2023-2024学年天津蓟州区一中高二数学上学期第一次月考卷附答案解析

2023-2024学年天津蓟州区一中高二数学上学期第一次月考卷

(试卷满分为150分，时间为120分钟)

一.选择题(共12小题，每题5分，共60分)

1.直线x+6y-i=°的倾斜角为

A.30。B.60°c.120°D.150。

2.已知直线4：x+“y_i=o与4：2x_y+i=o平行，则4与4的距离为()

1.3

A.4B.5c.5D.5

3.过直线x+y-3=°和2x-y=°的交点，且与直线2》+丫-5=°垂直的直线方程是()

A4x+2y-3=()B4x-2y+3=()cx+2y-3=0口x-2y+3=0

4.设aGR,则“a=-2”是“直线11：ax+2y—1=0与直线12：x+(a+1)y+4=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)A3CQ-AGG"中，===

4B=AD=AA|=1y|[j4G=()

述

A."B.6C.3D.2

6.点尸在直线3x+y”=°上，且点尸到直线x-y-l=°的距离为亚，则p点坐标为()

A.(L2)B.(21)

C(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-2,1)

7.已知直线/的方程为丫=3》+3,则点24,5)关于/的对称点的坐标为()

A.(-4,1)B,(-2,7)c(-1,7)D(-3,1)

8.过点AQ，2)且与原点距离最大的直线方程是()

Ax+2y-5=0B2x+y-4=()Qx+3y-l=0p3x+y-5=0

9.已知43，T),仅5,-2),点p在直线x+y=°上，若使I上|+1必|取最小值，则点尸的坐标是

1

A.(L-1)B.(TDC.(-2,2)

10.设A（—2,2）,3（1,1）,若直线以+y+l=°与线段A3有交点，则”的取值范围是（）

(-co,-2]u^-,+co^-2,-1

32,+QO)

A.B.2儿|_27D,L2」

11.直线R4分别过点伐-2,-2）,Q（L3）它们分别绕点p和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的

距离d的取值范围是（）

A.（°，后］B.（°,+8）C.（南,+8）D.［扃'+8）

12.已知点P,Q分别在直线4"+>+2=0与直线4：x+y-l=。上，且PQM,点A（T-3）,U,

则IM+IP0+3的最小值为.

A.FB.'3+亍c,岳D,3亚

二、填空题（每小题5分，共30分）

13.已知直线6+4>—2=°与2x—5y+Z>=°互相垂直，垂足为（l,c）,则a+b+c的值是

14.经过点尸（2,3）,且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线1的方程为

15.已知”，〃，a，beR,且满足3m+4〃=6,6a+8b=l,则河丁^^7的最小值为.

16.已知A（-2,-4）,8（1,5）两点到直线/:“》+丫+1=°的距离相等，则实数a的值为

1+1

17.已知">°，"°,若直线（%T»+2y-l=°与直线犬+处-2=0垂直，则qb的最小值为

18.设mcR,过定点A的动直线x+my=°和过定点3的动直线尔-yr”+3=0交于点P（x,y）,则

IPAI+I尸5|的取值范围是

三、解答题（每小题15分，共60分）

19.已知平面内两点A（8,-6）,B（2,2）.

（1）求AB的中垂线方程；

（2）求过点P（2,—3）且与直线AB平行的直线1的方程；

（3）一束光线从B点射向（2）中的直线1,若反射光线过点A,求反射光线所在直线的方程.

20.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，ZBAC=90°,AB=AC=4,A1A=A1B1=2,侧棱A1AJ_平

面ABC,点D是棱CC1的中点.

2

Ai

⑴证明:BB1_L平面ABIC；

⑵求点Bl到平面ABD的距离；

(3)求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值.

21.已知直线方程为(2一办+(2根+乃+3加+4=0

(1)证明：直线恒过定点；

(2)“为何值时，点QB4到直线的距离最大，最大值为多少？

(3)若直线分别与*轴，丫轴的负半轴交于AB两点，求A。?面积的最小值及此时直线的方程.

22.如图所示，正方形所在平面与梯形AB脑V所在平面垂直，MB//AN,NA=AB=2,BM=4,

CN=26

⑴证明：ON〃平面BCM；

(2)求直线AC与平面CDM所成角的正弦值；

外CE

(3)在线段CM上是否存在一点E，使得平面BEN与平面BMN的夹角的余弦值为H,若存在求出筋的

值，若不存在，请说明理由.

1.D

【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.

［详解］X+J3,T=0化为3'3,

直线的斜率为3,倾斜角为150°.

