2023-2024学年福建省宁德市寿宁一中高二（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省宁德市寿宁一中髙二（上）期初数学试卷

一、单选题（共40分）

1.已知复数z满足（z+2i）（2-i）=5,则z的共加复数三=（）

A.2-/B.2+/C.-2+zD.-2-1

2.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，己知圆柱的底面直径

A8=16米，A£>=4米，圆锥的高「。=6米，则该蒙古包的侧面积约为（）

图①图②

A.3367T平方米B.272Tt平方米C.208Tt平方米D.144Tl平方米

3.设冲为函数/（x）=阮什'-5的零点，则不等式x-xo>2的最小整数解为（）

A.3B.4C.6D.5

4.某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~

350kWh之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如

A.小区用电量平均数为186.5,极差为300

B.小区用电量中位数为171,众数为175

C.可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5

D.小区用电量不小于250kW'h的约有380户

5.已知函数f（x）=sin2x+JEcos2x，则下列说法错误的是（)

A.函数/（x）的最小正周期为IT

B.x=需是函数/（x）的一条对称轴

7r7T

C.函数/CO在区间［4，勺］上的最大值为2

36

1T

D.将函数/（%）向左平移;二个单位后得函数g（x），则g（x）为偶函数

6

6.函数f（x）W7+2ax->2在区间［一1，1］上单调递减，则。的取值范围为（）

A.-1B.々V-1C.-3Wa<-1D.-3VaV-1

7.如图，在平面四边形A8CO中，ZA=90°,AB=AD=2f△SCO为等边三角形，当点

M在对角线AC上运动时，元.而的最小值为（）

31

A.-2B・亠C.-1D.」

22

8.△ABC中，AB=2,BC=2&，AC=4,点0为△ABC的外心，若丽=血妬菽，则实

数空R的值为（）

m-n

A.7B.—C.1D.1

557

二、多选题（共20分）

（多选）9.设P表示一个点，”、〃表示两条直线，a、B表示两个平面，下列说法正确的

是（）

A.若PEafPEaf则qua

B.若〃n〃=P,则4U0

C.若。〃〃，aua,Pwb,Pea,则bua

D.若aGB=b,Pea,PE0,则PE/?

（多选）10.下列有关复数的说法正确的是（）

A.若复数z=z，则zER

B.若z+z=0，则z是纯虚数

C.若Z是复数，则一定有|z|2=z2

D.若zi,Z2GC,则Z[“Z2=Z[・Z2

（多选）11.一个袋子中有大小和质地相同的5个球（标号为1,2,3,4,5）,从袋中有

放回的抽出两球则下列说法正确的是（）

A.没有出现数字1的概率为上

25

B.两次都出现两个数字相同的概率为《

C.至少出现一次数字1的概率为之

25

D.两个数字之和为6的概率为2

4

（多选）12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-AIBICIDI的表面上一个动点，则（）

A.当P在平面上运动时，四棱锥的体积不变

JTTT

B.当尸在线段4c上运动时，AP与4G所成角的取值范围是[—，今]

C.使直线AP与平面A8CZ）所成的角为45°的点P的轨迹长度为九+4行

D.若尸是45的中点，当P在底面ABC。上运动，且满足PF〃平面BiCDi时，P尸长

度的最小值是遅

三、填空题（共20分）

13.方程/+9=0在复数范围内的根为.

14.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作.元件1,元件2,元件3正常工作的概率分别为白，得，

则这个部件能正常工作的概率为.

——一|元件3——

元件2

15.已知族丄菽，I足IT，|菽I=t，tEq，4］；若尸是△ABC所在平面内一点,

一=一4AJ,则由.它的最大值为_______.

IACIIABI

16.已知正四棱锥S-ABC。的底面边长为底，侧棱长为2,则该正四棱锥相邻两个侧面所

成二面角的余弦值为;该正四棱锥的外接球的体积

为.

四、解答题(共70分)

17.如图，在平行四边形4BCO中，点E在AB上，且4E=28E,点尸是BC的中点.

(1)设族=Z'AD=b＞用gE表示丽’而；

(2)已知互＞丄EF求证：AB=＞|"AD.

