2022-2023学年山西省吕梁市交口县八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年山西省吕梁市交口县八年级（下）期末数学试卷

1.若二次根式在实数范围内有意义，则。的取值范围是（）

A.a>4B.a<4C.a<—4D.a>—4

2.点（m,5）在函数y=2x+l的图象上，则根的值是（）

A.-1B.1C.—2D.2

3.某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表:

尺码3536373839

平均每天销售数量（双

281062

）

该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是（）

A.平均数B.方差C.众数D.中位数

4.如图，在等边△ABC中，。、E分别是边4B、BC的中点，DE=2,则△力BC的周长

为（）

A.9

B.12

C.16

D.18

5.如图，在矩形ABCO中，对角线AC与8。相交于点O,若ZBAC=55。,

则乙40B的度数是（）

A.55°B.50°C.70°D.80°

6.我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个

直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被记载于下列哪部著名

数学著作中（）

A.《周髀算经》

B.《九章算术》

《海岛算经》

D.《几何原本》

7.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.fc<0

B.fa=-1

C.y随x的增大而减小

D.直线y=kx+b与两坐标轴围成的图形面积为2

8.小明调查了班里40名同学本学期购买课外书的本数，并将结果绘制成了如

图所示的扇形统计图.则下列说法正确的是（）

A.的值为55

B.众数为4

C.平均数为3

D.中位数为3

9.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=一・%+3交苫轴于点4,交y轴于点8,以

点A为圆心，A8长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C,则直线BC的解析式为（）

A.y=3%+3

B.y=4%+3

C.y=4x+4

D.y=-4x+4

10.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,P是网格线的交点，则4PA8+

乙PBA=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

11.若一个长方形的长为2V~^cni，宽为2A/~^CTH，则它的面积为cm2.

12.命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是.

13.2022年“世界杯”的成功举办，引起学生对足球的极大兴趣.某校开展了足球知识比赛，经过几轮筛选,

八年级(1)班甲、乙、丙、丁四名同学的平均成绩(单位：分)及方差如下表：

甲乙丙T

平均成绩/分96989896

方差0.340.340.560.39

如果要选出一名成绩较好且发挥稳定的同学代表班级参加比赛，那么应选择同学.

14.如图,已知函数y1=ax+b和丫？=依的图象相交于点P(-4,-2),则

不等式ax+b<kx的解集是.

15.如图，一张直角三角形纸片ABC,两直角边AC=4,BC=8,将△4BC沿直

线折叠，使点8与点A重合，折痕为OE,则力E的长为.

16.计算：

(1)>^32+3);

(2)(>TL3-2)2,+<,T__2+6j1_7亨

17.端午节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲种水果和乙

种水果的进价与售价如下表所示：若超市购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水

果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

水果单价甲乙

进价(元/千克)1620

售价(元/千克)2025

18.现如今，环保这一理念越来越融入到我们的生活中.为了加强学生的环保意识，某中学举办我是环保小达

人的演讲比赛，比赛分为入围赛和决赛两个赛段.全校学生积极响应，全部报名参加入围赛，随机抽取了若

干名学生，调查他们每天课后练习演讲的时间，现将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表.请根据统计

图表提供的信息，回答下列问题：

(1)将下面的统计表和条形统计图补充完整;

组别练习时间(分钟)频数(人)百分比

A0<%<3050—

B30<%<60—40%

C60<%<904020%

D%>90——

(2)若该校学生有3000人,请你估计每天课后练习时间超过60分钟的学生有多少人？

(3)演讲决赛时，总成绩由内容、表达、风度、印象四部分组成，并按3：4：2：1计算.进入冠亚军争夺的

张明和赵亮的各项得分如下表：

内容表达风度印象

张明85分78分80分90分

赵亮75分82分85分92分

总成绩高的人为冠军，请你通过计算判断他俩谁获得冠军？

19.如图，△力BC中，乙4BC=90。，过点8作4c的平行线，与/B4C的平分线交于点。，点E是AC上一点,

BEJ.40于点凡连接DE.

(1)求证：四边形ABDE是菱形；

(2)若48=2,2.ADC=90",求的长.

图1图2

20.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用

品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y*元，去乙商店购买实付Vz元，其函数图象如

(I)分别求y砂y乙关于X的函数关系式；

(2)两图象交于点A,求点A坐标：

(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

21.请阅读下列材料，并完成相应的任务.

勾股定理的证明

2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴近人们的生活

实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的证明，新的证法不断出现.其

中，美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他将两个完全相同的直角三角形拼成

一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程：

如图：

b

利用整体法，梯形的面积为S=1(a+b)(a+b)-ab+^(a2+b2)；

利用分割法，梯形的面积为S=^ab+^c-c+^ab=ab+^c2；

(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分.

