四川省绵阳市三台中学校2024届高三下学期三诊模拟考试（第三学月月考）文科数学试题含答案

三台中学2021级三诊模拟考试文科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（下列各题的四个选项中只有一项是最符合题意的，请把它选出来，并把它前面的字母填涂在答题卡相应的位置．每小题5分，共60分）1．设集合，则等于（）A．B．C．D．2．已知复数的实部为2，且,则z虚部为（）A．1B．C．D．53．下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（）A．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里C．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多D．这10城市地铁运营线路条数的极差是124．设,向量,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．记为比数列的前n项和，若,则（）A．5B．4C．3D．26．设m,n为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若,则；②若,则;③若且,则;④若且,则．其中所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．已知,且,则为（）A．第一或二象限角B．第一或三象限角C．第二或三象限角D．第二或四象限角8．以下最符合函数的图像的是（）A．B．C．D．9．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种时该果树的高为,经过2年，该果树的高为,则该果树的高度不低于,至少需要（）A．3年B．4年C．5年D．6年10．已知函数,若a,b都是区间内的数，则使得成立的概率是（）A．B．C．D．11．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．12．设椭圆的左，右焦点分别为,直线l过点,若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且,则C的离心率为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上．13．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为___________．14．在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则的面积为___________．15．在长方体中，,侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为___________．16．若函数存在两个极值点,则的取值范围是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖．随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y表示第x天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：经过统计分析，发现y与x具有线性相关关系．x12345y50607080100（1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据：．18．已知是数列的前n项和，是公差为1的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．19．如图，三棱柱中，平面是上的动点，．（Ⅰ）若点M是中点，证明：平面平面;（Ⅱ）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．20．设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若．（1）求H的方程；（2）过点F作直线l交H于A、B两点，直线（O为坐标原点）与H的准线交于点C,过点A作直线的垂线与H的另一交点为D,直线与交于点G,求的取值范围．21．已知函数．（1）若是R上的单调递增函数，求a的取值范围；（2）当时，对恒成立，求b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．在平面直角坐标系中，点P是曲线（t为参数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段逆时针旋转得到,设点Q的轨迹为曲线．（1）求曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M的坐标为，射线与曲线分另交于A、B两点，求的面积．23．已知函数为的最小值．（1）求m的值；（2）已知实数n,p,q满足，且,证明：．高中2021级高三下第三学月月考测试文科数学参考答案：1-5．DBABC6-10．DBCAC11-12．DA13．14．15．16．12．A【详解】设,由己知可得，,根据椭圆的定义有,又,所以,在中，由余弦定理可得，,即,整理得,解方程得或（舍去），故选：A．16．【详解】由题意知：的定义域为,有两个极值点为的两根，,又,解得：;,；令,则,∴当时，恒成立，在上单调递减，,则的取值范围为．17．（1）;（2）,588名【详解】（1）设第i天的人数为,从这5天中随机抽取2天的情况为：,共10种结果；这5天中只有第4,5天的人数超70人，至少有1天参加抽奖人数超过70人的情况为：,共7种结果；则所求事件的概率为．（2）依题意时时,则此次活动参加抽奖的人数约为．∴线性回归方程,若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖．18．（1）（2）证明见解析【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，因此,即,当时，,经检验，满足上式，所以的通项公式是．（2）由（1）知：，所以．19．（1）见解析（2）【详解】：（Ⅰ）证明：是中点，．平面平面．平面平面,且平面．平面,∴平面平面．（Ⅱ）平面平面平面．∴点M到平面的距离是定值．令点M平分AB,作的中点,连结,过M作,垂足为O,显然C、M、、共面．平面平面．平面．又平面平面,平面,即为所求．．．．∴点M到平面的距离．20．（1）（2）【详解】（1）依题意，点F的坐标为，又,所以点P的横坐标,由抛物线的定义得，所以，所以抛物线H的方程为．（2）由（1）知点F的坐标为，设直线l的方程为，联立，消去x,得,易知，设,则,故，易得直线的方程为,抛物线H的准线方程为：,所以点C的坐标为，因为,所以，即点，所以直线平行于x轴，则直线的斜率为，所以直线的斜率为，其方程为，因为点G的纵坐标为，所以点G的横坐标为,所以，因为，则，所以，即的取值范围是．21．（1）（2）【详解】（1）因为,所以,若是R上的单调递增函数，则在R上有恒成立，即，所以有,令,根据指数函数的性质有：,则,所以,所以，综上，a的取值范围为．（2）当时，令，对恒成立，即对恒成立，，当时，对恒成立，即对恒成立；当时，令，因为是关于k的单调递增函数，令，解得，，此时，不恒成立，即不恒成立；综上，b的取值范围为．22．（1）曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为;（2）【详解】（1）将曲线（t为参数）转化为直角坐标方程，得，又，所以,整理得,即曲线的极坐标方程为,以极点O为