《高等数学与经济数学》第五章 元函数积分学典型习题解答与提示

第五章一元函数积分学典型习题解答与提示

习题5-1

32

1.(1)-X;(3)—e"；(4)-sin3xo

323

2.(1)x+c；(2)—+c；(3)依+c；(4)x34-c；

2

(5)--(6)2x2+c；(7)-e'4~c；(8)—cos3x+c0

x3

3.(1)2£+c；(2)—+c；

2

/、132

(5)—XH-------FC;

6x

O4

(6)jd(3—仍由=J3e'df-，＞ftdt二%'一区r+c；

2

(7)J2sin-16tr=j(l-cosx)6f¥=x-sinx+c；

l+^]dx^xrctinx

(8)+ai+

J1+x2J1+x2\+x2)

2

2+sinx222

(9)dx=2\sec2xdx+Jtanxdx=2jsecxdx+Jsecxdx-Jdx

cos2x

3tanx-x+c；

(10)f--------\dx=----arctanx+c；

Jlx1+XJX

y1

(11)---------1—+Co

In34

习题5-2

1.(1)-~In13-2x|+c；(2)(3x+5)ln，+c；(3)-4e了"+c；

303v7

一](i+2y)"+c；

(4)(5)万tan(x?+夕)+c；(6)---COS(69Z4-^)+C;

CD

-^-ln|cos5x|+c；三1.1a...,

(7)(8)aea——sinZ?x+x+c；(9)-x——In1+bx1+c；

bbb-

j—~=J(x+3)<ix+J^dx-^x2+3x+51n|x-3|+c

(10)

1

(11)—ee+c；

2

rxdx11

(12)J(1-2X2)=--(1-2X2)5+c;

JVl-2x2

一；ln12-x41+c；

(13)

j―—^^-dx=^j—lnx<i¥=41nx-jlnxJ(lnx)=41nx-^ln2x+c；

(14)

12

[/1:尤―rdx-—[—---dtXnx-1)=—In|Inx-l\+c；

(15)Jx(ln2x-1)2Jln2x-l172

(16)dx=-2jyji-y/xd(i--go-+c;

(17)

=-2In|cosVx|+c；

V1

(18)JRT公=J17d(l+e')=ln(l+e')+c

(19)f--——dx-[—---<dx=f——dx-ln(l+e')+c；

Jl+H*Je'[l+e-x)J1+e'v7

1,r1-sinx,r1-sinx.

(20)---：——dx=7---；——77---;——:dx=-----^—dx

l+sinxJ(14-sinx)(l-sinx)Jl-sin'x

-f--[sec2xdx+f-—6?(cosx)=tanx---—+c

JCOS-%JJCOS'Xcosx

sinx,rsinx+1-1_r_r1.1

(21)------dx=---------ax=dx--------dx=x-tanx-\------------be；

1+sinxJ14-sinxJJ1+sinxcosx

1,r1-cosx,r1-cosx,

(22)-------心=7-------7；-------rdx=---；——ax

1+cosxJ(l+cosx)(l-cosx)Jsin'x

esc2dx-f—d(sinx)=-cotx+---+c；

Jsin-xsinx

sin3xcos5xdx=-j(-sin2x+sin8x)公=；cos2x-焉cos8x+c；

(23)

f1c11r11r1

(24)I-----------dx-\--------------dx=—f-----dx——|------dx

Jx-2x-3J(x-3)(x+l)4Jx-34」x+l

=—In|x-3|--In|x+l|+c=­In

444

ia,产_i.ii

2.(1)f产dx令x/—力=31"-1)力+3|■,力

J1+&J1+t1i+t八'J1+r

3_324-

=­/2-3/+31n|14-rl+c回代r=A—x3-3x3+31n11+x31+c；

22

广]2dt

(2)t=dx令X=/_]----=2arctanr+c

J(x+2)vrn-----J(r+i)?

回代r=m2arctanJx+1+c；

(3)-,=dx+c;

N(if

、f7x一。",ratant,r,

(5)dx令x=aseci-------asecttanrrfr=tztan2tat

Jx^=Jasect」

=aj(sec2=atant-at+c

ayJx2-a2a「------a

回代--------------aarccos—+c=\Jx~-a~-aarccos-+c；

axx

ryjx2-a2,ratant,rsin21,r1-cos21,

(6)；----dx令x=asect------asecttantat=-------at=-----------at

J=Ja~sec-tJcosrJcos/

=Jsectdt-jcostdt=In|sec，+tan/1-sin，+q

=In|x+J九]一"|

(7)[.dX-----=-f”(2x+l)_=lin|2x+l+J(2x+l)2-4|+c。

J”d+4x-32Jj(2x+])2_42。)