故选:D.

3

【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.

2.D

【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数。，即可求出直线《的方程，然后由两平行线之间的距离

公式即可求解.

[详解】由题意直线4：X+殴-1=°与4：2x-y+1=°平行，

因此1x(7)—2X4=0,解得”一5,

所以""一5)'一1=°即为2x-y-2=0,

〃k2一1|产

由两平行线之间的距离可知人与,2的距离为百+(-1)-5.

故选：D.

3.D

【分析】首先求出两条直线的交点，根据垂直求出直线斜率，再用点斜式即可求出直线方程.

【详解】由题意得：

Jx+y-3=0

[2x-y=0

Jx=l

解得Im.

直线2x+y-5=0的斜率是_2,

故其垂线的斜率是：2,

y_2=*T)

•••所求方程是:

即x-2y+3=o

故选：D

【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标，以及两直线垂直的应用，属于简单题.

4.A

【分析】由“直线11：ax+2y—1=0与直线12：x+(a+1)y+4=0平行”得到a=-2或a=l,即得解.

【详解】解：若a=—2,则直线11：—2x+2y—1=0与直线12：x—y+4=0平行；

若“直线11：ax+2y-l=0与直线12：x+(a+1)y+4=0平行”，“(4+1)-2=°,解得a=-2或a

=1,

；.“a=-2”是“直线11：ax+2y—l=0与直线12：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.

故选：A

5.A

4

【分析】利用空间向量运算法则得到AG=A8+4）+4A,再利用数量积公式进行运算得到

AC：=(AB+AD+AA)2=6,从而求出kG|=AG=^

【详解】由空间向量可得：AC^AH+AD+AA,

2222

AC,=^AB+AD+AAi)=AB+AD+AAy'+2ABAD+2ADAAt+2AAlAB

=l+l+l+2|AB|-|AD|cosZBAZ)+2|AD|-|A4l|cosZ4IAD+2|A41|-|AB|cos2S41AB

=3+2cos600+2cos60°+2cos60°=6,

所以陷=AG=6

故选：A

6.C

【分析】设点尸的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可得答案.

［详解］...点p在直线3x+y_5=0上，.•.设尸（x,—3x+5）.

=\x+3x-5-\\

利用点到直线的距离公式得：6，解得：》=1或x=2,

.,.点P的坐标为&2）或Q,-D.

故选：C.

【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.

7.B

【详解】分析：设点@见"）是尸（45）关于/的对称点，根据轴对称的性质建立关于北〃的方程组，解出

〃?=-2且〃=7,即可得到点24,5）关于的对称点坐标.

详解:设Q（'%"）是尸（4,5）关于/的对称点,

5—m=——1

4一加3

。4+m5+〃r八

3-----------------+3=0

则有22,解得加=一2且〃=7,

5

所以。坐标为（-2,7）,即为所求的点的坐标（一2,7）,故选B.

点睛：本题主要考查了点关于定直线的对称点的坐标，着重考查了直线的基本量与基本形式、轴对称的

性质等知识，以及学生的推理与运算能力.

8.A

【分析】首先根据题意得到过点A（L2）且与04垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.

【详解】由题知：过点A（L2）且与原点距离最大的直线为过点A（L2）且与04垂直的直线

因为初=2,故所求直线为即x+2y-5=0

故选：A

【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.

9.C

【详解】分析：设A关于直线/：x+>=°的对称点为C,则尸为BC与直线/的交点时，卢4|+归回取最小

值，进而得到结果.

点A（3T）关于直线，：>+N=0的对称点为COT,

x-1_y+3

由BC的方程为丁―一「，

g|jx—4y—l3=0

但,

与x+y=°联立可得直线BC与直线/的交点坐标为【55人

所以|E4|+|PB|=|PC|+|P5],由图可知

内,士]

当P点坐标为（55）时，

附+阀最小，故选c.

点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几

何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选

用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.

6

10.c

【分析】直线6+y+「°恒过定点P(°，T),若直线奴+y+i=°与线段A3有交点，画图图形，求出临

界时直线P4的斜率与直线总的斜率，即可得解.

［详解］由6+y+i=o得y=一奴T,

因此直线/："+y+l=()过定点户(0,-1),且斜率八一“，

如图所示，当直线/由直线必按顺时针方向旋转到直线尸B的位置时，符合题意.

.'-(-I)0.2-(-1)3

kpR=----------=2kpA=-----------=-----

易得1-0,一2-02.

