第21讲 用二分法求方程的近似解（教师版）-高一数学同步讲义

第07讲用二分法求方程的近似解

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课程标准课标解读

1.理解运用二分法逼近方程近似解的数

学思想，了解二分法只能用于求变号零点通过本节课的学习，要求会用二分法进行简单方程近似

的方法，借助数学工具用二分法求方程的解的求解，并能根据题的要求，解决与二分法相关的参

近似解.数问题的处理.

2.能解决与方程近似解有关的问题.

视知识精讲

金、知识点01二分法定义

对于在区间打上连续不断且/(«)•/S)<()的函数y=/(x),通过不断地把函数/(x)的零点所在的

区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【微点拨】用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点时函数值的符号变号)

适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点时函数值的符号不变号)不适用.

叁'知识点02用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度£,用二分法求函数/(X)零点近似值的步骤如下：

1.确定区间句，验证/(a)•/(〃)<(),给定精确度£.

2.求区间(见价的中点c.

3.计算/(c),

(1)若/(c)=0,则c就是函数的零点；

(2)若/(a)•/(c)v(),则令h=c(此时零点玉)£(a,c))；

(3)若f(c)・fS)v。,则令〃=c(此时零点/£(c,b)).

4.判断是否达到精确度£：即若,一可＜£,则得到零点近似值a（或力）；否则重复2~4.

【微点拨】1.应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：

（1）区间［a,句的长度尽量小；

（2）/（a）,/（。）的值比较容易计算,且/（a）•/（»＜（）.

2.由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

【微点拨】精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，

即设x为准确值，X'为x的一个近似值，若卜'一%|＜£，则尤'是精确度为£的》的一个近似值.而按四舍

五入的原则得到准确值x的前几位近似值尤'，f的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位.

【即学即练1】下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（）

【答案】D

【解析】根据零点存在定理，对于D,在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数

零点，故选D.

【即学即练2】用二分法求方程的近似解，求得/（X）=V+2x-9的部分函数值数据如表所示：

X121.51.6251.751.8751.8125

/（X）-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

则当精确度为0.1时，方程/+2%-9=0的近似解可取为（)

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

【答案】C

【解析】由表格可得，函数/（x）=V+2x-9的零点在（1.75,1.825）之间，结合选项可知，方程V+2x-9

=0的近似解可取为（精确度为0.1）可以是1.8,故选C.

【即学即练3】用二分法求函数/（x）=x3+d-2x-2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算

得到如下数据：/(1)=-2,/(1.5)=0.625,/(1.25)3).984,/(1.375)-0.260,关于下一步的说

法正确的是（）

A.已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B.已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C.没有达到精确度的要求，应该接着计算了（1.4375）

D.没有达到精确度的要求，应该接着计算了（1.3125）

【答案】C

【解析】由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375,1.5）,没有达到精确度的要求，应

该接着计算/（1.4375）.故选C.

【即学即练4】为了求函数/（x）=2*+3户7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数/（x）的

部分对应值，如表所示：

X1.251.31251.3751.43751.51.5625

（X）-0.8716-0.5788-0.28130.21010.328430.64115

则方程2、+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（）

A.1.32B.1.39

C.1.4D.1.3

【答案】C

【解析】由图表可知，函数/（x）=2'+3x-7的零点介于1.375到1.4375之间，故方程2*+3x=7的近似解也

介于1.375到1.4375之间，由于精确到0.1,结合选项可知1.4符合题意，故选C.

【即学即练5】用二分法求函数/（彳）=妨。+1）+》-1在区间［0,1］上的零点，要求精确度为0.01时，所需

二分区间的次数最少为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过"次操作后，区间的长度为L，据此可得

2"

—<0.01,解可得”的取值范围，即可得答案.

2"

【解答】解：根据题意，原来区间［0,1］的长度等于1,每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一

■则经过〃次操作后，区间的长度为奈若品。,。1，…故选：B

【点评】本题考查二分法的使用，注意二分法区间长度的变化，属于基础题.

【即学即练6】用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)内的零点时，计算得40)<0,/(0.5)<0,/(I)>0,

那么下一次应计算x=时的函数值.

【答案】0.75

【解析】V/(0)<0,/(0.5)<0,/(1)>0,.••根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间(0.5,1)

内，取x=0.75.故答案为:0.75.

