山东省泰安市岱岳区2023-2024学年数学九年级上册期末监测模拟试题含解析

山东省泰安市岱岳区2023-2024学年数学九上期末监测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在正方形ABCD中，AB=5,点M在CD的边上，且DM=2,AAEM与AADM关于AM所在的直线对称,

将AADM按顺时针方向绕点A旋转90。得到AABF,连接EF,则线段EF的长为（）

A.V34B.V29C.2出D.373

2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.好=0B.x2=4C.x2-2x-1=0D.x2+1=0

3.已知。O半径为3,M为直线AB上一点，若MO=3,则直线AB与。O的位置关系为（）

A.相切B.相交C.相切或相离D.相切或相交

4.把抛物线y=-，向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（）

A.j=（x-1）2+2B.j=-（x-1）2+2

C.y=-（x+1）2+2D.j=-（x-1）2-2

5.方程（x-D（x-2）=0的解是（）

A.x=lB.x=2C.x=l或x=2D.x=-1或x=—2

4

6.如图，在。45co中，AEA.BC,垂足为E，ABAE=ADEC,若A8=5,sin8=w，则。E的长为（）

20

T

7.。。的半径为3,点P到圆心。的距离为5,点P与。。的位置关系是（)

A.无法确定B.点P在。。外C.点尸在。。上D.点尸在。。内

8.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概

率为()

1312

A.—B.-C.-D.一

2433

9.如果%2—8%+加=0可以通过配方写成(》—")2=6的形式，那么f+8x+加=0可以配方成()

A.(x—〃+5)-=1B.(x+”)-=6C.(x—〃+5)-=11D.(x+“)-=l

10.如图，AB为。的切线，切点为A,连接49、80,BO与交于点C,延长B。与交于点。，连接A。，

若ZABO=36"，则NADC的度数为()

_A

L1^*****>*^.

°「<__--

A.54°B.36°C.32°D.27°

11.正方形的边长为4,若边长增加x,那么面积增加y,则y关于x的函数表达式为()

A.y=x2+l6B.y=(x+4)2C.=X2+8xD.y=16-4%2

12.某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器240台，设二、三月份的平均增长率为x,则根据题

意列出方程是()

A.10()(1+x)2=240

B.100(1+x)+100(1+x)2=240

C.100+100(1+x)+100(1+x)2=240

D.100(1-x)2=240

二、填空题(每题4分，共24分)

13.方程2/-5了=0的解为.

14.如图，在平面直角坐标系中，菱形0A5C的面积为12,点B在y轴上，点C在反比例函数尸丄的图象上，则A

x

的值为________.

15.若圆锥的母线长为25c机，底面半径为10cm,则圆锥的侧面展开图的圆心角应为_______________度.

16.如图，在△A8C中，ZCAB=65°,在同一平面内，将△48C绕点A逆时针旋转到△AMC，的位置，使得CC//AB,

17.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km,某船从港口A出发，沿北偏东15。方向航行一段距离后到达

B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60。的方向，则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为

弦CDIIAB,ZCOD=90°,则图中阴影部分的面积为.

19.(8分)如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ac2+26+c(其中c为常数，且a<0)与x

轴交于点A,它的坐标是(-3,0),与y轴交于点8,此抛物线顶点C到X轴的距离为4.

I

(1)求抛物线的表达式；

(2)求NC4B的正切值；

(3)如果点P是抛物线上的一点，且=试直接写出点P的坐标.

20.(8分)如图，AB是0O的直径，点C是。。上一点，AC平分NDAB,直线DC与AB的延长线相交于点

P,AD与PC延长线垂直，垂足为点D,CE平分NACB,交AB于点F,交OO于点E.

(1)求证：PC与。O相切；

(2)求证:PC=PF；

4

(3)若AC=8,tanNABC=-,求线段BE的长.

3

21.(8分)如图，已知菱形ABC。，对角线AC、8。相交于点O,AC=6,BD=1,点E是AB边上一点，求作矩形

EFGH,使得点F、G、〃分别落在边8C、CD、4。上.设AE=m.