(2)如图，在△ABC中，Z/4=60°,/.ACB=75°,CDVAB,AC=4,求BC的长.

22.综合与实践

问题情境：

数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动.将正方形的一个顶点与

等腰直角三角板的斜边的中点重合，摆放的位置不同一些线段就会出现一定的数量关系.

知识初探：

将等腰直角三角板ABC与正方形OOEF如图1摆放，使正方形OOEF的顶点。与等腰直角三角板斜边A8

的中点。重合，且。。边经过点C,请你写出OC与B尸的数量关系和位置关系：.

类比再探：

如图2,正方形OOEF的顶点。与等腰直角三角板斜边A8的中点O重合，0。边不经过点C,连接C£>,

BF,此时OC与8尸的又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

拓展延伸：

如图3,正方形ODEF的顶点。与等腰直角三角板斜边AB的中点O重合,正方形OOEF的对角线交于点G,

连接CD,BD,取8。的中点”，连接GH,请你直接写出GH与之间的数量关系与位置关系.

图3

23.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线k：y=2x-l与x轴，y轴分别交于点A,B,直线y=k%+b与x

轴，y轴分别交于点P，C(O,1),两条直线交于点Q,且点。的横坐标为上连接4c.

(1)求直线％的函数解析式：

(2)求△ACD的面积；

(3)若点E在直线匕上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B,C,E,F为顶点的四边形是

矩形？若存在，请直接写出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••二次根式在实数范围内有意义，

a-4>0,

解得：a24.

故选：A.

根据二次根式有意义的条件，即可求解.

本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：把点(m,5)代入函数y=2x+1,

得2m+1=5,

解得：m=2.

故选：D.

利用一次函数图象上点的坐标特征.把点(犯5)代入函数解析式中求皿即可.

本题考查一次函数图象上点与函数解析式的关系，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直

线的解析式.

3.【答案】C

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数.

故选：C.

平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量.销量

大的尺码就是这组数据的众数.

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.

4.【答案】B

【解析】解：E分别是边A8、BC的中点，DE=2,

OE是△ABC的中位线，

DE//AC,2DE=AC=4,

ABC是等边三角形，

△力BC的周长=3AC=12,

故选：B.

根据等边三角形的性质和三角形中位线定理解答即可.

此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出AC的长解答.

5.【答案】C

【解析】解：•••四边形ABC。是矩形，

・•・0A=0C,OB=0D,AC=BD,

:、0A—0B,

・・・Z.OAB=Z.ABO=55°,

・・・Z,AOB=180°-2X55°=70°；

故选：C.

根据矩形的性质，证出。4=。8,得出乙。/8=乙48。，再由三角形内角和定理即可得出答案.

本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；证出。4=OB是解题关键.

6.【答案】4

【解析】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三,

股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》

中.

故选：A.

加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处.

本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则k>0,故此选项不符合题意；

B、图象与），轴交于点故b=-l,故此选项符合题意；

C、k>0,y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；

。、直线y=kx+b与两坐标轴围成的图形面积为^x2xl=l,故此选项不符合题意；

故选：B.

直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案.

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键.

8.【答案】D

【解析】解：4、机的值为100-20-25-10=45,故不符合题意；

B、这40名同学购买课外书的众数为3,故不符合题意；

C、购买课外书1本有40x25%=10（人），

购买课外书2本有40x10%=4（人）,

购买课外书3本有40x45%=18（人），

购买课外书4本有40x20%=8（人），

这40名同学购买课外书的平均数为表x（10x1+4x2+18x3+8x4）=2.6,故不符合题意；

。、这40名同学购买课外书的中位数为亨=3,故符合题意.

故选：D.

根据扇形图中的数据逐项判断即可.

本题主要考查扇形统计图，从扇形统计图中得出解题所需数据及众数、中位数、平均数的定义是解题的关

键.

9.【答案】9

【解析】解：在直线y=—；x+3中，令y=0,求得x=4；令x=0,求得y=3,

二点A的坐标为(4,0),点8的坐标为(0,3),

BO=3>AO=4,

AB=V32+42=5.

•••以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C,

CO=5—4=1,

则点C的坐标为：(一1,0),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

把8(0,3),C(-l,0)代入得已：工=0,

解得｛消，

二直线BC的解析式为y=3x+3.

故选：A.

先求得4、B的坐标，然后利用勾股定理得出AB的长，再利用圆的性质得出C。的长，即可得出C的坐标，

然后根据待定系数法即可求得直线2C的解析式.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用等，求得C

的坐标是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：如图，延长AP交格点于。，连接B。，

则P。2=BD2=I2+22=5,PB2=I2+32=10,

•••PD2+BD2=PB2,

:•乙PDB=90°,则ADPB为等腰直角三角形，

.1.乙DPB=45°,

Z.PAB+乙PBA=4DPB=45°,

故选：B.

