48 陕西省西安市碑林区西北工大附中2023-2024学年八年级 下学期开学考试数学试卷

2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）开学数学试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）下列各数是无理数的是（）A． B． C．1.010010001 D．π2．（3分）下列命题中，真命题的是（）A．同旁内角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．三角形的一个外角大于它的内角3．（3分）在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A+∠B＝2∠C B．AB：AC：BC＝1：1：2 C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2 D．∠A﹣∠B＝90°4．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．5．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（）A． B． C．或 D．156．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（）A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜37．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或38．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm29．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的大致图象是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（）A．3 B． C． D．6二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）（﹣4）2的平方根是．12．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a﹣5﹣2b．13．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为．14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝．15．（3分）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，点E是AB边上的动点，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，若点G为线段AC的中点，当时，则AF的长为．三.解答题（共7小题，计52分，解答题应写出过程）17．（9分）（1）计算：﹣12+（﹣3）0；（2）解不等式：；（3）解方程组：．18．（5分）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1．（1）请在图中画出平面直角坐标系，使得方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为．并找出点P关于AB的对称点Q，直接写出点Q的坐标．（2）点Q到AB的距离是．19．（6分）随着《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的实施，各学校越来越重视上足上好劳动课程．为了更好地设置学生喜欢的劳动课程，某学校在七年级学生中对四项劳动内容（A：校园种植花草；B：学校食堂帮厨；C：校园清洁；D：文明礼仪劝导）开展了随机问卷调查，并对调查结果进行统计，结果如下：请结合统计图回答下列问题：（1）该校抽样调查的学生人数为多少人？并补全条形统计图．（2）在扇形统计图中，请计算项目D所占扇形的圆心角是多少度？（3）若该校七年级共有学生800人，试估计该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有多少人？20．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？21．（7分）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4），动点E、F分别位于x轴负半轴、x轴正半轴上，且AE＝AF，过点D（0，8）的直线CD∥x轴，交AB于点C，连接CE交y轴于点G，连接CF．（1）求直线AB关系式；（2）若点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，当△ECF为直角三角形时，求点G的坐标．23．（10分）综合与实践．活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG交CD于点F．【问题探究】：（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是，∠EAF＝．（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，若AB＝5，BE＝3时，求DF的长．（3）如图④，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，若AB＝5，DN＝，求MN的长．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）下列各数是无理数的是（）A． B． C．1.010010001 D．π【解答】解：A、＝2，是有理数，故该选项不符合题意；B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；C、1.010010001，是有理数，故该选项不符合题意；D、π是无理数，故该选项符合题意．故选：D．2．（3分）下列命题中，真命题的是（）A．同旁内角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．三角形的一个外角大于它的内角【解答】解：A、两条直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；C、根据平行于同一直线的两直线平行，故原命题是真命题，符合题意；D、若三角形的外角也可能等于它相邻的内角，此时三角形为直角三角形，故原命题是假命题，不符合题意．故选：C．3．（3分）在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A+∠B＝2∠C B．AB：AC：BC＝1：1：2 C．（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2 D．∠A﹣∠B＝90°【解答】解：A．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝60°，∴∠A+∠B＝120°，∴不能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；B．∵AB：AC：BC＝1：1：2，∴设AB＝AC＝x，则BC＝2x，∵AB2+AC2＝x2+x2＝2x2BC2＝4x2，∴AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形，故B不符合题意；C．∵（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2，∴AC2﹣BC2＝AB2，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，故C符合题意；D．∵∠A﹣∠B＝90°，∴不能判定△ABC为直角三角形，故D不符合题意，故选：C．4．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5＝，那么方程组是．故选：A．5．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（）A． B． C．或 D．15【解答】解：当AC＝AB＝4时，过A作AE⊥BC，交BC于点E，，∵BC＝6，∴BE＝CE＝3，由勾股定理，AE＝＝，S△ABC＝×AE×BC＝3，当CA＝CB＝6时，∵AC不满足小于AD+CD，∴此种情况不存在，故选：B．6．（3分）如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（）A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，∴a﹣3＜0，∴a＜3，故选：D．7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞，∴a＝3．故选：C．8．