18.设函数f(x)=lg(x2-1)的定义域为集合A,g(x)=JgXy-B的定义域为集合B.

(1)当a=l时，求(CRA)AB；

(2)若是“抚3”的必要条件，求实数〃的取值范围.

19.已知向量m=(2cosx,1),n=(cosx,V3sin2x函数f(x)=m,rr

(1)若/(a)=2,ae(0,n),求a的值;

(2)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为〃，b,af(A)=2,b=l,AABC

的面积为返，求

a+b+c的值.

2sinA+sinB+sinC

20.2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式.某校

在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先

按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间

内利用转换公式进行赋分.

A等级排名占比15%,赋分分数区间是86〜100；

B等级排名占比35%,赋分分数区间是71〜85；

C等级排名占比35%,赋分分数区间是56〜70；

。等级排名占比13%,赋分分数区间是41〜55；

E等级排名占比2%,赋分分数区间是30〜40.

现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率

分布直方图如图所示：

(I)求图中。的值；

(II)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋

分后的C等级及以上(含C等级)？(结果保留整数)

(III)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在［40,50)和［50,60)内的学生中共抽取5

人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2

人中恰有一人原始成绩在［40,50)内的概率.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断了(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)求不等式/(x)>0的解集.

22.如图所示，在等边△ABC中，A8=6,M,N分别是A8,AC上的点，且AM=AN=4,

E是8c的中点，AE交MN于点、F.以MN为折痕把△?1〃可折起，使点A到达点P的位

置(0<NPFE<TT),连接PB,PE,PC.

(1)证明：MN丄PE；

(2)设点P在平面A8C内的射影为点。，若二面角尸-MN-8的大小为^兀，求直线

QC与平面PBC所成角的正弦值.

参考答案

一、单选题（共40分）

1.己知复数z满足（z+2i）（2-0=5,则z的共规复数（）

A.2-iB.2+iC.-2+iD.-2-i

【分析】利用复数的四则运算化简复数z,利用共鋸复数的定义可得结果.

解：因为（z+2/）（2-Z）=5,则z^-2i=-「I；：；；A）-2i=2+i-2i=2-i，

所以W=2+i・

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径

AB=16米，4。=4米，圆锥的高PQ=6米，则该蒙古包的侧面积约为（）

A.3361T平方米B.2721T平方米C.208n平方米D.1441T平方米

【分析】首先根据圆柱的侧面展开图为长方形求出圆柱的侧面积，再根据圆锥的侧面展

开图为扇形求出圆锥的侧面积，进而得到蒙古包的侧面积.

解：依题意得，

圆柱的侧面积S[=2兀X6回）XAD=2兀xjx16X4=64兀，：DC=4B=16,

QC-yDC-|x16=8，

在RtAPQC中，PC=7PQ2OC2=762+82=10，

圆锥的侧面积SUxpcx2兀XQcdx1QX2KX8=80兀，

二・该蒙古包的侧面积S=Si+S2=64n+8（hr=144ir,

故选：D.

【点评】本题考查了圆柱和圆锥侧面积的计算，属于基础题.

3.设xo为函数/(x)=历计1-5的零点，则不等式x-xo>2的最小整数解为()

A.3B.4C.6D.5

【分析】首先判断函数的单调性，根据零点存在性定理判断沏€(3,4),再解不等式，

即可得解.

解：因为函数f(x)=/nx+x-5在(0,+8)上单调递增，

又/(3)=山3+3-5=/«3-2<0,f(4)=山4+4-5=/n4-1>0,

即/(3)/(4)<0,所以项€(3,4),

不等式x-巧>2,解得x>2+xo,因为xoe(3,4),所以2+xoC(5,6),

所以不等式x-迎>2的最小整数解为6.

故选：C.

【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题.

4.某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~

350W-/2之间，进行适当的分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如

A.小区用电量平均数为186.5,极差为300

B.小区用电量中位数为171,众数为175

C.可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5

D.小区用电量不小于250kW-h的约有380户

【分析】对于A，根据频率分布直方图中平均数与极差的算法计算即可；对于8,根据频

率分布直方图中中位数与众数的算法计算即可；对于C,根据频率分布直方图中百分位

数的算法判断即可；对于。，求出小区用电量不小于250BV/7的频率，进而得解.