R能力拓展

考法01

二分法的适用条件

当方程/(X)=0同时满足下列三个条件时：

(1)函数/(x)在闭区间口,切上的图象是一条连续曲线；

(2)函数/(x)在区间(a,份上有唯一的零点;

(3)/(«)-/0)<0.用二分法一定能够求出方程/(x)=0的近似解.

【典例1】下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()

【答案】C

【解析】根据二分法求函数的近似零点的条件，虽然A,B中的函数图象都是连续曲线，但是对其定义域上

任意子集勿，不满足/(。>/3)<0，所以人，B不能用二分法求函数的零点.D中曲线在包含零点的

一定区间内，函数是不连续的，所以不能用二分法求函数的零点.故选C.

【名师点睛】若D选项中的图象在包含零点的一定区间内，函数是连续的，则仍可以使用二分法求零点.

【即学即练7】对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是()

A.函数只要有零点，就能用二分法求

B.零点是整数的函数不能用二分法求

C.多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解

D.以上说法都错误

【答案】D

【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过*轴，分析选

项可得答案.

【解答】解：只有函数的零点为变号零点时，才能用二分法求，故A错；

只要满足二分法的使用条件就能用二分法求，无论零点是小数还是整数，故8错；

多个零点的函数也可以在不同的区间内用二分法求零点的近似解，故C错.故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的概念和函数零点与方程根的关系，考查二分法的定义，体现了数形结合

的数学思想.

【即学即练8】下列函数中不能用二分法求零点的是()

A..f(x)=4x-3B./(x)=lnx+2x-8

C./(x)=sinx+lD./(%)=^-3x+l

【答案】C

【分析】

根据二分法的定义，在连续区间(4方)，使则能用二分法求零点，根据定义判断选项.

【详解】

选项Cy=sinx+120恒成立，不存在区间(4。)使〃。/伍)<0,

所以y=sinx+l不能用二分法求零点.

故选：C

考法02

二分法的简单应用

二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到

零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

【典例2】求方程"X）=X3-2X-5=0的一个正实根的近似值（精确到0.01）.

【答案】2.10

【分析】

先求出函数f（x）=d-2x-5的个正数零点，再根据函数的单调性和二分法，逐步加强要求缩小区间，直

至找到符合精度的近似根.

【详解】

将所求实根看作是曲线f（x）=V-2x-5与x轴的交点的横坐标，如图所示：

由〃2）=—1＜0和/（3）=16＞0,知〃£）=0在（2,3）内至少有一正实根；

又/'（X）=3/-2在（2,3）内恒正，y="X）在（2,3）内单调上升，从而f（x）=0在此区间内必有且仅有一个

正实根.

取W=；（2+3）=2.5,由〃2）"（2.5）＜0知所求正实根在（2,2.5）内；

取电=（2+2.5）=2.25，由“2）♦"2.25）＜0知所求正实根必在（2,2.25）内；

MX=^（2+2.25）=2.125,由〃2＞/（2.125）＜0知所求正实根必在（2,2.125）内；

=1（2+2.125）=2.0625,[i|/（2.0625）-/（2.125）＜0知所求正实根必在（2.0625,2.125）内；

取x5=-(2.0625+2.125)=2.09375,

1117(2.09375)-/(2.125)<0知所求正实根必在(2.09375,2.125)内；

取%=；(209375+2.125)=2.109375,

口"(2.09375)♦/(2.109375)<0知所求正实根必在(2.09375,2.109375)内；

取七=；(2.09375+2.109375)=2.1015625»2.10,则x7就是与所求正实根的误差不超过

最=0.0078125<0.01的近似值.

【即学即练9】用二分法求函数“X)的一个正实数零点时，经计算：/(0.64)<0,/(0.72)>0,

/(0.68)<0,/(0.74)>0,则函数/(X)的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()

A.0.64B.0.8

C.0.7D.0.6

【答案】C

【解析】因为40.68)<0,/(0.72)>0,即/(0.68>/(0.72)<0,所以函数/(%)的零点在区间

(0.68,0.72)内.又0.72—0.68=0.04<0.1,观察各选项可知函数/(%)的一个精确度为0.1的正实数冬

点的近似值为0.7.故选C.

【名师点睛】“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右

函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.