（3分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：A、函数y＝kx的k＜0，函数y＝x﹣k中﹣k＜0，则k＞0，两个k的取值不一致，故此选项错误，不符合题意；B、函数y＝kx的k＞0，函数y＝x﹣k中﹣k＜0，则k＞0，两个k的取值一致，故此选项正确，符合题意；C、函数y＝kx的k＞0，函数y＝x﹣k中﹣k＞0，则k＜0，两个k的取值不一致，故此选项错误，不符合题意；D、图象中无正比例函数图象，故此选项错误，不符合题意；故选：B．10．（3分）如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（）A．3 B． C． D．6【解答】解：在AP的下方作∠CAD＝30°，过点B作BD⊥AD于D，则DP＝AP，∴AP+BP＝DP+PB，∴当D，P，B在一条直线上时，AP+BP取得最小值，最小值为线段BD．∵∠BAP＝15°，∴∠BAD＝30°+15°＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝BD，∴AD2+BD2＝AB2，∴2BD2＝62，∴BD＝3，∴AP+BP的最小值为3．故选：B．二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）（﹣4）2的平方根是±4．【解答】解：∵（﹣4）2＝16∴16平方根是±4．∴（﹣4）2的平方根是±4．故答案为：±4．12．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a＞﹣5﹣2b．【解答】解：两边都乘以﹣2，得﹣2a＞﹣2b，两边都加﹣5，得﹣5﹣2a＞﹣5﹣2b，故答案为：＞．13．（3分）一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（a，1），∴1＝﹣2a+4，解得a＝，∴A（，1），∴二元一次方程组的解为，故答案为：．14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝80°．【解答】解：连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，故答案为80°．15．（3分）已知点A的坐标为（﹣1，3），线段AB平行于x轴且AB＝5，则点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．【解答】解：∵线段AB平行于x轴，∴线段AB上所有点的纵坐标相等．∵点A坐标为（﹣1，3），且AB＝5，∴点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．故答案为：（﹣6，3）或（4，3）．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，点E是AB边上的动点，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，若点G为线段AC的中点，当时，则AF的长为4．【解答】解：连接AF，∵AB＝AC＝8，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，在△CBE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠B＝60°，过F作FH⊥AC于H，设AF＝2x∴AH＝AF＝x，∴FH＝＝x，∵点G为线段AC的中点，∴AG＝AC＝4，∴HG＝4﹣x，∵FG2＝FH2+HG2，∴13＝3x2+（4﹣x）2，解得x＝2或x＝6（不合题意舍去），∴AF＝4．故答案为：4．三.解答题（共7小题，计52分，解答题应写出过程）17．（9分）（1）计算：﹣12+（﹣3）0；（2）解不等式：；（3）解方程组：．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+1+2＝﹣1﹣+1+2＝；（2），去分母，得2（2x﹣1）﹣6≥3x，去括号，得4x﹣2﹣6≥3x，移项，得4x﹣3x≥2+6，合并同类项，得x≥8；（3），①+②，得5x＝﹣5，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入②得：﹣1﹣y＝5，解得y＝﹣6，∴原方程组的解为．18．（5分）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1．（1）请在图中画出平面直角坐标系，使得方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为（0，3）．并找出点P关于AB的对称点Q，直接写出点Q的坐标（3，0）．（2）点Q到AB的距离是．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．由图可知，点P的坐标为（0，3）．如图，点Q即为所求．点Q的坐标为（3，0）．故答案为：（0，3）；（3，0）．（2）由勾股定理得，AB＝＝．设点Q到AB的距离是h，∵S△ABQ＝＝3，∴＝3，解得h＝，∴点Q到AB的距离是．故答案为：．19．（6分）随着《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的实施，各学校越来越重视上足上好劳动课程．为了更好地设置学生喜欢的劳动课程，某学校在七年级学生中对四项劳动内容（A：校园种植花草；B：学校食堂帮厨；C：校园清洁；D：文明礼仪劝导）开展了随机问卷调查，并对调查结果进行统计，结果如下：请结合统计图回答下列问题：（1）该校抽样调查的学生人数为多少人？并补全条形统计图．（2）在扇形统计图中，请计算项目D所占扇形的圆心角是多少度？（3）若该校七年级共有学生800人，试估计该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有多少人？【解答】解：（1）调查的总人数：16÷32÷＝50（人）．C组人数：50×20%＝10（人）．B组人数：50﹣16﹣10﹣4＝20（人）．补全条形统计图如下：（2）项目D所占扇形的圆心角：360°×＝28.8°．（3）该校七年级学生喜欢校园种植花草和校园清洁共有：800×＝416（人）．20．（7分）某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；（2）设购进m个A种纪念章，则购进（400﹣m）个B种纪念章，根据题意得：10m+6（400﹣m）≤2800，解得：m≤100．设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w＝（13﹣10）m+（8﹣6）（400﹣m），即w＝m+800，∵1＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝100+800＝900，此时400﹣m＝400﹣100＝300．答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．21．（7分）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．【解答】证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4），动点E、F分别位于x轴负半轴、x轴正半轴上，且AE＝AF，过点D（0，8）的直线CD∥x轴，交AB于点C，连接CE交y轴于点G，连接CF．（1）求直线AB关系式；（2）若点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，当△ECF为直角三角形时，求点G的坐标．【解答】解：（1）设y＝kx+b，A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b，，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣4；（2）把y＝8代入y＝x﹣4，得x＝9，∴点C的坐标为（9，8），由△ECF是直角三角形，且点E在x轴负半轴上运动，点F在x轴正半轴上运动，得∠CFE＝90°或∠ECF＝90°，①若∠CFE＝90°，∵∠CFE＝90°，∴CF⊥x轴，∵C（9，8），∴点F的坐标为（9，0），∵A（3，0），∴AF＝6，∵AE＝AF，∴AE＝6，∴点E的坐标为（﹣3，0），设直线CE的解析式为y＝k1x+b1，代入C（9，8），E（﹣3，0），得，解得，∴直线CE的解析式为y＝x+2，代入x＝0，得y＝2，∴点G的坐标为（0，2）；②若∠ECF＝90°，∵A（3，0），C（9，8），∴AC＝＝10，∵△CEF是直角三角形，∠ECF＝90°，AE＝AF，∴AC＝AE＝AF＝10，∵A（3，0），∴点E的坐标为（﹣7，0），设直线CE的解析式为y＝k2x+b2，代入C（9，8），E（﹣7，0），得，解得，∴直线CE的解析式为y＝x+，代入x＝0得，y＝，∴点G的坐标为（0，）；综上所述，当△ECF为直角三角形时，点G坐标的坐标为（0，2）或（0，）．23．（10分）综合与实践．活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG交CD于点