图①

(1)如图①，当机=1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)写出矩形EFGH的个数及对应的m的取值范围.

22.(10分)定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点.例如,

在函数y=h中，当x=0时，无论左取何值，函数值y=o,所以这个函数的图象过定点(0,0).

求解体验

(1)①关于X的一次函数y=kx+3k(k。0)的图象过定点.

②关于X的二次函数y=kx2-H+2020依丰0）的图象过定点和.

知识应用

（2）若过原点的两条直线OA、OB分别与二次函数y=万£交于点A（九5加2）和点B（n,-"）（根〃<0）且

OAVOB,试求直线A3所过的定点.

拓展应用

（3）若直线。。：丁=依+2左+5与拋物线y=r交于。卜工2）、<0）两点，试在拋物线=/上找一

定点E，使NCEO=90°,求点E的坐标.

23.（10分）如图，已知AABC,以AC为直径的。。交AB于点D,点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F,

且BF=BC,

（1）求证：BC是。O的切线;

（2）若。。的半径为2,—求CE的长.

AB5

24.（10分）如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1,0）,以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D是x

轴正半轴上一动点（OD>1）,连接BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心，直

线MA交y轴于点N.如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.

（1）试找出图1中的一个损矩形；

（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；

（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明

理由；

（4）在图②中，过点M作MG丄y轴于点G,连接DN,若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标.

25.(12分)如图，在A4BC中，NC=90°,以8c为直径的。交4?于。，点E在线段AC上，且ED=EA.

(1)求证：七£＞是_的切线.

(2)若EO=G,NB=60°,求。的半径.

26.如图，直径为A5的。。交H/ABCZ)的两条直角边8C,CO于点E,F,且浒=甑，连接5F.

(1)求证C。为。。的切线；

(2)当CF=1且NO=30。时，求。。的半径.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】连接BM.先判定AFAE纟厶乂厶1！(SAS),即可得到EF=BM.再根据BC=CD=AB=LCM=2,利用勾

股定理即可得到，RtABCM中，BM=734＞进而得出EF的长.

【详解】解：如图，连接BM.

■:AAEM与AADM关于AM所在的直线对称，

，AE=AD,ZMAD=ZMAE.

•.,△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90。得到AABF,

；.AF=AM,NFAB=NMAD.

.,.ZFAB=ZMAE

/.ZFAB+ZBAE=ZBAE+ZMAE.

.,.ZFAE=ZMAB,

.,.△FAE^AMAB(SAS).

.,.EF=BM.

,•,四边形ABCD是正方形，

.*.BC=CD=AB=1.

VDM=2,

.,.CM=2.

在RtABCM中，BM=yjBC2+CM2=^52+32=，

.，.EF=A，

故选：A.

【点睛】

本题考査正方形的性质、三角形的判定和性质，关键在于做好辅助线，熟记性质.

2、A

【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，逐一判断选项，即可.

2

【详解】A.x=0,解得：xi=x2=0,故本选项符合题意;

B.好=4,解得：xi=2,X2=-2,故本选项不符合题意；

。妙-2丫-1=0,A=(-2)2-4x1x(-1)=8>0,有两个不相等的根，故不符合题意；

D.x2+1=0,方程无解，故不符合题意.

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键.

3、D

【解析】试题解析“因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于1.

此时和半径1的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能.

故选D.

点睛：直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若dVr,则直线与圆相交；若(1=一则直线于圆相切；若d>r,则直

线与圆相离.

4、D

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.

【详解】抛物线y=-V向右平移1个单位，得：y=-(x-1)

再向下平移1个单位，得：j=-(x-1)'-1.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.

5、C

【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.

【详解】解：•••(-2)=0,

Ax—1=0或X—2=0,

解得：x=l或x=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.

6、A

【分析】根据题意先求出AE和BE的长度，再求出NBAE的sin值，根据平行线的性质得出NADE=NBAE,即可得

出答案.

