2023-2024学年安徽省部分学校高二年级上册阶段性测试一数学试题（解析版）

2023-2024学年安徽省部分学校高二上学期阶段性测试(一)数学试

题

一、单选题

1.设集合A={x|lo&(x+1)<2},B={x|x<4},则他A)cB=()

A.[1,4]B.(fl]u[3,4]

C.[3,4]D.[3,4]

【答案】D

【分析】先化简集合A,再求出最后根据交集的概念求出结果.

【详解】由Iog2(x+D<2可得-l<x<3,即4={四—l<x<3},

々A={x|x4-1或xN3},所以@A)cB={x|x4-^3VxW4}.

故选：D

2.在空间直角坐标系。-冲z中，点43,4,5)与点8(-3,4,-5)()

A.关于平面xOz对称B.关于y轴对称

C.关于平面)Oz对称D.关于X轴对称

【答案】B

【分析】由空间点关于轴或面对称的性质，判断已知点的对称轴或对称平面.

【详解】由点A和点8的纵坐标相同，其他坐标互为相反数，故它们关于y轴对称.

故选：B

3.若光线沿倾斜角为120。的直线射向y轴上的点40,Y),则经，轴反射后，反射光线所在的直线

方程为()

A.y=>/3x-4B.y=-4^>x-4

C.y=-^-x-4D.y=—^-x-4

33

【答案】A

【分析】由光的反射性质确定反射光线的倾斜角，进而求斜率，应用点斜式写出解析式即可.

【详解】光线沿倾斜角为120。的直线射向轴上的点40,T),

经V轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60。，则反射光线斜率左=tan600=百，且反射光线过

点40,-4),

故反射光线所在的直线方程为y=0X-4.

故选：A

4.已知三条直线2x+y-4=0,履―y+3=0,x—y—2=0交于一点，则实数女二()

A.-1B.1

C.-3D.1

24

【答案】C

【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.

(2JV+y_4—0fx=2

【详解】由,c二=一八，即两直线交点坐标为(2,0),

[x-y-2=0[y=0

3

代入fcr—y+3=0得：2々-0+3=0=上=-1.

故选：C

5.已知a=33,Z?=93c=(3)"则a/,c的大小关系是()

A.a<b<CB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性比较“为的大小，利用幕指数运算可比较“，c大小，即得答案.

12

【详解】因为6=始=35,且>=3、是R上的增函数，

故0=乂=?</=33=27,

故c<a<6.

故选：D

6.已知向量〃以｛a,b,c｝为基底时的坐标为(2,-3,3),则〃以｛a-b,a+/>,3c｝为基底时的坐标为(

A.,1)B.(—―J)

2222

C.(1,3,2)D.(12)

【答案】A

【分析】因为向量p以｛a,b,c｝为基底时的坐标为(2,-3,3),所以可以得到p=2a-3"3c,

又因为p以｛a-"a+〃,3c｝为基底，所以可以将p设为p=x(a-勿+y(a+6)+3zc，

通过空间向量基本定理可以得到关于工，y，z的方程，从而得到〃以｛〃-4。+6,3可为基底时的坐标.

【详解】因为向量p以｛。也C｝为基底时的坐标为(2,-3,3),所以〃=2a-3b+3c.

设p=x(a-b)+y(a+b)+3zc=(x+y)a+(y-x)b+3zc,

x=—5

'x+y=22

由空间向量基本定理可得，)-x=-3,解得，y=-1

3z=31

z=l

因此，p以｛“-反。+反3c｝为基底时的坐标为

故选：A

7.已知x<0,y<0,则二----J的最大值为()

x+2yx+y

A.2-V2B.I

C.3-2及D.3+20

【答案】C

【分析】对题中代数式进行变形，利用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为x<0,y<0,所以x+y<0,x+2y<0n^^>0,

x+2y

2yy2I2I

于是有一----"―=M------------)=Kx+2y)-(x+y)](------------)

x+2yx+yx+2yx+yx+2yx+y

=372+迎斗3号且亘=3_20

当且仅当x+2y=V2(x+y),即)=0时等号成立，

所以原式的最大值为3-2后.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是进行如下变形：

--------:-=y(-----------)=[(x+2y)-(x+y)](—------------).

x+2yx+yx+2yx+yx+2yx+y

8.如图，在棱长为2的正方体中，点E,尸分别是棱BC,CG的中点，若直线A(与

平面A瓦■交于点〃，则线段。M的长度为()

B.2

2

C.加

【答案】B

【分析】根据向量共线可得〃(：2；4,；2)，进而根据空间中点点距离即可求解.