【即学即练10】用二分法求函数/(x)=/gx+x-3的一个零点，根据参考数据，可得函数/(x)的一个零点

的近似解(精确到0」)为()

(参考数据：1g2.5=0.398,lg2.75a0.439,lg2.5625=0.409)

A.2.4B.2.5C.2.6D.2.56

【答案】C

【分析】

根据零点存在定理判断即可.

【详解】

由题意得

/(2.5)=1g2.5+2.5-3«0.398-0.5=-0.102<0

/(2.5625)=Ig2.5625+2.5625-3“0.409-0.4375=-0.0285<0

/(2.75)=Ig2.75+2.75-3。0.439-0.25=0.189>0

因为函数在(0,y)上连续，所以函数在(2.5625,2.75)上有零点，

故选：C

考法03

用二分法求函数的零点或方程的近似解

(1)用二分法求函数的零点按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助

表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度£时终止运算.

(2)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程/(x)=0

的近似解，即按照用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤求解.

对于求形如/(%)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)=/(x)-g(x)=0的方程的近

似解，然后按照用二分法求函数/(%)零点近似值的步骤求解.

有些较复杂的探求方程近似解的问题需要大致作出函数图象或列表，以此确定方程近似解所在的区间，即

初始区间.

【典例3】用二分法求函数=的一个正零点(误差不超过0.02).

【解析】由于/(0)=—5<0,/(3)=4>0,故可取区间(0,3)作为计算的初始区间.

用二分法逐次计算，列表如下：

区间中点的值中点函数值(或近似值)

(0,3)1.5-2.75

(1.5,3)2.250.0625

(1.5,2.25)1.875-1.484

(1.875,2.25)2.0625-0.746

(2.0625,2.25)2.15625-0.351

(2.15625,2.25)2.203125-0.146

(2.203125,2.25)2.2265625-0.042

(2.2265625,2.25)2.238281250.0099

(2.2265625,2.23828125)2.232421875-0.016

由上表计算可知，区间(2.2265625,2.23828125)的长度小于0.02,所以此区间的中点2.232421875可作

为所求函数的一个正零点的近似值.

【名师点睛】用二分法求函数的零点的近似值，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要

使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度及时检验区间长度是否满足精确度，以决定是否继续计算.

考法04

二分法思想的实际应用

二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称问题外，还可以通过其思想方法处理一

些现实中的不对称问题，在生活中、数学中也经常见到.要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联

系及其应用.

【典例4】有9个外表看上去一样的小球，其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称

次可以确保把轻球挑出来.

【答案】2

【解析】很明显一次无法完成任务.

把9个乒乓球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：

①若天平平衡，则轻球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则轻球就是第三个，若不

平衡，轻的一边就是轻球；

②若天平不平衡，则轻球在轻的一边，第二次称轻的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是轻球，若

不平衡，轻的一边就是轻球.故填2.

M分层提分

题组A基础过关练

1.利用二分法求方程log3*=3-x的近似解，可以取的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】

设f(x)=log3X—3+x,根据当连续函数f(x)满足/(a)./⑹<0时，f(x)在区间(a,b)上有零点，即方

程log，x=3-x在区间(a,6)f!有解，进而得到答案.

【详解】

解:t5/W=log3x-3+x,

，当连续函数/(x)满足/(a)•/⑹<0时,/(x)在区间(a,加上有零点，

即方程log.,x=3-x在区间(«,b)上有解，

又/(2)=log,2-1<0,f(3)=log33-3+3=l>0,

故/(2)•/(3)<0,

故方程log3x=3-x在区间(2,3)上有解，

即利用二分法求方程logsx=3-x的近似解，可以取的一个区间是(2,3).

故选：C.

2.若/(力=/+/-2%-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

?)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984“1.375)=-0.260

“1.438)=0.165/(1.4065)--0.052

那么方程d+Y-2x-2=0的一个近似根(精确到0」)为()

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【分析】

结合零点存在性定理，根据二分法求解即可得答案.