延长AP交格点于。，连接8。，根据勾股定理得PD2=BD?=5,PB2=10,求得Pl+B/)2=PB2,于

是得到NPDB=90。，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论.

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出

辅助线是解题的关键.

11.【答案】12c

【解析】解：2，％x2，？

=4V-18

=127~^(即2).

故答案为：12，工.

根据长方形的面积计算方法列式计算即可.

本题考查了二次根式的应用，解题的关键是列式后正确的进行二次根式的运算.

12.【答案】四条边都相等的四边形是菱形

【解析】解：命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，

故答案为：四条边都相等的四边形是菱形.

根据互逆命题的概念解答.

本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题

的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

13.【答案】乙

【解析】解：••・乙和丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大，

二应从乙和丙同学中选，

・••乙同学的方差比丙同学的小，

••・乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学.

故答案为：乙.

先比较平均数得到同学乙和丙同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学

去参赛.

本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离

散程度越小，稳定性越好是关键.

14.【答案】x>-4

【解析】解：由图象知：不等式ax+b〈质的解集是x>—4,

故答案为：x>—4.

函数月=ax+b和％=依的图象相交于点P(-4,-2),结合图象即可得出答案.

本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不

等式的关系.

15.【答案】<5

【解析】解：•••/?1△ABC的两直角边AC=4,BC=8,

“=90°,

•••AB=VAC2+BC2=V424-82=4y/~5,

由折叠得AD=BD,AE=BE=^AB=2>J_5,^AED=乙BED=gX180°=90°,

CD=8—BD=8—AD>

AC2+CD2=AD2,

...42+(8-AD)2=AD2,

解得4。=5,

222

...DE=VAD—AE=J52—(2V-5)=A/-5>

故答案为：V-5.

由AC=4,BC=8,AC=90°,根据勾股定理得AB=VAC2+BC2=4底,由折叠得AO=BD,AE=BE=

2222

2AT51/.AED=乙BED=90。,所以CD=8—BD=8—4D,由AC?+CD=AD,得42+(8-AD)=AD,

求得4。=5,则DE=7AU_AE2=R,于是得到问题的答案.

此题重点考查勾股定理、轴对称的性质等知识，根据勾股定理正确地列出所需要的方程是解题的关键.

16.【答案】解：(1)原式=+2-3C

=\T~2+2:

(2)原式=3-4<3+4+2<3+2V-3

=7.

【解析】(1)先进行二次根式的乘法运算，然后把中化为最简二次根式后合并即可；

(2)先根据完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键.

17.【答案】解：设超市购进甲种水果x千克，总利润为卬元.

根据题意，得：x>3(200-x),解得：x>150,

根据题意,得：w=(20-16)x+(25-20)(200-x)=-x+1000,

vk=-1<0,

•••W随着X的增大而减小，

当x=150时，w取得最大利润，最大利润为—150+1000=850(元).

200-150=50(千克)，

当超市购进甲种水果150千克，乙种水果50千克时，总利润最大，最大利润为850元.

【解析】设超市购进甲种水果x千克，总利润为w元.根据题意求得x的范围，w=-x+1000,根据一次

函数的性质即可求解.

本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

18.【答案】25%803015%

【解析】解：(1)总人数为：40^-20%=200,则A的百分比为：100%=25%；

B组的频数为200x40%=80；

。组的频数为200-50-80-40=30,百分比为募X100%=15%,

补全统计图与统计表如下：

组别练习时间(分钟)频数(人)百分比

A0<%<305025%

B30<%<608040%

C60<x<904020%

D%>903015%

故答案为：25%,80,30,15%；

(2)3000x(20%+15%)=1050(A),

答：估计每天课后练习时间超过60分钟的学生有1050人.

85x3+78x4+80x2+90x1

(3)张明的总成绩为:=81.7(分),

3+4+2+1

75x3+82x4+85x2+92x1

赵亮的总成绩为:=81.5(分),

3+4+2+1

•・・81.7>81.5,

・•・张明同学获得冠军.

(1)根据C组频数与百分比求得总人数，进而补全统计图与统计表；

(2)根据样本估计总体，用3000乘以C。组的占比即可求解；

(3)分别计算两人成绩的加权平均数，比较大小即可求解.

本题考查了频数分布表与频数分布直方图，样本估计总体，求加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关

键.