,3、3

〜-a<——八a>—

结合图形知一或2,解得。4-2或2,

「3、

(-<x),-2］u—,+8

G”的取值范围是L2人

故选：C

11.A

【分析】通过作图分析可知，当且仅当直线尸。与直线4,〃均垂直的时候，它们之间的距离田月即为，

d的最大值，通过分析可以发现旋转是连续变化的，且R12可以无限接近直线P°,因此d>o,且d可

以无限接近于0.

当直线尸。与直线R4均不垂直的时候，它们之间的距离即为日用,

7

当直线PQ与直线乙，4均垂直的时候，它们之间的距离即为血”,

所以当且仅当°R与QP重合时，d有最大值人标=卜2-1)2+(-2-3)-=V34,

可以发现旋转到一定程度时直线PQ与直线4,&均无限接近的时候，

d无限趋于0,但注意到直线4,4平行，且直线是连续旋转的,

4之间的距离d的取值范围是(°'后］.

因此直线4,

故选：A.

12.B

(33、30

【分析】设15’成，则四边形"'8为平行四边形，故而河+闸+如就是^。什三十网的

|/0」2一(-1)|k3.

因为PQ_L/"4,故O2,

a，=1,故AA'M,所以AYPQ,

又一2,所以|4V|=|P。，故四边形裕'Q?为平行四边形，

\AP\+\PQ\+\QB\=140+乎+\QB\

因为|阳+幽平回=旧，当且仅当A,Q,8三点共线时等号成立，

后।3近

|阴+四+|。卸的最小值为2,选B.

【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点(在直线上)与

8

两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.

13.-4

【分析】由两直线垂直，可求出a的值，又垂足(LC)为两直线交点，列方程组求解可得b,c的值，从

而即可得答案.

【详解】因为两直线互相垂直，所以2a+4x(-5)=0,解得。=10,

又垂足(Lc)既在前一条直线上，也在后一条直线上，

110+4c-2=0p=-12

所以12-5C+6=0,解得jc=-2,

所以a+b+c=10+(―12)+(—2)=—4

故答案为：-4.

143x-2y=0或x+2y-8=0

【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.

【详解】设直线1在y轴上的截距为a,则在x轴上的截距为2a.

当。=0时，直线1过点(°，。)，

3-03

又直线1过点「(2,3),故直线1的斜率=5,

3

y—0=一(x—0)ao八

故直线1的方程为.2,即3x-2y=°；

xy1

----1—=]

当ax0时，直线1的方程为2aa,即x+2y-2a=°,

二直线1过点尸(2,3),

.・.2+2x3-2。=0,

・・・〃=4,

直线1的方程为x+2y-8=°

综上可知，直线1的方程为3x-2y=0或x+2y-8=0.

故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0

11

15.10

【分析】设点4见〃),B(a,b)

【详解】设点4也〃)，B(a,b),直线《:3x+4y-6=0,直线y"—'一『。

9

由题意可知4加,〃)点在直线点3x+4y-6=0上，点B(a,万)在直线“：标+--鼻=。上

所以|=yj(m-a)2+(n-b)2

由题意可知4与4平行，故A、B之间的最小距离即为两平行线之间的距离

—6一(—)

'211

:.d==10

11

故答案为：1°

16.一3或3

【分析】方法一，利用点到直线的距离公式列方程求解可得；方法二，结合图形分析直线的位置可解.

|-26f-4+l||tz+5+l|

【详解】解：方法一由题意得正币,即I2a+3|=|a+6］,所以2a+3=a+6或

2a+3+。+6=0,解得。=3或-3.

5+4

方法二因为A,B两点到直线1的距离相等，则直线A8〃/或AB的中点在直线1上，则1+2-”或

11,八

—a-\---1-1=0

22，得”=-3或3.

【分析】两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式2(。+切=1,把目标式子化成

2(2+-*学，运用基本不等式求得最小值.

a

k2a—1

［详解］设直线(为T»+2y-i=0的斜率为牝"|_一一厂

k二

直线X+力-2=0的斜率为2一%,

两条直线垂直，-l2h),整理得：2(〃+〃)=1

10

+-)2(«+ft)=2(2+-+-)>8

ababab,

111

a=bf=——+一八

等号成立当且仅当4,ab的最小值为8.

【点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.