4

【详解】VAB=5,sin5=-,AEA.BC

:.AE=AB^sinB=4

BE=〃B2_4E2=3

DCO

AsinZBAE=一=-

AB5

•••ABCD是平行四边形

；.AD〃BC

:.ZADE=ZDEC

XVZBAE=ZDEC

二ZBAE=ZADE

4/73

AsinZADE=sinNBAE=—=-

DE5

A£>£=—

3

故答案选择A.

【点睛】

本题考査的是平行四边形的综合，难度适中，涉及到了平行四边形的性质以及三角函数值相关知识，需要熟练掌握.

7、B

【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，dVr（d即点到圆心的距离，i•即圆的半径）.

【详解】解：•••OP=5>3,

.•.点P与。O的位置关系是点在圆外.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键.

8、B

【分析】直接利用概率公式求解；

33

【详解】解：从袋中摸出一个球是红球的概率=7一=一；

3+14

故选B.

【点睛】

考査了概率的公式，解题的关键是牢记概率的的求法.

9、B

【分析】根据配方法即可求出答案.

【详解】•••x2-8x+m=0可以通过配方写成(x-n)2=6的形式，

x2-8x+16=16-m,x2-2nx+n2=6,

.*.n=4,m=10,

.*.x2+8x+m=x2+8x+10=0,

:.(x+4)2=6,即(x+/y=6

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型.

10、D

【分析】由切线性质得到NAO3,再由等腰三角形性质得到NQ4D=NOD4,然后用三角形外角性质得出/ADC

【详解】切线性质得到NBAO=90°

厶08=90"-36"=54°

QOD=OA

.'.ZOAD^ZODA

QZAC®=ZOAD+ZODA

ZADC=ZADO=2T

故选D

【点睛】

本题主要考査圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键

11、C

【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可.

【详解】解：•••新正方形的边长为x+4,原正方形的边长为4,

新正方形的面积为(x+4)2,原正方形的面积为16,

：.y=(x+4)2-16=x2+8x,

故选：C.

【点睛】

本题考査列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键.

12、B

【分析】设二、三月份的平均增长率为x,则二月份的生产量为100x(1+x),三月份的生产量为l()0x(1+x)(1+x),

根据二月份的生产量+三月份的生产量=1台，列出方程即可.

【详解】设二、三月份的平均增长率为x,则二月份的生产量为100x(1+x),三月份的生产量为100x(l+x)(1+x),

根据题意，得100(1+x)+100(1+x)2=1.

故选B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设出未知数，正确找出等量关系是解决问题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

八5

13、无।=0,x2=—

【分析】因式分解法即可求解.

【详解】解：2_?-5X=0

x(2x-5)=0,

%=0,”|

【点睛】

本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解，属于简单题，熟悉解题方法是解题关键.

14、-6

【解析】因为四边形OABC是菱形，所以对角线互相垂直平分，则点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，设点

kk2k2K

C的坐标为(x,—),则点A的坐标为(一芻一),点B的坐标为(0,—),因此AC=-2xQB=p,根据菱形的面积等于对角线

xxxX

乘积的一半得：

12k

S菱形OABC=彳x(-2x)x—=12，解得k=-6.

乙x

15、144

【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长列式计算，弧长公式为‘建，圆周长公式为2万「.

180

【详解】解：圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n。，根据题意得,

np'25

----------=2n?10,

180

.\n=144

•••圆锥的侧面展开图的圆心角度数为144。.

故答案为：144。.

【点睛】

本题考査圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面圆周长.记准公式及有

空间想象力是解答此题的关键.

16、50°

【解析】由平行线的性质可求得NC,CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC0然后依据三角形的性质可知NAC/C的

度数，依据三角形的内角和定理可求得NCAC/的度数，从而得到NBAB’的度数.

解：TCC/〃AB,

，NC/CA=NCAB=65。，

•.•由旋转的性质可知：AC=AC。

.•.NACC^NACkS。.