19.【答案】⑴证明：・・・AD平分乙BAE,

・・・Z.BAF=Z-EAF,

BE1ADy

・•・乙AFB=/L.AFE=90°,

・•・/.ABE=乙4EB,

・•・AB—AE,

vBD//AC,

・••(BDF=Z.EAF,

・•・Z.BAF=乙BDF,

，AB=BD,

・•・BD=AE,

・・•BD//AE

・・・四边形48OE是平行四边形，

vAB=BD,

・・・口A8OE是菱形；

(2)解：・・・四边形A3OE是菱形，

・•・DE=AE=AB=2,

・•・Z-EAD=Z.EDA,

•・・Z,ADC=90°,

・・・乙EDC+匕EDA=90°,Z.EAD+Z.ECD=90°,

・•・乙EDC=乙ECD,

.・・DE=EC=2,

・・・AC=AECE=4,

vZ-ABC=90°,

ABC=VAC2—AB2=V42-22=27-3.

【解析】(1)先证BD=/E,再证四边形ABOE是平行四边形，然后由=即可得出结论；

(2)由菱形的性质得DE=AE=4B=2,再证=则DE=EC=2,得4C=AE+CE=4,然

后由勾股定理求出8C的长即可.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

20.【答案】解：(1)由题意可得，

y甲=0.85%,

当0工％W300时，》乙=X,

当％>300时，y/=300+(%-300)x0.7=0.7%+90,

则y.={X(0《X4300).

人沙乙to.7x+90(%>300),

(2)令0.85%=0.7x4-90,

解得x=600,

将x=600代入0.85x得，0.85x600=510,

即点A的坐标为(600,510)；

(3)由图象可得，

当x<600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当久=600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合

算；当％>600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算.

【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以分别写出y物y乙关于X的函数关系式；

(2)根据(1)中的结果和题意，令0.85x=0.7x+90,求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点4的坐

标.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

21.【答案】(1)解：利用整体法，梯形的面积为S=：(a+b)(a+b)=ab+；(。2+力2),

利用分割法，梯形的面积为S=^ab+-c+^ab=ab+1c2.

将两式联立得，ab+1(a2+62)=aft+jc2.

EP1(a2+b2)=1c2,

•••a2+b2=c2.

(2)解：•••CD_LAB,

•••乙ADC=乙BDC=90°,

•••44=60°,

4ACD=30°,

AC=4,

•1■AD=2,

在Rt△ACO中，

CD=VAC2-AD2=742-22=2<3>

•••LACB=75°,

乙DCB=A.ACB-Z.ACD=45",

•••4B=45",

•••BD=CD=2V-3，

在Rt△BCD中，

BC=VBD2+CD2=J(2^^)2+(2<3)2=2<6.

【解析】(1)利用整体法和分割法求梯形面积，两式联立.解答即可；

(2)解直角三角形即可得到结论.

本题考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形，正确的理解题意是解题的关键.

22.【答案】DC=BF,DC1BF

【解析】解：知识初探：连接OF,

A

图1

•••四边形OQCF是正方形，

"FD=45°,0D=OF,

•••△ABC是等腰直角三角形，。为A8的中点,

Z.OBC=45°,0C=OB,Z.COB=90°,

・•・Z.OBC=Z.OFDi

・・•BC//DF,

，•而=而，

:・CD=BF,DCA.BF,

故答案为：DC=BF,DC1BF；

类比再探：DC=BF,DC1BF,理由如下：

ZT

图2

连接OC,

・••点O是等腰直角△力BC斜边的中点,

OC=^AB=OB,乙COB=90°,

•••四边形ODE尸是正方形，

OF=OD,Z.FOD=90°,

•••乙FOB=4COB+NCOF,乙COD=£.FOD+乙COF,

・•・乙FOB=乙COD，

•MBOFaCOD(SAS),

，DC=BF,Z1=z2,

・・・(FMD=乙FOD=90°,

・・・DC1BF；

拓展延伸：GH=；DC,GH1DC,理由如下:

连接8F,

图3

由类比探究同理可得，CD=BF,CDLBF,

•••”为B。的中点，G为。尸的中点，

GH为XBOF的中位线，

：.GH=a1BF,GH//BF,

GH=^1DC,GH1DC.

知识初探：连接。凡利用平行线分线段成比例定理可得答案；

类比再探：连接。C,利用SAS证明△B。尸四△C。。，得DC=BF,Zl=Z2,则NFM。=NF。。=90。，进

而解决问题；

拓展延伸:连接BF,由类比探究同理可得,CD=BF,CD1BF,再证明GH为ABDF的中位线，得GH=

GH//BF,从而得出答案.

本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，全

等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，证明AB。尸丝△C。。是解决问题的关键.

23.【答案】解：（1）•••点力