长x≥14。问：如何利用旧墙，即x为多少m时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？参考答案：略20.已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用椭圆离心率三角形的面积，解得a，b，即可得到椭圆方程．（2）设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率关系，推出结果即可．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），通过，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立直线与椭圆方程，求出E，F坐标，求出E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，推出两个三角形的面积，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）椭圆离心率，又，解得a=2，b=1，∴椭圆．（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立.?k（x1﹣n）（x2﹣m）+k（x1﹣m）（x2﹣m）=0?2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0?mn=4．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），因为，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立，联立，所以E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，，∴，（取等条件），λ的最大值为．21.一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？参考答案：假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x