.•.NCACM80。-65°-65°=50°.

...NBAB/=50°.

17、1^+1

【分析】作AD丄OB于点D,根据题目条件得出NOAD=60。、NDAB=45。、OA=4km,再分别求出AD、OD、BD

的长，从而得出答案.

【详解】如图所示，过点A作AD丄OB于点D,

由题意知，ZAOD=30°,OA=4km,

则NOAD=60。，

.,.ZDAB=45°,

在RtZkOAD中，AD=OAsinZAOD=4Xsin300=4X—=1(km),

2

OD=OAcosZAOD=4Xcos30°=4X4=16(km),

2

在RtZ\ABD中，BD=AD=lkm,

.*.OB=OD+BD=1V3+1(km),

故答案为：16+1.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形,并熟练运用三角函数进行求解.

兀

18、

4

9()力■X12兀71

【解析】解：,•,弦CD//AB9S^ACD=SAOCD,S阴影=S扇形COD---------=—・故答案为—・

36044

三、解答题(共78分)

19、(1)y=-x2-2x+3；(2)-；(2)点P的坐标是(1,0)或卜§,互J

【分析】(1)先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,将点(-2,

0)代入求得a的值即可；

(2)先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理

可证明NABC=90°,最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；

(2)记抛物线与x轴的另一个交点为D.先求得D(L0),然后再证明NDBO=NCAB,从而可证明NCAO=ABD,

故此当点P与点D重合时，ZABP=ZCAO；当点P在AB的上时.过点P作PE〃AO,过点B作BF〃AO,贝(]PE〃BF.先

证明NEPB=NCAB,贝tanNEPB=l,设BE=t,贝UPE=2t,P(-2t,2+t),将P(-2t,2+t)代入抛物线的解析式可

3

求得t的值，从而可得到点P的坐标.

【详解】解：(1)抛物线的对称轴为x=-丄=〃.

2a

Va<0,

・•・抛物线开口向下.

又•.•抛物线与X轴有交点，

.,.C在x轴的上方，

二抛物线的顶点坐标为(-1,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,将点(-2,0)代入得：4a+4=0,解得：a=-l,

•••抛物线的解析式为y=-x2-2x+2.

(2)将x=0代入抛物线的解析式得：y=2,

AB(0,2).

VC(-1,4)、B(0,2)、A(-2,0),

:.BC=C，AB=20,AC=275>

.\BC2+AB2=AC2,

/.ZABC=90°.

AtanZC4B=—

AB3

即NC4B的正切值等于L

3

(2)如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D.

•••点D与点A关于x=-l对称，

AD(1,0).

1

/.tanZDBO=—.

3

又•由(2)可知：tanNCAB=l.

3

.,.ZDBO=ZCAB.

又：OB=OA=2,

.".ZBAO=ZABO.

.•.ZCAO=ZABD.

工当点P与点D重合时，ZABP=ZCAO,

AP(1,0).

如图2所示：当点P在AB的上时.过点P作PE〃AO,过点B作BF〃AO,则PE〃BF.

VBF/7AO,

.\ZBAO=ZFBA.

XVZCAO=ZABP,

AZPBF=ZCAB.

又TPE〃BF,

ZEPB=ZPBF,

AZEPB=ZCAB.

1

.,.tanNEPB=—.

3

设BE=t,贝!|PE=2t,P(-2t,2+t).

将P(-2t,2+t)代入抛物线的解析式得：y=-x2-2x+2得：-9t?+6t+2=2+t,解得t=0(舍去)或t=*.

9

.z532、

.•P(—,—).

39

532

综上所述，点P的坐标为P(1,0)或P

39

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、

等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含t的式子表示点P的坐标是解题的关键.

20、(1)见解析；(2)见解析；(3)BE=5血.

【分析】(D连接OC,根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到NDAC=NOCA,得到OC〃AD,根据平行线

的性质得到OC丄PD,根据切线的判定定理证明结论；

(2)根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明NPFC=NPCF,根据等腰三角形的判定定理证明；

(3)连接AE,根据正切的定义求出BC,根据勾股定理求出AB,根据等腰直角三角形的性质计算即可.