【详解】

解：根据二分法，结合表中数据，由于/(1.438)=0.165>0,/(1.4065)-0.052<0,

所以方程V+f-2x-2=0的一个近似根所在区间为(14065.1.438)

所以符合条件的解为14故选：C

3.设函数f(x)=4V+x-8,用二分法求方程4/+x-8=0近似解的过程中，计算得至U/⑴<0,/(3)>0,

则方程的近似解落在区间()

A.(1,1.5)B.(1.5,2)

C.(2,2.5)D.(2.5,3)

【答案】A

【分析】

根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得f(2)>0,再求的符号，只须找到满足/⑷/。)<0

即可

【详解】

取玉=2,因为/(2)=4x8+2-8=26>0,所以方程近似解毛e(l,2),

3,3、273

取/二因为f片=4xk+7_8=7>0,

2\2.Jo2

所以方程近似解天€[1，|),

故选：A.

4.用二分法求函数於)的一个正实数零点时，经计算的.64)<0,式0.72)>0,/0.68)<0,则函数的一个精确度

为0」的正实数零点的近似值为()

A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4

【答案】B

【分析】

利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.

【详解】

依题意，函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.76(0.68,0.72),且满足|0.72-0.68]<0.1,

所以所求的符合条件的近似值为0.7.

故选：B

5.设yU)=3*+3x-8,用二分法求方程3工+3工-8=0在(1,1.5)内的近似解的过程中,有"1)<0,用.5)>0,

人1.25)<0,则该方程的根所在的区间为()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)D.不能确定

【答案】B

【分析】

根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.

【详解】

•.求1,25）贝.5）＜0,且弱）是单调增函数，...该方程的根所在的区间为（1.25,1.5）.

故选：B.

6.用二分法研究函数外）=V+3x—l的零点时，第一次计算，得加））＜0,40.5）＞0,第二次应计算於I）,则

»等于（）

A.1B.-1C.0.25D.0.75

【答案】C

【分析】

根据二分法的原理，直接求解即可.

【详解】

第一次计算，得汽0）＜0,a.5）＞（）,可知零点在（0,0.5）之间，

所以第二次计算/Ui）,则x尸土要=0.25.

故选：C

7.已知函数/（x）=x-e-'的部分函数值如下表所示：

X10.50.750.6250.5625

/（X）0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函数/（X）的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）

A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89

【答案】B

【分析】

由表格数据结合零点存在性定理得出零点的近似值.

【详解】

根据给的数据知道方程的根在区间（0.5625,0.625）内，所以近似解为0.57

故选：B

8.已知函数"x)=x2-log/-6,用二分法求〃x)的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为()

A.(1,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

【答案】C

【分析】

根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理，即

可得出结果.

【详解】

因为函数〃x)=f-log2X-6在(0,+8)上显然是连续函数，

y=/和y=k>g2x+6在(0,+e)匕都是增函数，

22

当xe(l,2)时，x<2=4<6=log2l+6<log2x+6,所以/'(6二/-k(g2X-6<0在xe(l,2)上恒成立；

当xe(2,2.5)时，d<2.5。=6.25<7=k>g22+6<log2X+6,所以=Y-log2X-6<()在xe(2,2.5)上也

恒成立；

当xe(3,3.5)时，%2>32=9>log,3.5+6>log,x+6，所以/(x)=/一1082》-6>0在xe(3,3.5)上恒成立，

2

又/(2.5)=2.5-log,2.5-6<0,/(3)=9-log23-6>0,

根据函数零点存在性定理，可得f(x)的其中一个零点的初始区间可为(2.5,3).

故选：C.

【点睛】

方法点睛：

判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理,

即可得出结果.

9.一种药在病人血液中的量保持15()()mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险.现给某病人注射了这

种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经

过()小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg2=0.301,lg3=0.4771,答案采取四舍

五入精确到O.lh)

A.2.3小时B.3.5小时C.5.6小时D.8.8小时

【答案】A

【分析】

药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解.

【详解】

设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.

则2500x0.8*=1500,0.8"=0.6,1g0.8v=1g0.6,xig0.8=lg0.6,

,g

_lg0.6_gio_Ig2+lg3-l_0.301+0.4771-1~

lg0.81831g2-l3x0.301-1

&10

故选：A.

3

10.已知函数/a)=2"-二在区间(1,2)上有一个零点小,如果用二分法求与的近似值(精确度为0.01),则应

x

将区间(1,2)至少等分的次数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】

根据二分法的定义可得最<0.01,解得〃>6即得.

