专题08 二次函数与图形面积的问题（解析版）

专题08二次函数与图形面积的问题一、单选题1．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，连接，．若面积为8，则的值是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】设，，其中，，联立与得，即，可得，．因为，根据面积为8即可解决问题．【详解】解：设，，其中，．联立与得：，即，，．，面积为8，，解得，，，故选：D．二、解答题2．（2023秋·江苏·九年级统考期末）已知二次函数的图像与x轴的交点为﹒(1)求这个二次函数的表达式；(2)若该二次函数图像的顶点为D，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据交点式直接写出二次函数的解析式即可求解；（2）根据配方法得出顶点式，进而得出顶点坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴的交点为，∴二次函数解析式为，（2）解：如图所示，∵，该二次函数图像的顶点为D，∴,∵，∴，∴．3．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，将抛物线向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且为等腰直角三角形．(1)求a的值；(2)在图中的抛物线上是否存在点C，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a的值为1(2)存在，，理由见解析【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，令其找出点B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的值．【详解】（1）解：平移后的抛物线的解析式为，顶点坐标，令中x＝0，则，∴．∵为等腰直角三角形，∴，解得：或（舍去），故a的值为1；（2）解：存在，理由如下：如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，∵为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，∴，∵为抛物线的对称轴，∴，，∴为等腰直角三角形，∵点，抛物线对称轴为，∴点C的坐标为，此时，，故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为且．4．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交轴于点，点是抛物线在直线上方的一个动点（不含，两点）．(1)求、的值．(2)连接、，若的面积是的面积的倍，求点的坐标．(3)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点、，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)是，【分析】（1）将点代入，可求出二次函数解析式，再令，可求出的值；（2）根据题意得，直线的表达式：，如图所示（见详解），过点作轴交于，交轴于，可设点的坐标为，且，则点，的面积是的面积的倍，由此即可求解；（3）由（2）可知，直线的表达式为：，用含的式子分别表示出，，即可求解．【详解】（1）解：将点代入，解得，即，令，代入，解得．∴，．（2）解：根据题意得，，直线的表达式：，如图所示，过点作轴交于，交轴于，∵点在二次函数图像上，∴设点的坐标为，且，则点，∵，∴，即，解得，，∴点的坐标为或．（3）解：为定值，由（2）可知，直线的表达式为：，令，则点的坐标为

∴，同理可得：点的坐标为∴，∴，即．5．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线经过、两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当时，求y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为；顶点坐标为(2)当时，(3)P点坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可求解；（2）根据图象即可进行解答；（3）先根据三角形的面积求出三角形的高，即点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．【详解】（1）把、分别代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∵，∴顶点坐标为；（2）∵、，函数顶点坐标为，∴当时，y的取值范围；（3）∵、，∴，设，则，∴，∴．①当时，，解得：，，此时P点坐标为或；②当时，，即，∴，即方程无解；综上所述，P点坐标为或．6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．(1)求出a、b的值；(2)若点B是抛物线对称轴土的一点，且的面积为15，求点B的坐标．【答案】(1)，(2)点的坐标为或【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，，，，过点，；（2）解：点是抛物线对称轴上的一点，设，由（1）可知：，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，，，解得：或，点的坐标为或．7．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得的面积为3，求出点P的坐标；②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)，，；(2)①，，，；②【分析】（1）当时，，解得，即可得到点A和点B的坐标，当时，，即可得到点C的坐标；（2）①设点P到的距离为h，由的面积为3，解得，当时，，即，求得点，，又因为抛物线x轴上方部分与x轴下方部分有对称图像，可以得到，，当时，，即，可以得到，；②由图像M与直线恒有四个交点，得到，由图像x轴上方部分沿x轴向下翻折得到的部分图像的表达式为，求得以为直径作圆的半径为，由图像N与x轴相离，求得，进一步求得t的取值范围即可．【详解】（1）解：当时，，解得，∴点，，当时，，∴点；（2）解：①由（1）可知，，设点P到的距离为h，∴的面积为，解得，当时，，即，解得，∴点，，∵抛物线x轴上方部分与x轴下方部分有对称图像，∴可以得到，，当时，，即，解得，可以得到，，综上可知，点P的坐标为，，，；②∵，∴翻折后得到抛物线下方图像的顶点为，∵图像M与直线恒有四个交点，如图，∴，图像x轴上方部分沿x轴向下翻折得到的部分图像的表达式为，当时，，即，∴，，∴，∴，∴，∴，即，∴以为直径作圆的半径为，∵图像N与x轴相离，即以为直径作的圆与x轴相离，∴，∴，即，一元二次方程的解为，，如图，∴由二次函数的图x可知，的解集为或，又∵，∴．即t的取值范围为．8．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线的函数表达式为．