3.4 圆心角（5大题型）（分层练习）（解析版）

第3章圆的基本性质3.4圆心角（5大题型）分层练习考查题型一圆心角的概念辨析1．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB,称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．2．（2022秋·山东东营·九年级校联考期末）下列语句中不正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】根据圆的性质依次进行判断即可得．【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线（或直径所在的直线）都是圆的对称轴；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；综上，①②④错误，故选：A．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆的性质．3．（2022秋·四川成都·七年级统考期末）将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为．【答案】200°【分析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数．【详解】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．故答案为200°【点睛】本题考查了认识平面图形－圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360°．4．（2021·湖南娄底·统考中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是．【答案】【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，圆心角所对的弧长比半径大，，故答案是：．【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．5．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)【分析】（1）根据条件和，即可求解；（2）根据第（1）问的结论和即可求解．【详解】（1）解：；∵，，，∴（2）解：∵，，，，∴，∴；【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．考查题型二利用弧、弦、圆心角的关系求解1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．3．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于．【答案】/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∵B是的中点，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是．-【答案】/34度【分析】先由平角的定义求出的度数，由，根据相等的弧所对的圆心角相等可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在⊙O中，点C是的中点，D、E分别是半径和的中点，求证：．【答案】见解析【分析】连接，构建全等三角形和，即可求证．【详解】证明：连接，如图所示：∵，且D、E分别是半径和的中点，∴，∵C是的中点，∴，∴，∴在和中，，∴（SAS），∴．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形全等的判定等，掌握数形结合思想是解题关键．考查题型三利用弧、弦、圆心角的关系求证1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵是的直径，弦垂直于点，∴，，，∴，，而不一定成立，故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．2．（2021秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（

）∵∴（1）∵∴（2）∵∴（3）∵∴（4）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【答案】C【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断．【详解】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确；（2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确；（3）∵，∴∴；∴（3）正确；（4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确故选：C【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，连接，，则（填“”，“”或“”．【答案】【分析】根据推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【详解】解：∵，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．4．（2021秋·北京·九年级校考期中）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有．【答案】①②③④【分析】根据弦、弧、圆心角之间的关系解答即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴，故①正确；∵∠1=∠2，∴，即，∴，，故②③正确；由上证得，故④正确．故答案为：①②③④【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．5．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．

【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：，，

，即，

，

；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．考查题型四求圆弧的度数1．（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接先求解再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．【详解】解：如图，连接∵，∴∵∴∴∴的度数为：故选B．【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．2．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度数20°．故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．3．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为．【答案】/50度【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得．【详解】解：如图，连接，则，由折叠的性质得：，，是等边三角形，，，，则弧的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．4．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为度．【答案】60【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可．【详解】解：∵PQ=PO，PO=OQ，∴PQ=PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴∠POQ=60°，∴的度数为60度故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键．5．（2022秋·贵州毕节·七年级校考阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数．【答案】54°，90°，108°，36°，72°【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可．【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%，扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%，∴∠AOB＝360°×15%＝54°，∠BOC＝360°×25%＝90°，∠COD＝360°×30%＝108°，∠DOE＝360°×10%＝36°，∠AOE＝360°×20%＝72°，答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°．【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键．考查题型五圆心角的应用1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得．【详解】由题意知∴∵量角器为半圆∴∴∴故选D．【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数．2．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】C【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；C、当时，，故本选项符合题意；D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为．（只考虑小于的角）【答案】【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度．【详解】连接，如图所示：点P在小量角器对应的刻度为，，，，，点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）．故答案为：．【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键．4．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，∵360÷100=3.6，∴至少需要4台．故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．5．（2022秋·北京西城·九年级校考阶段练习）下面是某同学设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：．求作：的内接正三角形．作法：如图，①作直径；②以为圆心，为半径作弧，与交于C、D两点（点在直线上方）；③连接，，．所以就是所求的三角形．根据该同学设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：在中，连接，，，____________，为等边三角形．．．同理，______________．（___________________________）（填推理的依据）．是等边三角形．【答案】(1)见解析(2)；；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解；（2）根据作法可得到为等边三角形，从而得到，进而得到，再根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，即可．【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形；（2）证明：在中，连接，，，，为等边三角形．．．同理，．（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）．是等边三角形．故答案为：；；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．1．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校联考期中）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【答案】B【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．2．（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（）

A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【详解】解：A、∵点A是中点，∴，∴，无法得出，故选项A错误；B、如图：连接，∵，∴，∵，∴，∴，故此选项正确；C、∵，∴，故选项C错误；D、无法得出，故选项D错误．故选：B．

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．4．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（

）

A．10 B． C． D．5【答案】D【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解．【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值

∵的度数为，点是弧的中点，∴的度数为，又，∴是等边三角形，∵∴，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【详解】解：如图，连接．，，，点D是弧的中点，，，，，设,在中，则有，解得，，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为．

【答案】【分析】过作于，交于，反向延长交于点，交于点，则，连接，则为的直径．根据平行线的性质得到推出．根据勾股定理即可计算答案．【详解】解：过作于，交于，反向延长交于点，交于点，如图所示：

则，连接，则为的直径，，，，，∴∴，在中，，，在中，，，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为．

【答案】【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接，由题意可得：，，，∴，，∴．故答案为．

方法二∶解∶连接，由题意可得：，根据圆周角定理，知．故答案为．

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．8．（2022·广东湛江·一模）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=．

【答案】【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解．【详解】解：如图，连接，，

根据题意得，，，∴，，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为．【答案】【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，过D作于E，则，∵点C是直径的三等分点，直径，∴，，，∴，∵点D是弧的三等分点，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出和半径的长度是解此题的关键．10．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论①；②；③若四边形是正方形，则；④若为弧的中点，则为中点．所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．【详解】解：连接、，如图，、，，，，，四边形是矩形，，在和中，，，，，，故②正确，，，，故①正确，当四边形是正方形时，，，，故③错误，若是的中点，连接，而，，是等边三角形，，，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．11．（2021秋·广东河源·九年级校考期中）如图，点在上，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．【详解】证明：，，，即，．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12．（2023·浙江温州·校考二模）如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．

(1)求证：．(2)若，求的长．【