【详解】

由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的则等分"次后的区间长度变为原来的《，

则由题可得《<0.01,即2">100>2',，〃>6,

则至少等分的次数为7.

故选：C.

11.在使用二分法计算函数/(x)=lgx+x-2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2),如果要求近

似解的精确度为0」，则接下来需要计算()次区间中点的函数值.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

根据二分法定义计算即可得到答案.

【详解】

因为区间(1,2)的长度为1,每次二等分都使长度变为原来的1,

3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为(：)=1>0.1,不满足题意,

4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为=^<0,1,满足题意.

故选：C

12.用二分法求函数f(x)=lgx+x-2的一个零点，根据参考数据，可得函数/(%)的一个零点的近似解(精

确到0.1)为()(参考数据：lgl.5=0.176,1g1.625»0.211,lg1.75«0.243,lg1.875«0.273,

lgl.9375®0.287)

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【答案】C

【分析】

根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.

【详解】

由题意可知：

/(1.75)=lgl.75+1.75-2®0.243+1.75-2=-0.007<0,

/(1.875)=1g1.875+1.875-2®0.273+1.875-2=-0.148>0,

又因为函数在(0,+8)上连续，所以函数在区间(1.75,1.875)上有零点，

约为----------1.8

故选：C.

【点睛】

函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间加上是连续不断的曲线，且人a»S)V0,还必须结合函

数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

13.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

X-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

y=2*0.32990.37890.43530.50.57430.65980.75790.87061

2.561.961.4410.640.360.160.040

那么方程2，=N有一个根位于区间()

A.(—1.6,-1.2)内

B.(-1.2,-0.8)内

C.(-0.8,—0.6)内

D.(-0.6,-0.2)内

【答案】C

【分析】

由零点存在定理判断.

【详解】

设火x)=2，一贝1]4一1.2)=0.4353—1.44<0,

0.8)=0.5743-0.64<0,

7(-0.6)=0.6598—0.36>0,

二函数./U)在区间(-0.8,—0.6)内必有一个零点.

所以方程2'=x2有一个根位于区间(-0.8,-0.6),

故选：C.

14.下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】

根据二分法求函数零点的前题条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过x轴,

并且在零点附近函数图象连续不间断，分析选项可得出结果.

【详解】

由题意可知，若能利用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过X

轴，且该函数在零点附近的函数图象连续，

因此，②④中的函数能用二分法求零点，①③中的函数不能用二分法求零点.

故选：C.

题组B能力提升练

1.若函数F(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

/(1)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-().984

/(1.375)=-0.2607(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程d+f-2x-2=0的一个近似根(精确度0.05)可以是()

A.1.25B.1.39C.1.41D.1.5

【答案】C

【分析】

根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.

【详解】

因为/⑴所以/⑴/(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5—1=0.5>0.05,所以不

满足精确度0.05；

因为/(1.25)<0,所以/(1.25)/(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5—1.25=0.25>0.05,所以

不满足精确度0.05；

因为/(1.375)<0,所以网375)/(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05,

所以不满足精确度0.05：

因为/(1.4375)>0,所以/(1.4375)/(1.375)<0,所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为

1.4375-1.375=0.0625>0.05,所以不满足精确度0.05:

因为/(1.40625)<0,/(1.40625)/(1.4375)<0,所以函数在(1.40625,1.4375)内有零点，

因为1.4375—1.40625=0.03125<0.05,所以满足精确度0.05,

所以方程V+f-2x-2=0的个近似根(精确度0.05)是区间(L40625,1.4375)内的任意一个值(包括端

点值)，根据四个选项可知选C.

故选：c

【点睛】

关键点点睛：掌握二分法求零点的步骤以及精确度的概念是解题关键.

2.利用二分法求方程lnx+x-2=0的近似解，己求得/(x)=lnx+x-2的部分函数值的数据如下表:

X121.51.751.6251.5625

-10.6931-0.09450.30960.11050.0088

则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为()

A.1.55B.1.62C.1.71D.1.76

【答案】A

【分析】

根据二分法依次判断函数的零点所在的区间，根据精确度确定方程lnx+x-2=0的近似解即可.