(1)求抛物线的表达式；(2)点P为抛物线上一点，若，请求出点P的坐标；【答案】(1)(2)或．【分析】（1）先求出，，用待定系数法求出抛物线的表达式．（2）求出，求出和的面积，再求出P点坐标的纵坐标的绝对值为即可解得．【详解】（1）∵过直线，当时，，当时，，∴，，把，代入，得解得，，∴抛物线的表达式为．（2）∵抛物线的表达式为，令，则有，解得：，∴，∴，，∴，设P点坐标的纵坐标的绝对值为∴∴，当时∵，∴不存在实数根．当时∴，解得：，，∴或．9．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）已知：二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若有一直线：经过点、，直接写出不等式的解集；(3)若在轴下方的抛物线上有一动点，使的面积为6，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）用待定系数法解答即可；（2）根据函数图像，抛物线不在直线下方时的自变量的取值范围就是不等式的解集；（3）设，根据三角形的面积公式列出方程解答便可．【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于，两点，代入得：，解得：，∴（2）由图像可知：当抛物线不在直线下方时，或，∴的解集为或．（3）设，∵的面积为6，∴，∵在轴下方的抛物线上有一动点，∴解得或∴或．10．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线在轴上方部分一动点，过点作直线轴于．(1)如图1，当时，求的面积；(2)如图2，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标．【答案】(1)24(2)的坐标是或【分析】（1）首先确定，，易得，再结合，可知的横坐标为2，可确定点坐标，然后计算的面积即可；（2）首先确定点，易得，由等腰三角形的性质可得，进而确定点的纵坐标，然后将其代入函数解析式中即可获得答案．【详解】（1）解：当时，即有，解得，，∴，，∴，∵，即的横坐标为2，∴，∴，∴在中，边上的高为8，∴，即的面积为24；（2）在函数中，当时，，∴，∴，∵是以为底的等腰三角形，∴，∵，∴，在中，当时，即有，解得或，∴点的坐标是或．11．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）如图，在中，．点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为．(1)试写出的面积与之间的函数表达式；(2)当t为何值时，的面积最大?最大面积是多少?【答案】(1)(2)当时，的面积最大，最大值是【分析】（1）根据题意得到，利用三角形面积公式即可得到答案；（2）把二次函数表达式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得：，＝；即；（2）∵，∴当时，的面积最大，最大值是．12．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为M，经过点A的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．(1)直接写出点的坐标_______；点的坐标________；(2)如图（1），若顶点的坐标为，连接、、，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形的面积；(3)如图（2），点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为时，请直接写出此时点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）令，解一元二次方程即可求解；（2）用待定系数法即可求出两个函数的解析式，再根据的坐标求出四边形的面积；（3）过点作轴，交直线于点，设，写出面积的表达式，根据二次函数的最大值列出方程即可求解．【详解】（1）解：由，令，即，解得：，∴，，故答案为：，；（2）如图，连接，∵顶点M的坐标为，代入，解得：，∴抛物线解析式为，∵经过点A的直线与y轴交于点C，∴，∴，∵，∴，∴一次函数解析式为：，，解得：或，∴，∴四边形的面积=；（3）如图，过点作轴，交直线于点，设则，∴，，∵，∵，∴当时，的面积最大值为，解得：，∴，∴．13．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点、，交y轴于点C．(1)求b和c的值；(2)若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．【答案】(1)，；(2)或；(3)点P的坐标为．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出的面积，设点，再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．【详解】（1）解：∵点、在二次函数图像上，则，解得：，故答案为：，；（2）解：连接，∵，∴二次函数为，∴∵、，∴，∵，设点，∴，即，解得：或，代入，可得：y值都为16，∴或；（3）解：设，∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，∴或，当点P在点A左侧时，即，可知点C到的距离小于点B到的距离，∴，不成立；当点P在点B右侧时，即，∵和都以为底，若，则点B和点C到AP的距离相等，即，设直线的解析式为，则，解得：，则设直线的解析式为，将点代入，则，解得：则直线AP的解析式为，将代入，即，解得：或（舍），，∴点P的坐标为．14．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：与x轴相交于A，B两点，与一次函数相交于点A和点C．(1)求点A、B、C三点的坐标；(2)点P是抛物线上的一动点且在直线的上方，过点P作x轴垂线交直线于点D，当点P运动到什么位置时，线段的长度最大？求出此时点P的坐标和线段的最大值；(3)将抛物线L：的图象向下平移得到新的抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积相等，请直接写出，，的坐标．【答案】(1)，，；(2)，最大值为；(3)，，【分析】（1）令抛物线解析式中，解方程可求出点A，B的坐标，联立一次函数解析式和二次函数解析可求得点C的坐标；（2）根据题意设点，则，求得，然后根据二次函数的性质可求得其最大值和点P的坐标；（3）先求出的长，根据求得的长，联立新抛物线与，根据的长确定新抛物线解析式，进而根据有且仅有三个点，，使得，，的面积相等，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标．