解：对于A,极差为300,小区用电量平均数为

50X0.0024X75+50X0.0036X125+50X0.0060X175+50X0.0044X225

+50X0.0024X275+50X0.0012X325=186,故4错误；

对于8,小区用电量众数为工5°彳°°一=175,

因为50X(0.0024+0.0036)=0.3,50X(0.0024+0.0036+0.0060)=0.6,

故小区用电量中位数在［150,200),设为〃?，

则0.3+(m-150)X0.0060=0.5,解得m=远，故B错误；

3

对于C,因为50X(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)=0.82<0.85,

50X(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)=0.94>0.85,

故估计小区居民月用电量的85%分位数在［250,300),设为x,

则0.82+(x-250)X0.0024=0.85,解得x=262.5,故C正确；

对于D,样本中小区用电量不小于250kW-h的频率为0.0024X50+0.0012X50=0.18,

所以小区用电量不小于250HV"的约有2000X0.18=360户，故。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、极差、中位数和百分

位数的计算，属于中档题.

5.已知函数f(x)=sin2x+J^cos2x，则下列说法错误的是()

A.函数/(/)的最小正周期为n

B.需是函数/(x)的一条对称轴

C.函数/«)在区间［一7、T，勺JT］上的最大值为2

36

K

D.将函数/(x)向左平移个单位后得函数g(x),则g(x)为偶函数

6

【分析】由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和

性质，得出结论.

解：由于函数f(x)=sin2x+V^cos2x=2sin(2x+—),

故它的最小正周期为争故A正确.

2

令》==，求得/(x)=-2,为最小值，可得它的图象关于直线对称，故B

1212

正确.

在区TT间JT上，2r+3JT日-T冬T，Q等IT］,故函数/(x)的最大值为2,故C正

30333

确.

TTTTIT0TT

将函数f(x)向左平移一个单位后得函数g(x)=2sin(2x+—+—)=2sin(2x+--)

6333

的图象，

显然，g(尤)为非奇非偶函数，故。错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

6.函数f(x)W7+2ax-x2在区间【一1，II上单调递减，则。的取值范围为()

A.aW-1B.a<~1C.-1D.-3<a<-1

【分析】根据题意，令t(x)=7+2"由题意可得t(X)需满足在区间［-1,1］上

单调递减，且f(x)“而，0,由此列出不等式，求得答案.

解：根据题意，函数f(x)W7+2ax-x2,

令，(x)=l+2ax-x2,则f(t)=Vt»

由题意可得r(x)=7+2or-N需满足在区间［-1,1］上单调递减，且f(x)而〃》0,

而/(元)=7+2ox-炉的图象开口向下，对称轴为x=〃，

故aW-1且f(1)=6+2〃扌0,解可得-3WaW-1.

故选：C.

【点评】本题考查复合函数单调性的判定，注意函数的定义域，属于基础题.

7.如图，在平面四边形ABCD中，NA=90°,48=40=2,△BCD为等边三角形，当点

M在对角线AC上运动时，元.而的最小值为()

31

A.-2B.亠C.-1D.」

22

【分析】由题意，结合全等三角形的定义得到△A8C丝△4DC,根据向量的加法运算以

及数量积的定义对元•而进行整理，利用二次函数的性质进行求解即可.

解：已知NA=90°,A8=A£>=2,

所以△A3。为等腰直角三角形，

此时/A8C=NAOC=45°+60°=105°,

易知BC=DC=BD=2&，

所以△ABC纟△AOC,

所以NAC8=N4CD,

即AC平分/BCD,

因为而=证+而，

所以记•而=证•（統+比）=統2+而•而

=|MC|2+|MCI|CD|-cosl500=|而「一遅|MC|=（|MC|-）2-1-

当面1=4时，元.而取得最小值，最小值为一|.

/乙

故选：B.

【点评】本题考查平面向量数量积的定义，考查了逻辑推理和运算能力.