【详解】如图，连接AC,因为直线AC与AF都在平面AACC内，

所以直线\C与AF的交点即AC与平面AEF的交点M,

由于E尸〃44,且碇=；例，故由三角形相似，可得

以Z)为原点，D4为尤轴，OC为y轴，DR为z轴建立空间直角坐标系，

442

则4(2,0,0)1(0,2,1),卬0,0,2),所以AF=(—2,2,1),从而AM=

所以M的坐标为所以|Z)M=J($2+g)2+g—2)2=2,

二、多选题

9.已知向量〃=(1,1,1)S=(一1,0,2),则()

A.\a\=>/3

B.与a同向的单位向量为(当，等,日)

C.ab=-\

D.cos(a,b)=^^-

【答案】ABD

【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与a同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角

判断各项正误.

【详解】由题设|a|=J『+[2+]2=6,与0同向的单位向量为言=A、B正确;

由数量积的坐标运算得。"=lx(T)+lxO+lx2=l,C错误;

,----------「.a-by/\5

由网=4-1)2+22=石,则8$4/=丽=入，D正确.

故选：ABD

10.已知..ABC中，点8(2,1)和C(—2,3),则下列说法正确的是()

A.|BC|=26

B.BC边所在直线的方程为x+2y+4=0

C.边BC上的高所在直线的倾斜角为钝角

D.若43⑵，则一ABC的面积为3

【答案】AD

【分析】A由两点距离公式判断；B将己知点代入验证即可；C两点式求BC的斜率，进而确定对应

高的斜率，结合倾斜角与斜率关系判断；D点斜式写出的方程，求点A到直线BC的距离、|8C|,

应用三角形面积公式求面积.

【详解】由|BC|=J(2+2)2+(l_3)2=2亚,故A正确；

将(2,1)代入x+2y+4=0,则2+2+4W0,故B错误:

须c=-J=-〈，故边8c上的高所在直线的斜率为2,故C错误;

-2—22

由C分析，边8C所在直线的方程为y—3=—g(x+2)nx+2y-4=0,

|3+4-4|

点A到直线8c的距离为"=又|BC|=2右,

所以一ABC的面积为3,故D正确.

故选：AD

11.已知meR,直线4："?x+y+l=O,/2：x-my+l=O,4与4交于点M,则下列说法正确的是（）

A.当a=1时，直线乙在x轴上的截距为1

B.不论，”为何值，直线4一定过点（0,7）

C.点M在一个定圆上运动

D.直线4与直线4关于直线y=x对称

【答案】BC

【分析】A由解析式确定X轴上的截距判断；由方程确定4与4相互垂直及所过定点坐标判断B、C；

根据对称轴为）'=x,互换其中一条直线的x，y判断是否与另一直线方程相同判断D.

【详解】当初=1时，直线4：x+y+l=0在x轴上的截距为T,故A错误；

直线4：/nx+），+l=0,当x=0时y=—l恒成立，所以“亘过定点（0,-1）,故B正确；

因为不论"?取何值，直线4与4都互相垂直，且/「恒过定点（°，T），4恒过定点（T，0），

所以点M在以（0,-1）和（-1,0）为直径的端点的圆上运动，故C正确；

将方程〃a+），+1=0中的x,y互换得到四，+x+l=0,与直线4的方程不一致，故D错误.

故选：BC

12.在棱长为2的正方体4BCO-ASGA中，M,N分别为棱3C,G"的中点，则下列说法正确的

是（）

A.M,N，A，8四点共面

B.AtMlAB,

C.过点A，的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形

D.过MN作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为费

【答案】BCD

【分析】对于A,画出图形，假设四点共面，由面面平行的性质推出矛盾即可验证；对于B,画出

图形，由先证线面垂直，即证明平面A8C,由此即可验证；对于C,画出图形，通过观察并

简单推理即可验证；对于D,画出图形，若要所得截面的面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的

中点，通过数形结合计算即可验证.

【详解】对于A,如图所示：

M”，A，B四点共面，且由题意有面ABCDH面A4cd,

根据面面平行的性质，可知

又AD//BC,

所以AN〃AA，显然不成立，故假设不成立，故A错误;

对于B,如图所示:

；BC1平面AABBi,AB,c平面AtABBt,

：.BC1ABX,

VABIBC=B,且ARu平面ABC,C8u平面ABC,

AB|_L平面ABC,

又AMu平面ABC,从而故B正确；

对于C,如图所示:

1

取CG的中点p,易得PN〃AB,所以P,N，A，B四点共面,

易知AN=8P,所以四边形ANP8为等腰梯形，故C正确;

对于D,如图所示:

1

要使过MV的平面截该球得到的截面面积最小,

则截面圆的圆心为线段MN的中点Q,

连接OM,ON,则OM=QN=0,MN=瓜,

所以|0Q|=’的—心加沙=乎，此时截面圆的半径r=J*。。］?=乎

2

57r

所以可得截面面积的最小值为兀x=—,故D正确.