【详解】

设函数f(x)=lnx+x-2的零点为今,

由表格信息可知：

/(1)=-1<0

所以与€(1,2),

/(2)=0.6931>0

取为=15,由于/(1.5)=-0.0945<0,/(2)=0.6931>0,

所以与e(1.5,2),

取％=1.75,由于/(1.5)=-0.0945<0,/(1.75)=0.3096>0,

所以与€(1.5,1.75),

取毛=1.625,由于7(1.5)=-0.0945<0,/(1.625)=0.1105>0,

所以与©(1.5,1.625),

取匕=1.5625,由于/(1.5)=-0.0945<0,/(1.5625)=0.0088>0,

所以/e(1.5,1.5625),

因为精确度为0.1,

观察选项，函数/*)=lnx+x-2的零点近似值为1.55,

所以方程lnx+x-2=0的近似解为1.55.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查二分法求函数零点或方程实根，需要掌握二分法的具体步骤，根据零点存在定理确定函数零

点或方程实根，考查学生分析问题解决问题的能力.

3.已知函数/（x）满足：对任意都有）＞0,且.在用二分法寻找零点

方一9

的过程中，依次确定了零点所在区间为［。，句，+,又+则函数“X）的零点

为（）

A.!B.-C.-D.—

2345

【答案】B

【分析】

先根据条件分析得到f（x）的单调性，然后根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值,

则/（x）的零点可知.

【详解】

因为对任意看,吃€［。回，都有/（*）-/％）＞0,且/（。＞0）＜0,

X］一工2

所以“X）在［〃,句上单调递增，且〃a）＜0J（b）＞（）：

a+b

a+------

----=。+1［a=—\

因为。+1＞。恒成立，所以2,解得।°,

a+b_b也=3

.〒一§

所以/（x）的零点为二"2；③二4=1,

故选：B.

4.（多选题）以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（）

【答案】ABC

【分析】根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数八幻的零点，结合所给的图

象可得结论.

【解答】解：根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f(x)的零点,

故A,B,C符合

。中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除.

故选：ABC.

【点评】本题主要考查函数的零点的定义，用二分法求函数的零点的方法，属于基础题.

5.以下是用二分法求方程R+3x—5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出

结论.

设函数/)=与+3万—5,其图象在(-8,+8)上是连续不断的一条曲线.

先求值，/0)=,犬1)=,/2)=,五3)=.

所以凡r)在区间内存在零点M).填表：

区间中点m大⑺的符号区间长度

【答案】-5,-1,9,31,(1,2)

【分析】先利用函数求得函数值，再利用二分法求近似解的过程求解.

【详解】

因为方程为与+3》-5=0,

令凡v)=/+3x-5,

所以火0)=-5,贝1)=-1,式2)=9,火3)=31,

./U)在区间(I,2)内存在零点xo,填表为

区间中点m危%)的符号区间长度

(1.2)1.5+1

(1,1.5)1.25+0.5

(1,1.25)1.125—0.25

(1,125,1.25)1.1875+0.125

(1.125,1.1875)1.15625+0.0625

因为11.1875—1125|=0.0625<0.1,

所以原方程的近似解可取为1.1875.

故答案为：-5,-1,9,31,(1,2),表见解析；

6.以下是利用二分法求函数/(乃二%3-3的一个正实数零点的过程，当精确度为0.01时，该函数的零点为

计算端点或中点的函数

端点或中点的横坐标定区间

值

<70=1,bo=2火1)=-2,42)=5[1.2]

1+2.<

f(xo)=0.375>0th1.5]

1+1.5.

x,=-----=1.25/(xi)=-l.0469<0[1.25,1.5]

2

1.25+1.51_

x2=-------=1.375f(X2)=-0.4004<0[1.375,1.5]

1.375+1.5.._

x,=---------=1.4375y()=-o.0295<0[1.4375,1.5]

2X3

1.4375+1.5ysu

x=----------=11.46875/(X4)=O.1684>0[1.4375,1.46875]

442

14375+146875“SB.

/(X5)>0[1.4375,1.453125]

2

X6=1.4453125/(X6)>0[1.4375,1.4453125]

【答案】1.4375或1.4453125

【分析】

利用零点存在定理，即精确度为。01,判断的零点在[14375,1.4453125],从而得到答案.