8.△ABC中，AB=2,BC=2&，AC=4,点O为△ABC的外心，若菽!=而制'正，则实

数血的值为（）

m-n

A.7B.-C.—D.—

557

【分析】在AABC中，利用余弦定理求出cos/BAC,再在正；=赢4n菽两边同时乘以

向量标和正，利用投影的定义计算出正•标和吊5.菽的值，代入方程中计算，解出m

和〃，可得出答案.

222

AB+AC-BC4+16-241

解：由余弦定理可得COS/BAC"——---

2AB-AC2X2X44

»»»2**

AO•AB=mAB+nAC•AB

(

•*AO=mAB+nAC,,,,....,2

AO•AC=mAB•AC+nAC

又；AO•AB=|AB|•|AO|"cosZ0AB=|AB||AB|=2>

同理可得：记.正=8，代入上式，

.[4m-2n=2和俎43

・・〈，解得：m=-9n=—,

[-2m+16n=855

所以空R=7,

nrn

故选：A,

B

D

【点评】考查三角形外心的定义，余弦定理，以及数量积的运算及其计算公式，余弦函

数的定义，属于中档题.

二、多选题（共20分）

（多选）9.设P表示一个点，a、b表示两条直线，a、p表示两个平面，下列说法正确的

是（）

A.若P&a,P&a,则aua

B.若aCb=P,b（zp,则au0

C.若a//b,aca,Peb,P&a,贝ijbaa

D.若an0=b,P&a,2印,则Peb

【分析】根据公理1以及直线在平面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解.

解：当aCa=P时，PEa,PEa,但故A错；

当aC0=P时，8错；

如图，-：a//b,P€b,:.P&i,

由直线a和点P确定唯一平面a,

又a〃b,由。与b确定唯一平面0,但。经过直线。和点P,

0与a重合，，6ua,故C正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查了公理1及空间点、线、面的位置关系，属基础题.

（多选）10.下列有关复数的说法正确的是（）

A.若复数z=W，则zWR

B.若z+z=0，则z是纯虚数

C.若Z是复数，则一定有|z|2=z2

D.若zi,Z2LC,则Z]“Z2=Z[,Z2

【分析】由共规复数的概念及复数相等，判断4应用特殊值法，令z=W=O及z=l+i,

判断BC-,利用共辅复数的概念及复数乘法判断D.

解：对于4,设z=〃+bi,(〃，Z?GR),则z=。-bi,

若z=z，则6=0,二.ZER,故A正确；

对于3,设z=W=O时.，z+"^=0,而z不是纯虚数，故8错误；

对于C,当z=l+i时，则忆卩=2,z於=2im,

・・・|zF#z2,故C错误；

对于。，令z\=a+bi(〃，/?GR),Z2=m+山(/n,/?6R),

贝(JZI・Z2=〃2〃-〃力+(mb+na)i,

z]•z2=〃?4-nb-(mb^-na)i,

=

*/Zi=a-bi9Zow-ni,

/.z।*z2=(a-bi)(m-ni)=ma-nb-(mb+na)i,

・•・若Zi,Z2GC,则ZI,Z2=Z[,Z2，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

(多选)11.一个袋子中有大小和质地相同的5个球(标号为1,2,3,4,5),从袋中有

放回的抽出两球则下列说法正确的是()

A.没有出现数字1的概率为士

B.两次都出现两个数字相同的概率为《

C.至少出现一次数字1的概率为之

25

D.两个数字之和为6的概率为二

4

【分析】根据古典概型计算公式，结合逻辑推理，逐项运算判断即可；

解：没有出现数字1的概率为鲁X卷4#金，选项A错误；

552525

从袋中有放回的抽出两球共有：5X5=25种结果，两次都出现两个数字相同的有5种结

R1

果，故两次都出现两个数字相同的概率为±4,选项8正确；

255

从反向思考，至少出现一次数字I的概率为1建•）、，选项c正确；

两个数字之和为6的情况有：（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,5

种，故两个数字之和为6的概率为皋"，选项。错误.

255

故选：BC.