【详解】（1）解：（1）令，解得或，∴，，令，解得或，∴；（2）根据题意设点，则，∴，∵，∴当时，最大，最大值为，当时，，∴；（3）∵，，∴，∵，∴，设向下平移a（）个单位，得到新的抛物线，则抛物线的解析式为：，令，整理得：，设M，N的横坐标分别为，，则，，如图，过点M，N分别作x，y轴平行线，交于点Q，则是等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，解得；∴抛物线的解析式为：，∵抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值S，设为与抛物线唯一的交点，令，整理得，∴，得，则，即，∴，∴，即；∵向下平移个单位得到，∴向下平移个单位得到，∴与抛物线交于，，令，解得：，∴，，15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线经过点和B（0，3），与轴负半轴交于点，点是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点作于点连接当点在第一象限且时，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）将点和B（0，3）代入，即可求解；（2）先确定再由，则求出，，求出直线的解析式为联立方程组，即可求出．【详解】（1）解：点和B（0，3）代入，，解得，；（2）解：和，，，设直线的解析式为，解得，联立方程组，解得或，点在第一象限，，．16．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，已知抛物线过点，）过定点的直线l：与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．(1)求抛物线的解析式；(2)设点在x轴上运动，连接，作的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线，并证明你的判断；(3)若，设的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；(4)若，在抛物线上是否存在点Q，使得的面积为，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．【答案】(1)(2)点I在抛物线；见解析(3)存在，最小值为(4)存在，点Q的坐标为或或【分析】（1）由题意得：，解得：，即可求解；（2）设，过I作轴于点H，则，，，在中，，即，则，即可求解；（3）中点M的坐标为：，由（2）可知，抛物线上的点到点F的距离等于它到x轴的距离．设抛物线上存在点P，使得周长最小，过点P作轴于点，，是定值，，故当轴时，，此时P、M、共线，周长最小，即可求解；（4），解得：，，即可求解．【详解】（1）（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）如图1，过I作轴于点H，设，则，，，在中，，∴，即，∴点I在抛物线；（3）存在，最小值为，理由如下：若，设的中点为M，则，解得中点M的坐标为：，∴，由（2）可知，抛物线上的点到点F的距离等于它到x轴的距离，设抛物线上存在点P，使得周长最小，如图2，过点P作轴于点，∵，∵是定值，．∴当轴时，，此时P、M、共线，周长最小，∴点，∴，∴周长最小的最小值为：；（4）存在，点Q的坐标为或或，理由如下：如图3，设、，，，将点B的坐标代入得：，∴点，∴，∴，解得：，，当时，解得：，故点Q的坐标为；当时，解得：或6，故点Q的坐标为或．综上，点Q的坐标为或或17．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．(1)求此抛物线的解析式．(2)过点A作交抛物线于点，求四边形的面积．(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以A、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由．【答案】(1)(2)4(3)存在点，使以A、、三点为顶点的三角形与相似，点的坐标为，，【分析】（1）将A和C的坐标代入求解即可；（2）过点作轴于，四边形的面积，由A，B，C三点的坐标，可知是直角三角形，且，则可求出的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线的距离，从而求出的面积，则就求出四边形的面积；（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，和是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．【详解】（1）抛物线过和，解得，；（2）令，，解得，，，，，，，∵，过点作轴于，则为等腰直角三角形，令，则，，点在抛物线上，，解得，（不符合题意），，四边形的面积；（3）假设存在，，．轴于点，．在中，，．在中，，，设点的横坐标为，则，①点在轴左侧时，则，（ⅰ）当时，有，，，即，解得（舍去）（舍去）；（ⅱ）当时有，即，解得：（舍去），，；②点在轴右侧时，则，（ⅰ）当时有，，，，解得（舍去）；；（ⅱ）当时有，即，解得：（舍去），，，存在点，使以A、、三点为顶点的三角形与相似，综上所述，点的坐标为，，．18．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，点D是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接．①若是直角三角形，且时，求P点坐标；②当时，求P点坐标．【答案】(1)(2)①②点的坐标为【分析】（1）由点坐标可得，由可得，即,再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）①求出点的坐标，设根据勾股定理列出方程求出的值即可；②取的中点，作于点，连接过点作于过点作轴于点求得抛物线的顶点的坐标为求得由面积法可得故，即知得，，把点坐标代入求出的值即可【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，把，代入，得：，解得，，∴抛物的解析式为：；（2）∴抛物线的对称轴为直线，是第二象限内抛物线上的一个点，，是直角三角形，且，解得，，，当时，，；②取的中点，作于点，连接过点作于过点作轴于点如图，∵∴抛物线的顶点的坐标为∵，∴为的中点，∴即设则，解得，（与点B重合，舍去）或∴，∴点的坐标为19．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标；(3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)四边形的面积最大为，E点坐标为（－2，－1）(3)存在，P点的坐标为（0，）或（0，）【分析】（1）将点坐标代入，解得，即可得解；（2）先求直线的函数表达式为,设点，结合图形，四边形的面积，运用二次函数的性质求得最值及点E点的坐标；（3）设，作于点G，，求得＝，利用等积法得，解得n，得到点，再利用对称性得另一点【详解】（1）将代入抛物线表达式得，解得，抛物线表达式为；（2）∵抛物线的对称轴为直线，∴，，设直线的函数表达式为，将点坐标代入得，解得，∴直线的函数表达式为，..设，则，∴＝，∴＝，四边形的面积＋当时，四边形的面积最大，最大值为，此时E点坐标为；（3）P点的坐标为或①作于点G，，设，，，，，由的面积，得，即，化简，得，解得，（不符合题意，舍去），∴，②∵点与点P关于原点