3.(1)-xcosx+sinx+c；

(2)-xsin3x+—cos3x+c；

39

(3)一尤6-'-ex+c；

(4)J(x-l)=j欢彷-Jexdx=xex-jexdx-jexdx=(x-2)e"+c；

(5)J1+x)e'公=-(12+x)e"+

=-(£+九)/-(2x+1)+J2e-xdx

=-(£—(2x4-l)ev—2ex+c

=—(x2+3x+3)g7+c；

(6)farccosxdx=xarccosx+[.Xdx=xarccosx-(l-x2V+c；

JJ'7

(7)[arctanJxdx令&=t2[rarctantdt=2x—farctan-f/2—dt

J—J2JA]

=rarctant-\dt+[—^—dt=t2arctant-t+arctant+c

JJl+/

回代t=4xarctanVx-4x+arctanVx+c

=(x+1)arctanVx-Vx+c；

(8)[^^cbc=-(^-\x~2\nx-\--x2—dx=--x2\nx^--[x3dx

J

JV\2J2x22

L、nx」/+c=-L-2仙+L+c；

24212yl

arctanxdx=xarctanx-[x-^——dx=xarctanx-

Jl+£?亳”")

=xarctanx-；ln(l+%2)

+c；

/xfi21「21nx

(10)hrxdx=xmx—x-----dxixln2x-2^\nxdx

JJx

=xln2x-2xlnx+2x+c=x\n2x-2x(lnx-\)+c；

cosln%

(11)Jsinlnxdx=xsinlnx-Jxdx=xsinlnx-Jeosinxdx

=xsinlnx-xeosinx-Jsinlnxdx

故jsinlnxdx=-^[xsinlnx-xeosinx]+c；

(12)，色"公=Inxlnlnx-lnx+c=lnx(lnlnx-l)+c；

Jx

(13)Je"dx令％=t22jte{dt=2te'—2,ddt=2td—2d+c

习题5・3

17t

1.(1)1；(2)—；(3)0；(4)—o

22

2.(1)因为「sinMx所表示图形面积的代数和与广cosMx所表示图形面积的代数和均

JoJo

为零，故成立；(2),(3)参照前一小题。

3.(1)

⑵门(X)公;

4.(1)fsinxdx>0；(2)由于lnx<0,故Jjnx力Y0。

Jo

5.(1)由于尤e(O,l),x>£,由性质3知，£'xdx>£x2dx；

(2)由于xe(g』)，lnx<0,故J；ln:uZx<0,且时，sinx>0,故

j2sinxc/x>0»Inxdx<£2sinxdx»

02

6.(1)由于在[1,4]上，2<x2+l<17,由估值性质，

6=2x(4-l)<14(X2+1)^<17(4-1)=51；

IT

(2)由于在0,—上，0<sinx<1,由估值性质，

_2.

O=Oxfy-O^<£2sinxdx<1xfy-0^=y«

7.⑴错，举反例，产办=0,不能推得/(x)=x=0,当—IWXWI；

(2)正确。

习题5-4

I.(1)Ji+；(2)—cosx；(3)—o

4

2.令/'(x)=(jje力)=xe'=0,得x=0,当x>0时，E'(x)>0；当x<0,

F(x)<0,故E(x)的极小值点为x=0。

3.g，(x)=(「*'=J当x〉0时，g[x)>0,则g(x)单调增，

i

g"(x)=-=-—<0,故在x>0范围内为凸弧。

、XJX

1517

4.(1)—；(2)e—1；(3)a，。~+a；(4)—I-In2；(5)1；

423

(6)2；(7)0；(8)2；(9)lo

8

5.一0

3

6./(x)=j(x)tZr=je~xdx=-e~x+c,/(0)=-14-c=1,

则c=2,即所求满足条件的函数为/(x)=2-e\

「」12

7.u=〃，s=Jatat=°

习题5-5

1.(1)-5+81n2(提示：令工=产)；(2)—(提示：令l+x=f~)；

3

(3)--2V3+-V5(提示：有理化分母)；(4)—+—(提示：令x=2sin，)；

3332

JI

(5)—/(提示：令x=asin1)；(6)2；

16

2e

(7)2；(8)In-------(提示：令l+，=f)；

l+e

4

(9)[1一£丫dx令》=sinrJ02costdt=J：l+；s2f)出

J£

=—£2(1+2COS2r+cos22。di

=—f2+—[2cos2td(2t)+—[2cos22tdt

4Jo4)4J()

1档」1flc./.\1f?1+C0S4f.

=—力+—cos2S⑵)+/2力

4Jo4Jo

1三12

=-t2+-sin2r2+-{2dt-\--[2cos4rd4r

4o4()8%32J0

71兀3

——1=一;T；

81616

(10)J]xJ(1-f)'dx奇函数0；

、62oAfl+cos4x伙二；J。，公+:J：cos4xd(4x)

(Il”l)cos2xax=--4--------c

JoJo2

1；1•「万

=—x4+—sin4x4=—；

2o8o8

=2向l+cos26]