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

（多选）12.如图，点尸是棱长为2的正方体ABC。-AiBiCiD,的表面上一个动点，则（）

A.当P在平面BCGB上运动时，四棱锥P-A41O1O的体积不变

JTJT

B.当尸在线段4c上运动时，GP与4G所成角的取值范围是[g,g]

C.使直线AP与平面A8C。所成的角为45°的点P的轨迹长度为兀+4后

D.若尸是AiBi的中点，当P在底面ABC。上运动，且满足PF〃平面BCU时，PF长

度的最小值是我

【分析】对于选项A，由点P到侧面AOAAi的距离相等，故四棱锥P-44QQ的体积

为定值，即可判断；

对于选项从找到所求角为/。期或其补角，根据正三角形△AAC,即可判断；

对于选项C,分别求当点P在侧面BBCC,侧面CGOQ上时（不包括正方形的边界）、

在上底面A山iGCi上、点P在侧面441D1。，A4BB上点尸的轨迹长，即可判断；

对于选项£＞，取8c中点”，C。中点N,连结FM,FN,可证明平面FMN〃平面81si,

即可求得P的轨迹是MM即可求得P尸的最小值，进而判定选项.

解：对于选项A：因为平面BCGBi〃平面/UIQI。，

所以点P到侧面AOUAi的距离为定值，故四棱锥尸-的体积为定值，故A正确；

对于选项&因为AiG〃AC,"P与4G所成角是/。尸4或其补角，

JTJT

因为△OjAC是正三角形，所以AP与4a成角的取值范围是[b，—],故B正确；

O厶

对于选项C：①当点P在侧面CCiDiD上时（不包括正方形的边界），过点P作平面ABCD

的垂线，垂足为“，连

根据正方体易知尸H丄平面ABCZ）,则NPAH为PA与平面ABC。所成的角，故NPAH=

45°,所以尸〃=AH,

在中，由AH>AD=2,但是PH=4H<2,矛盾，

故点P不能在侧面CGAQ上（不包括正方形的边界），

同理，点P不在侧面88CC上（不包括正方形的边界）.

②当点P在上底面ABIGQI上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G,连结4P,

AG,

根据正方体易知PG丄平面ABCD,且四边形A1PG4为矩形，则/P4G为PA与平面ABCD

所成的角，故/PAG=45°,

所以PG=AG=2,所以4P=AG=2,此时点尸的轨迹是以4为圆心，2为半径的四分

之一圆，点P的轨迹长度为《X2兀X2=7l；

③当点P在侧面A4IOI。，A4B8上时，根据正方体特征易知点尸在线段ABi,AU上,

都符合题意，

此时点P的轨迹长为4M；由上知点p的轨迹长度为兀+4衣，故c选项正确；

对于选项。：取8c中点M,CD中点N,连结FM,FN,

因为M、N是BC、C。的中点，可知MN〃B。且MN=/BO=J5，

又BD〃B\D\,所以又MMt平面BCd,Hdu平面BCd,所以MN〃平

面B\CD\,

因为凡N是43、CQ中点，根据正方体可得，四边形3FNC是平行四边形，

所以FN〃BiC,FMt平面BCDi,BiCu平面所以尸N〃平面BCOi,

又FNCMN=N,FN,MNu平面FMN,所以平面〃平面平面B\CD\,

因为P在底面ABC。上运动，且尸F〃平面BiCQi,所以平面尸MM

因为平面FMNC底面ABCD=MN,所以点P在底面A8C。上的轨迹为MN,

根据正方体的棱长为2,结合勾股定理可得，FN=2&，FM=V6-所以F/FMFW+MN2,

故MN丄五例，

所以PF长度的最小值为FH=4E，故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查了棱锥的体积，直线与直线所成角，直线与平面所成角以及轨迹问题,

属于较难题.

三、填空题（共20分）

13.方程方+9=0在复数范围内的根为±3i.

【分析】根据己知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

解：方程/+9=0,解得x=±3i.

故答案为:+3i.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

14.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作.元件1,元件2,元件3正常工作的概率分别为二，《，

432

则这个部件能正常工作的概率为4.