2

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意作出图形，通过数形结合进行推理以及计算，从而顺

利求解.

三、填空题

13.已知倾斜角为a的直线/经过点(2,-3),且cosa=3叵，则直线/的方程为.

13

【答案】2x-3y-13=0

【分析】根据题意，求得直线/的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.

【详解】由题意可得sina=Jl-cos?a=次叵,则tana="4=],即直线/的斜率为4，

13COS6Z33

所以直线/的方程为y+3=：2(x-2),即2x-3y-13=0.

故答案为：2x-3y-13=0

14.已知函数/(x)=sin(2x+g)(0<s<W)的图象关于直线x=3对称，则当时,函数f(x)的

263

值域为.

【答案】[(I]

【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得/(x)=sin(2x+J),再由xe[0与，结合求得函数

63

的值域.

[详解】因为/(x)=Sin(2x+⑼的图象关于直线x=m对称,

O

所以2x二+夕=工+E,(k£Z),可得°=2+也,伏62),

626

又因为0<°<5，所以夕=5，即/'(x)=sin(2x+g),

266

当xe[O,1]时,2x+^e[^,^],所以/'(x)w[彳[].

36662

15.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点(%,%,z0),且以向量〃=(a,b,c)("c*0)为方向向量,

则这条直线可以用方程七包=三为=二幺来表示，己知直线/的方程为x-l=2y-4=z,则点

abc

P(3,-1,1)到直线/的距离为.

【答案】V13

【分析】根据题意，得到/的方向向量为〃=*』)，结合向量的距离公式，即可求解.

x-1_x-2_zI

【详解】根据题意，直线/的方程可写为丁=一厂=7,则/的方向向量为“=。，?』),

22

且过点A(l,2,0),可得|〃|=+F=|,4P=(2,一3,1),贝

\AP-n\

所以在“上投影向量的模为一^=1

APn

故点尸到直线/的距离为4=)2=

\n\

故答案为：VT3.

16.已知向量a,b的夹角为8(8为定值)，忖=彳4=2,当2e(0,+<»)时，卜+20的最小值是?，

则。的大小为.

【答案】?

6

【分析】将卜+义n平方，再结合数量积的运算律，以及,+义0的最小值是g结合二次函数的性质计

算分析即可得解.

【详解】|。+劝「=/+2而力+无从=1+440»，+4万

cos?6、1

=4卜+/COS0+"--4---J+]

22

=4(4+彳6)+1-cos0=4^A++sin6^,

当％=_誓时,|°+劝|==向可,

2=-C°S>0ncos6<0,

2

因为|a+羽1nM=3,所以卜iM=：,

因为。€[0,司，所以sin4=1,所以0=2或学，

266

因为cos6<0,所以6=学.

故答案为：-

O

【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用1=停，勿忘记开方；

(2)或卜卜丘，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化;

(3)一些常见的等式应熟记：=a±2a-b+b,(a+b)(a-b)=a~-b"等.

四、解答题

17.已知函数人幻=J2—X的图象与＞轴交于点P,且点尸在直线x+y=l上

2—CL

⑴求。的值；

⑵求不等式/（x）＞，4的解集.

【答案】（1）1

（2）（-1,2）

【分析】（1）先求P点坐标，代入f（x）=J—可得；

2—ci

（2）由Ax）*化简整理得（2X2'-1）（2'-4）＜0,所以;＜2，＜4,故

【详解】（1）因为点尸在y轴上，且在x+y=l上所以点/＞的坐标为（0,1）,

2°

所以f（0）=^^^^—=1,得〃=1

2一。

9X

（2）因为a=l,所以/（©=手口

42、42、4

由/«>亍得即——>0,

!L-1/2x2'-17

7x2v-4（2x2J-l）

-2*+4n

整理得7（2x2J-l）->0即7（2x2<l）>，

所以（2x2'-l）（2=4）＜0,

即1=2-'＜2V＜4=22,

2

因函数y=2'在R上单调递增，所以

故不等式”x）＞］4的解集为（-1,2）

18.如图，在棱长为1的正方体ABCO-4BC。中，E为棱的中点，尸为棱BB|的中点.

（1）求异面直线与C/所成角的余弦值;

(2)求直线AA,与平面A8£所成角的正弦值.