【详解】(1)证明：连接OC,

TAC平分NDAB,

；.NDAC=NCAB,

VOA=OC,

.*.ZOCA=ZCAB,

.,.ZDAC=ZOCA,

：.OC//AT),又AD丄PD,

AOCIPD,

.•.PC与OO相切；

(2)证明：；CE平分NACB,

；.NACE=NBCE,

AAE=BE'

/.ZABE=ZECB,

VOC=OB,

.,.ZOCB=ZOBC,

TAB是。O的直径，

AZACB=90°,

.e.ZCAB+ZABC=90°,

VZBCP+ZOCB=90°,

AZBCP=ZBAC,

VZBAC=ZBEC,

AZBCP=ZBEC,

VZPFC=ZBEC+ZABE,ZPCF=ZECB+ZBCP,

AZPFC=ZPCF,

APC=PF；

(3)解：连接AE,

4

在RtAACB中，tanZABC=-,AC=8,

3

/.BC=6,

由勾股定理得，AB=>JAC2+BC2=>/82+62=10>

AE=BE9

AAE=BE,

则AAEB为等腰直角三角形,

：.BE=2L_AB=572・

【点睛】

本题考査的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数.熟练运用这些性

质是解题的关键.

99

21、（1）见解析；（2）①当机=0时，存在1个矩形EFGH；②当OVmV《时，存在2个矩形EPGH；③当机=g时,

Q1Q1Q

存在1个矩形EFG"；④当不＜，応不时，存在2个矩形EFGH；⑤当不＜m＜5时，存在1个矩形EFG"；⑥当山

=5时，不存在矩形EFG”.

【分析】（1）以O点为圆心，OE长为半径画圆，与菱形产生交点，顺次连接圆O与菱形每条边的同侧交点即可;

（2）分别考虑以O为圆心，OE为半径的圆与每条边的线段有几个交点时的情形，共分五种情况.

【详解】（1）如图①，如图②（也可以用图①的方法，取。。与边BC、CD、40的另一个交点即可）

129

（2）丁。到菱形边的距离为行，当。。与AB相切时AE=g,当过点A,C时，。。与AB交于A,E两点，此时

918

AE=-X2=y,根据图像可得如下六种情形：

①当机=0时，如图，存在1个矩形EFG”；

918

④当mV/nWy时，如图，存在2个矩形EFGH；

⑥当机=5时，不存在矩形EFG”.

【点睛】

本题考査了尺规作图，菱形的性质，以及圆与直线的关系，将能作出的矩形个数转化为圆。与菱形的边的交点个数,

综合性较强.

22、(1)①(—3,0)；②(1,2020),(0,2020)；(2)直线AB上的定点为(0,2)；(3)点E为(2,4)

【分析】⑴①由y=0+3&由*0)可得y=k(x+3),当x=-3时，y=0,故过定点(-3,0),即可得出答案.

②由旷=心-衣+2020=左，-％)+2020,当x=0或x=l时，可得y=2020,即可得出答案.

(2)由题意可得，直线AB的函数式丫=--(m+n)x+-mn,根据相似三角形的判定可得AAMONONB,

22

进而根据相似三角形的性质可得;〃?〃=一2,代入即可得出直线AB的函数式y=go〃+〃)x+2,当x=0时，y=-2,

进而得出答案.

(3)由。卜,。?)、。(4///<0)可得直线8的解析式为〉=9+。)%—〃，又由直线CD:y="+2k+5,

可得c+d和cd的值，最后根据相似三角形的性质以及判定，列出方程，即可得出E的坐标.

【详解】解：⑴①(-3,0)；②(1,2020),(0,2020).

提示；①丁=辰+3攵=依％+3),当x=—3时，y=0,故过定点(—3,0).