【详解】

V2-l=l>0.01,

负1)/(加)<0且1.5-1=0.5>0.01

/(Xi)/(均/。且1.5-1.25=0.25>0.01,

/(X2)/(xo)<0且1.5-1.375=0.125>0.01,

/(X3),〃冲)<0且1.5-1.4375=0.0625>0.01,

/(%3)/(x4)<0且1.46875-1.4375-0.0525>0.01,

/(X3)f(X5)<0且1.453125-1.4375=0.015625>0.01,

/(X3)f(X6)<0且1.4453125-1.4375=0.0078125<0.01,

函数/(x)=--3=0的一个有根区间为[1.4375,1.4453125],

x11.4375-1.44531251<0.01,

二零点近似解为1.4375或1.4453125

故答案为：1.4375或1.4453125

【点睛】

二分法求零点：

(1)异号零点：(零点存在定理)；

(2)精确度：决定循环终止条件及结果的形式.

7.若用二分法求方程2/+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解，第一次取区间的中点为演=],那么第三

次取区间的中点为毛=.

【答案】|

O

【分析】

方程的实数根就是对于函数的零点，根据题意可设/(%)=2V+3x-3,求得/(0)<0,/^<0,/(1)>0,

根据零点存在性定理可得出f(x)的零点所在区间为。，1),由二分法得第二次取区间的中点为々=:，进而

求得得零点所在区间为(；，：)从而得出第三次取区间的中点

【详解】

解：由题可知，用二分法求方程2/+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解，

第一次取区间的中点为占=；,可设〃x)=2d+3x-3,

/(0)=0+0-3=-3<0,/(1)=2+3-3=2>0,

吗)=2x]£|+3*

"[£|力1)<0，；J(x)的零点所在区间为停1}

则第二次取区间(；，1)的中点为々=1，

而f图=2x(1)+3x1-3=^>0.

13/图<°‘'J⑺的零点所在区间为C

门3、13

则第三次取区间彳,了的中点为“_2+4_5.

故答案为：—.

O

【点睛】

关键点点睛：本题考查零点存在性定理的应用和利用二分法求方程的近似解，解题的关键在于掌握二分法

的解题步骤，考查学牛.数学运算能力.

C培优拔尖练

I.判断函数f（x）=2f-1的零点个数，并用二分法求零点的近似值.（精确度0.1）

【答案】0.75

【分析】

首先由结合“X）的单调性可知”可有且只有一个零点不€（0,1）,再利用取区间中点的方法

利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可.

【详解】

因为“力=2/一1,

所以〃（））=一1＜（），/（1）=2-1=1＞0

因为/（。＞〃1）＜（），所以“X）在区间（0,1）内有零点，

因为〃力=29-1在R上为增函数，

所以/（x）有且只有一个零点为e（（）,l），

取区间（0,1）的中点占=0.5,"0.5）=2x0.53-1=-0.75＜0,

所以/（0.5）・/。）＜0,可得（0.5,1）,

取区间（0.5,1）的中点*2=0.75,/（0.75）=2x（）.753-l=-0.15625＜0,

所以/（0.75）-/（1）＜0.可得不e（0.75,1）,

取区间（0.75,1）的中点鼻=0.875,/（O.875）=2x0.875?-l=0.3398＞0,

所以/（0.75）-/（0.875）＜0,可得为w（0.75,0.875）,

取区间（0.75,0.875）的中点匕=0.8125,/（0.8125）=2x0.81253-1=0.0728＞0,

所以40.75）.40.8125）＜（）,可得不e（0.75,0.8125）,

因为|0.8125-（）.75]=0.0625＜0.1,

所以“X）=2x3-l零点的近似值可取为0.75.

2.用二分法求/_x-1=0在区间［1,1.5］的一个实根(精确到0.01).

【答案】1.32

【分析】

7

先构造函数/(X)=x3-x-l,计算可得/(1)=-1<0,/(1.5)=^->0,根据零点存在性定理可取区间［1,1.5］作

O

为计算的初始区间，用二分法逐次计算，直到区间的端点的差精确度为0.01即可

【详解】

设/(x)=d—x—l,

7

O

.在［55］内/(x)=。有实数解.

取［1,1.5］为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下:

中点函数

区间中点

值

[1,1.5]1.25-0.296875

[1.25,1.5]1.3750.224609

[1.25,1.375]1.3125-0.051514

[1.3125,1.375]1.343750.082611

[1.3125,1.34375]1.3281250.014576

[1.3125,1.328125J