【答案】(D画

10

⑵|

【分析】(1)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得FG=(-l,0,g),A4=(0,1,1),结合向量

的夹角公式，即可求解；

(2)求得向量A4,=((),0,l)和平面48建的法向量为〃=(1,-2,2),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)解：以O为坐标原点，以。AOCDR所在的直线分别为x轴、V轴和z轴建立空间直

角坐标系，如图所示，

则B,(1,1,1),E(0,0,g),尸(1,1,g),4(1,0,0),G(0,1,1),A(1,0,1)，

可得FG=(-1,0,g),Aq=(0,1,1)

设异面直线与C尸所成角为e,

1

FC],AB\

则cos0=|cos(FC],4耳)=Vio

lo-

所以异面直线与C/所成角的余弦值为强.

(2)解：由44=(0,l,l),AE=(-l,0,g),4A=(0,0,l),

AE=-x+—z=0

设平面ABE的法向量为〃=(W),则〈2

n-AE=y+z=0

取z=2,可得x=1,y=-2,所以〃=(1,一2,2),

设直线A4与平面A8万所成角为。

所以直线A4与平面ABE所成角的正弦值为g.

19.己知JRC的顶点A（4,-2）,顶点C在x轴上A8边上的高所在的直线方程为x+2y+a=0.

⑴求直线45的方程；

（2）若AC边上的中线所在的直线方程为x-y-4=0,求加的值.

【答案］（1）2x770=0

⑵〃7=-2

【分析】（1）求出直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；

（2）设点C&0）,求出线段AC的中点。的坐标，将点。的坐标代入直线x-y-4=0的方程，求

出，的值，可得出点C的坐标，再将点C的坐标代入直线x+2y+〃?=O的方程，即可求出实数〃，的值.

【详解】（1）解：由条件知48边上的高所在的直线的斜率为所以直线的斜率为2,

又因为A（4,-2）,所以直线AB的方程为y+2=2（x-4）,即2x-y-10=0.

（2）解：因为C点在x轴上.所以设C&0）,则线段AC的中点为。（一,一1,

点。在直线x-y-4=0上，所以12+1-4=0,得［=2,即C（2,0）,

又点C在直线x+2y+m=0上，所以2+加=0,解得力=-2.

20.在二ABC中，记角A8,C所对的边分别为a,〃,c,已知J3asin8=26+6cos4.

⑴求角A；

（2）若3sin3=2sinC,。为边BC的中点，求的值.

【答案】（1）127c

⑵3

2

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得;

（2）由正弦定理可得扬=2c,设N3AD=。，再由SA5D=SAS，

即;c•AQ•sin6=；Z?.AQ•sin（■—,即可得至I」3sin6=2sin（会一6

由两角差的正弦公式及同

角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】（1）因为gasin8=2〃+AcosA,

由正弦定理可得百sinAsin8=2sin3+sinBcosA,

又3£（0,兀），所以sinBwO,所以Gsin4-cosA=2,

又Ae(O,兀)，所以=所以A=§.

623

(2)因为3sinB=2sinC,所以由正弦定理得3〃=2c,

2兀

设NBAD=e,贝IJNC4)=丁-e,

因为AO为8c边上的中线，所以SABOMSACO，

即;c•A£>•sin6=g。♦A£>•sin（会一6）,

即3sin0=2sin（会一®）=21呼cosO+gsin夕，

ln

即2sin®=百cos，，显然cosOwO,所以tanO=^,

2

向

即tan/BAD=—.

2

21.已知直线/的方程为（机+2）x-y-（l+3m）=。.

⑴若/与直线x+2厂3=0垂直，求实数机的值；

⑵当/与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求/的方程

【答案】（1）机=0

⑵5x+3y-30=0.

【分析】(1)根据两直线垂直斜率关系求参；

(2)先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可.

【详解】(1)由已知得/的斜率为加+2,

因为/与直线x+2y-3=0垂直，所以一gx(,w+2)=-l,

解得〃7=0.

(2)令y=0,得1=匕丝，令x=0,得y=-1-3相，

由匕”>0且—1—3，〃>0,解得2.

m+2

所以/与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积S=：1x1t+=3加x(-1-3〃。=-(1产+3机&产

2m+22(m+2)

令，=机+2,则，<0,所以=

所以s=_LX⑶-5)=-l(9r+—-30)=-[(-9O+—+30]>i(2)9x25+30)=30

2t2t2-t2

当且仅当f=g,即机=-j时取等号，此时三角形面积最小

此时/的方程为-|x-y+10=0,即5x+3y-30=0.

22.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=\,PA=PB=PC=AC=亚，。为棱4c的中点

(1)证明：平面PAC_L平面ABC；

⑵若点M在棱BC上，且PC与平面R4/W所成角的正弦值为也，求二面角M-EA-C的大小

4

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】对于(1),通过题目条件，可以分别得到80和P。长度，分别通过勾股定理和等腰三角形

的三线合一得