-4-

［分析］设“元件1正常工作”为事件A,“元件2正常工作”为事件3,“元件3正常

工作”为事件C，

则P(A)=二，P(B)=5，P(C)=5，再结合相互独立事件的概率乘法公式，即

432

可求解.

解：设“元件1正常工作”为事件4“元件2正常工作”为事件B,“元件3正常工作”

为事件C,

则P(A)=—,P(B)=—,P(C)=—,

432

——Q911

这个部件能正常工作的概率为尸=［1-p(A)P(B)］P(A)=X卷q.

o厶+

故答案为：-y.

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基

础题.

15.已知标丄正，|瓦|一，|正|土，弓，4］；若。是AABC所在平面内一点，

屈=_4加-_一,则而.衣的最大值为192.

IACIIABI

【分析】建立直角坐标系，由标=一4'J可得P的坐标,从而可得说.同=12凡

IACIIABI

再结合/的范围即可求得它的最大值.

解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得A(0,0),B(―,0),C(0,r),

t

»A・

因为AP=t一二二，=4AC，所以P(0,4r),

IACIIABI

所以乖=(；,-4r),pc=(0,-3r),

所以说•五=-4/X(-3r)=12凡

因为tEq，4],

所以说•玩的最大值为192.

故答案为：192.

【点评】本题考查平面向量的数量积与坐标运算，属于中档题.

16.已知正四棱锥S-ABC3的底面边长为底，侧棱长为2,则该正四棱锥相邻两个侧面所

成二面角的余弦值为-4；该正四棱锥的外接球的体积为3g立兀.

【分析】作出二面角的平面角，通过求解三角形.推出结果；求解外接球的半径，然后

求解体积即可.

解：如图所示，连接AC,BD,相交于点。，连接OS.

•••四棱锥S-ABC。是正四棱锥，

；.0S丄底面ABCD.作8E丄SC,同理DE丄SC,连接OE,

二NBED是相邻两个侧面所成二面角的平面角，

BD=2,-J-BC-SP=4SC'BE-可得産=料sin、NBED=-^，

乙乙-----------------2乙71

41

cosNBED=1-2X—=--.

77

SO=\jSC?_0C2设外接球的半径为R,

可得JR2_（近_R）2_],解得R=2屮,

正四棱锥的外接球的体积为：等X（■^■）3=2*Z

故答案为：上；.立兀.

E

【点评】本题考查了正四棱锥的性质，二面角的求法，几何体的外接球的体积的求法.考

查了推理能力与计算能力.

四、解答题(共70分)

17.如图，在平行四边形A8CQ中，点E在AB上，且点F是BC的中点.

(1)设族=Z,AD=b＞用W'E表示而,而；

(2)已知丄EF,求证：AB号AD.

【分析】(1)利用平面向量基本定理以及三角形法则即可求解；(2)利用向量垂直的

性质化简即可证明.

解：(1)因为AE=28E,则AE^AB，EB若AB，

oO

所以而=疝-标

降=而+而?疝于5=多亭；

(2)证明：因为EQ丄所，所以而.而=0，

-♦2T1f1-1-22—2

即(b-ya)*(ya-^b)-yb飞"a=0'

即la|V|bI,所以

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量垂直的性质，考查了学生的

运算转化能力，属于基础题.

18.设函数/(x)=/g(x2-1)的定义域为集合A,g(x)=｛旷y_3的定义域为集合B.

(1)当。=1时，求(CR^)AB；

(2)若“xeA”是“在夕’的必要条件，求实数a的取值范围.

【分析】(1)根据对数函数、指数函数性质求得集合A,B,再根据集合的运算进行求

解即可；(2)因为“X6A”是“XEB”的必要条件，所以BUA,即可求得实数a的取值

范围.

解：(1)由1>0,解得x>l或x<-1,

所以集合4=(-8,-1)U(1,+8),CRA=[-1,1],

当”=1时，由尹+1-320,即3*2扌3,

解得X2亠，

所以集合+°°),

故(CRA)nB=[-A,]J,

(2)由(1)知厶=(-8,-1)u(1,+8),

由尹"-320,解得

所以8=得-a,+8),

因为"xeA”是“xe8”的必要条件，

所以B^A,

所以解得a<W，

22

故实数a的取值范围是(-8,_1).