(12)J；cos4Ode=2pcos46dede

Jo7

~2、乙)

lp^lpcccpc1rgl+cos4。

=+2cos20d0-\■—〜——————d6

2J。2Jo2J|12

1E1巴1至1至3

=-02+上sin262+—。2+—sin462--7i；

2()2()4()16()8

xx2

(13)£3公=_旄喟+£e->dx=-xe\^-e\^=-(l-ln2)；

(14)Jxlnxtir=lnx|；—j—x2—=—x2Inxlj'——x2Ij'--(e2+1)；

x2114"4V7

(15)J；dxr=&J：21nt2dt=4j2Intdt=4fInf：-J：t-dt\

=4(〃咻—；)=8ln2-4；

(16)jx2cosxdx=2£2x2cosxdx=2x2sinx2-2^22xsinxdx

~20

22

2x2sinx2-4-xcosx+[cosxtic

0oJ。

nTCJT_2

三兀A

22

=2xsinx+4xcosx2-4sinx2=-----------4；

0002

(17)x3cosxdx奇函数0；

|x4sinxdx奇函数0；

(18)j-万=

212-

(19)J,:j孑arcsinxd(arcsin%)=—(arcsinx)")=0；

J2J

~2y/l—X~2242

（本题也可利用奇函数）

2•3

r>XsinX,八

(20)J--------；------、dx奇函数0。［注意：（17）〜（20）题的积分区间是关于原点对称的］

说明：习题（9）,（11）,（12）题也可利用下列公式求解，这样计算将变得十分简单。

22

fsin"xdx=fcos”xdx,In=—―-In_2

JoJo〃

n-\n-34|（〃为大于1的奇数）M=1

-------x--------xx-x

nn-25

n-\n-331

——x------xx—x—x］（〃为正偶数）4=］

nn-242

f=cos4^=-xlx-=—

如（9）题dx令x=sint

J。42216

2.证明略。

习题5-6

1.(1)(2)+00,故发散:(3)-e"

3a

11-lnxr+«>_2•+slnx,展广%-

(4)=Jx~dx-——dx=

x~2x2

1

--b+-lnx|f=-lnxb=-—

12

X-Xxx2

⑸匚dx1公耳:不可如+1）

x2+2x+21+(%+1)2

=arctan(x+l)|^=|

否，由于力不存在，故广义积分

2.limfsinxM:=lim(-cuosx|：)=1-limcosfsinxdx

bT+ooJob->+oo\I/b-»+ooJo

发散。

x：

3.S=Jedx=—H]=L

*习题5・7

1.(1)Integrate[xA2/(x+l),x]

x2

-x+—+Log[l+x]

(2)Integrate[(x+l)/(xA2+x+l),x]

(3)Integrate[x八2*E八(—2x),x]

1422)

(4)Integrate[ArcSin[x]/xA2,x]

ArcSinfx]_r~

--------------+LTog[x]n—LTog[rll+Vl-x-]

x

2.(I)Integrate[x*Logfx],{x,l,E}],

(2)Integrate[x/(Sin[x])A2,{x,Pi/4,Pi/3}]

i(「「公口

—9^--4\/3^+18Log[2]+36Log

362

\LJ7

(3)Integrate[Sin[Log[x]],{x,l,E}]

1(l-eCos[l]+eSin[l])

复习题五

i.因口7(%)公]=(e，'+c)=-2xe~K-/(x)，

故f(x)=(一2泥4)'=-2e-x：-2x(-2x)e-x：=(4x2-2)0

2.因/(x)=(sinx)=cosx,则/(x)=-sinx,

故JV(x)公=-Jxsinxdx--x(-cosx)+J-cosxdx=xcosx—sinx+c(>

1

3.因/r(sin2x)=(l-sin2x)+sec2x-l=(l-sin2x)+

1•i-si•n2-x

故/'(x)=(l-x)+'j--------]，所以/(x)-Jf'^x)dx-^(l-x)<ix+J-------dx

22

=x-———In11一x|—x+c=—In11—x|-------\-ca

22

V+l—l―1^arctana

arctanarctanxdx=Jarctanxdx-

1+x2J1+x21+x2

xarctanx-jXdx-^arctanxd(arctanx)

1+工

xarctanx-^ln(l+x2arctanx)2+c

arctanx(x-1larctanxl41n(l+x9+c

I2

5.(1)~~-tZx=3[—dx

J/+9」x2+9

1

fxY

…Fta

=|ln(x2+9)-1X

-arctan—+c；

33

11

(2)dx=^

,3+2x-Y2

=arcsin

}—dx=

"一二&二j-------dx

1+xJl一£VT7

—[,'J(1-x2)=arcsinx+>/b-

-arcsinJC+—厂+c;

2JVT71)

xdx1「1_1_1

=--(-2)(l-x2)2+c=(l-x2)2+c；

(4)3--Ir

(I少2(1-4

22

(5)J(x4-l)lnx6ir=jxln[\nxdx=-xInx-[—x-dx+xlnx-\x-dx

J2J2xJx

2

-xlnx--l<+xlnx-x+c;

24

JinJl+'公=xlnJ]+£_J公=无坨']+£―J」公

(6)*2+1,1

1IX'1IJC

=xlnJl+£一\dx+[—二公=xlnJl+£-x+a-tanx+c；

JJl+JT