@y=kx2-kx+2020=k(x2-x)+2020,当x=0或1时，y=2020,

故过定点(1,2020),(0,2020).

(2)设直线AB的解析式为丫=依+"将点45的坐标代入并解得直线AB的解析式为y=+〃)x—；加〃.

如图，分别过点作x轴的垂线于点

/.ZAMO=ZONB=90°,NAQM+ZMAO=90°.

'：OA±OB,

•••ZAOM+ZBQN=90°,

:.4MAO=NBON,

二MMOAOA®,

.AMOM

Itl.1

即2—=-r—>解得一〃?〃=一2,

〃丄*2

2

故直线的解析式为y=：（而++2.

当x=0时，y=2,故直线A3上的定点为（0,2）.

（3）•.•点C,。的坐标分别为（c,c，，（d,d2）,

同（2）可得直线CD的解析式为y=（c+d）x-cd,

,:y=kx+2k+5,

/•c+d=k,cd=—2k—5.

设点E（r,r），如图，过点E作直线///x轴，过点C,。作直线/的垂线与直线/分别交于点G,〃.

.CGGE

EHDH

化简得产+（c+d）t+cd=,

即t2-4+（t-2）k=0,

当，=2时，上式恒成立，

故定点E为（2,4）.

【点睛】

本题主要考察二次函数的综合运用，熟练掌握并灵活运用一次函数、相似三角形的判定以及性质是解题的关键.

23、（1）证明见详解；（2）延.

【分析】（1）连接AE,求出NEAD+NAFE=90。，推出NBCE=NBFC,NEAD=NACE,求出NBCE+NACE=90。,

根据切线的判定推出即可.

Be3

(2)根据AC=4,——=-,求出BC=3,AB=5,BF=3,AF=2,根据NEAD=NACE,ZE=ZEffiAAEF^ACEA,

AB5

推出EC=2EA,设EA=x,EC=2x,由勾股定理得出f+4/=馬，求出即可.

【详解】

(1)答：BC与。O相切.

证明：连接AE,

VAC是。O的直径

.,.ZE=90°,

.*.ZEAD+ZAFE=90o,

VBF=BC,

二NBCE=NBFC=NAFE,

•••E为弧AD中点，

.*.ZEAD=ZACE,

ZBCE+ZACE=ZEAD+ZAFE=90°,

；.AC丄BC,

VAC为直径，

...BC是。O的切线.

(2)解：丁。。的半为2,

.,.AC=4,

..5£_3

•AB5

/.BC=3,AB=5,

/.BF=3,AF=5-3=2,

VZEAD=ZACE,NE=NE,

.,.△AEF^>ACEA,

*_E_A____A_F—----2-------\

"EC~AC~2

；.EC=2EA,

设EA=x,则有EC=2x,

由勾股定理得：/+©2=16，

.•.%=逑(负数舍去)，

5

^CE=2x=­.

5

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.

24、(1)详见解析；(2)详见解析：(3)N点的坐标为(0,-1)；(4)D点坐标为(3,0).

【解析】试题分析：(1)根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；

(2)证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；

(3)利用同弧所对的圆周角相等可得NMAD=NMBD,进而得到OA=ON,即可求得点N的坐标；

(4)根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解.

(1)四边形ABMD为损矩形；

(2)取BD中点H,连结MH,AH

•..四边形OABC,BDEF是正方形

...△ABD,△BDM都是直角三角形

11

.♦.HA=-BDHM=-BD

22

1

:.HA=HB=HM=HD=-BD

2

损矩形ABMD一定有外接圆

(3)..•损矩形ABMD一定有外接圆OH

:.ZMAD=ZMBD

V四边形BDEF是正方形

二ZMBD=45°

:.ZMAD=45°

:.ZOAN=45°

VOA=1

/.ON=1

，N点的坐标为(0,-1)

⑷延长AB交MG于点P,过点M作MQ丄:匚轴于点Q

设MG=X,则四边形APMQ为正方形

.•.PM=AQ=v-l.*.OG=MQ=X-1