【点评】本题主要考查了复合函数的定义域，集合的运算，充要条件的定义，属于基础

题.

19.已知向量m=(2cosx,1),n=(cosx,V3sin2x函数f(x)=m-rr

(1)若/(a)=2,ae(0,n),求a的值;

(2)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为mb,c,/(A)=2,b=l,/\ABC

的面积为限,求

a+b+c_____的值.

2sinA+sinB+sinC

【分析】(1)由向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，计算可得所求角;

(2)运用三角形的面积公式和三角形的正弦定理、余弦定理，计算可得所求值.

【解答】解(1)依题意得f(x)=mn=2cos2〉W5sin2x

=cos2x+l+V3sin2x

=2sin(2x-+^~)+1，

TT

因为f(a)=2sin(2a()+1=2,a€(0,兀)，

厂「i、l/兀、1cn兀尸,兀13几、

所以sin(2a4^-)卞，20--^―€(-T---7-)•

bZbob

mi7T5兀n兀

所以2a+-■―-—,即Ra=.

663

ir

(2)因为/(A)=2,AW(0,n),由(1)得

o

因为SAABC4-bCsinA=2^-，

所以丄XIXcX爽即c=2.

222

4SAABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA

=l+4-2XlX2Xy=3,即a=G

bcaV3「

.----------=-----------=----------=-7=—=9

由sinBsinCsinAv3，

~2~

得Z?=2sinB,c—2sinC,a=2sirt4,

所以a+b+c______2sinA+2sinB+2sinC„

,sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC

【点评】本题主要考查平面向量的应用、正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知

识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，

考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性.

20.2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式.某校

在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先

按照考生原始分从高到低按比例划定4、8、C、D,E共五个等级，然后在相应赋分区间

内利用转换公式进行赋分.

A等级排名占比15%,赋分分数区间是86〜100；

B等级排名占比35%,赋分分数区间是71〜85；

C等级排名占比35%,赋分分数区间是56〜70；

。等级排名占比13%,赋分分数区间是41〜55；

E等级排名占比2%,赋分分数区间是30〜40.

现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率

分布直方图如图所示：

（I）求图中a的值；

（II）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋

分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数）

（III）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在［40,50）和［50,60）内的学生中共抽取5

人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2

人中恰有一人原始成绩在［40,50）内的概率.

【分析】（I）由频率分布直方图的性质列方程，能求出

（II）由己知等级达到C及以上所占排名等级占比为85%,假设原始分不少于x分可以

达到赋分后的C等级及以上，列方程能求出结果.

（III）由题知得分在［40,50）和［50,60）内的频率分别为0.1和0.15,则抽取的5人中,

得分在［40,50）内的有2人，得分在［50,60）的有3人，记得分在［50,60）内的3位

学生为“，b,c,得分在［40,50）内的2位学生为。，E,从5人中任选2人，利用列举

法能求出这2人中恰有一人原始成绩在［40,50）内的概率.

解：（I）由题意（0.010+0.015+0.015+«+0.025+0.005）X10=l,所以a=0.030.

（II）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%,

假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，

则有（0.005+0.025+0.030+0.015）X10+（60-x）X0.015=0.85,

解得xg53.33（分），所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上.

（III）由题知得分在［40,50）和［50,60）内的频率分别为0.1和0.15,

则抽取的5人中，得分在［40,50）内的有2人，得分在［50,60）的有3人，

记得分在［50,60）内的3位学生为a,b,c,得分在［40,50）内的2位学生为。，E,

则从5人中任选2人，样本空间可记为：

C={",ac,aD,aE,be,bD,bE,cD,cE,OE}共包含10个样本，

用A表示“这2人中恰有一人得分在［40,50）内”，

则4={血aE,bD,bE,cD,cE},即A包含6个样本,

所以这2人中恰有一人原始成绩在［40,50)内的概率为尸(A)=&=•1.