18[710,275]

【分析】根据直线方程确定48的坐标及直线的位置关系，易得户的轨迹是以AB为直径的圆，结合圆

上点到直径端点距离求\PA\+\PB\的范围

【详解】由直线方程易知：40,0),8(1,3),且两动直线垂直，

；.尸的轨迹是以4B为直径的圆，而|A8|=M,

.♦.当小姑8为等腰直角三角形时，1%|+|户5|最大；当尸与A或B重合时，|PA|+|P8|最小；

.V10<|PA|+|PB|<275

••

故答案为：石]

19.⑴版-4y-23=0

(2)4%+3y+1=0

(3)llx+27y+74=0

【分析】(1)利用中点坐标公式求得AB的中点坐标，再利用两直线垂直其斜率间的关系求得AB的中

垂线的斜率，再由直线的点斜式方程求得答案；

(2)根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；

(3)求得点B关于直线1的对称点B，的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程.

8+2§-6+2.2

【详解】(1)解：因为丁-2,所以AB的中点坐标为(5,-2),

k-6-243

又.一五万一一写'所以AB的中垂线的斜率为工，

3

y+2=—(x-5)々4”八

故AB的中垂线的方程为.4,即3x-4y-23=0；

.=44

kAtf~,y+3=—(x—2)

(2)解：由(1)得3所以直线1的方程为.3,即4x+3y+l=0；

n-2_3

<m—24

,m+2/n+2,八

4x--------F3x------1-1=0

(3)解：设B(2,2)关于直线1的对称点B，(m,n),I22,

11

工8

-6+-

k-111

814

n=——一+27

解得I55

y+6=-----（x-8）

由点斜式可得反射光线所在直线的方程为'27'\整理得llx+27y+74=0.

20.（1）证明见解析

3而同

（2）5（3）15

【分析】（1）建系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；

（2）将点面距转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影的绝对值，再利用向量的数量积即可求解;

（3）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得A（°Q°）,8（4，。，。），C（0,4,0）,4（2,0,2）,C,（0,2,2）,以0,3,1）

UULU

则期=（-2,0,2）,AC=（0,4,0）,做=（2,0,2）,

设平面ABC的一个法向量为r=（"，eJ）,

r-AC=4e=0

则［rAB］=2d+2/=0,取/*=（1,0,-1）

则网=—2r,

所以J.平面AB,C

（2）由⑴知一=（4，°，°）,池=（°，3，1）

设平面的一个法向量为"

n-AB=4。=0

则［rAD=3Hc=0,取〃3）,

12

A耳舛63M

|AB1|-|cos(>4B1,n)|

|/i|Jl+95

所以点Bl到平面ABD的距离为

(3)由⑴知，BC=(<4,0),CD=(O,-l,l),

设平面SCO的一个法向量为机=(x，％z),

BC=-4x+4y=0

*

则［:“,C£)=-y+z=0,取机=(1,1,1),

设平面BCD与平面ABD的夹角为6,

则。。，"同切叶三府二噜,

4

21.(1)证明见解析；(2)时，距离最大，最大值为2可；(3)面积的最小值为4,此

时直线方程为2x+)'+4=0.

【分析】(1)整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；

(2)易知当定点尸与°连线垂直时，点Q到直线距离最大；求出P。方程后，利用直线垂直关系可构造

方程求得机；利用两点间距离公式可求得最大值；

(3)利用直线方程可AB坐标，并确定机的取值范围，利用附表示出S，，。明可得一个分式型的函数，

&_19

AOB~2X_5025_

通过换元法可表示出厂t,由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求

得加的值，由此可得直线方程.

【详解】⑴由直线方程整理可得：(-x+2y+3)加+2x+y+4=o,

J-x+2y+3=0J.r=-1

由卜+>+4=。得：b=-2.•••直线恒过定点尸㈠厂2)；

(2)由(1)知：直线恒过定点P(T'-2),

则当与直线垂直时，点Q到直线距离最大，

y+2_x+1

又所在直线方程为：4+2-3+1,即3x-2y-l=0,

_4

•••当P°与直线垂直时,3(2-%)-2(2加+1)=0,解得O

则最大值闽M+3).(-2-盯=2呵

(3)由题意知：直线斜率存在且不为零,

13

3m+4

令x=0得：-2〃?+1,即I2m+1).

…S/产，0]

令尸0得：2-m,即I2-m).

3m+4八

-------＜0

,I2/w+1

3m+41

＜。—＜机＜2

又A，B位于x,y轴的负半轴，I2-m,解得：2

仁13m+43机+41(3m+4『

S=—x-----x------=—x----------——

Anfi22-m2//7+12-2tn~+3/n+2,

5i八t—4

—＜/＜10/.m-----

令3m+4=，，则2,3,

22

c_1t_19t_19

B=XX=X

-^2(t-^.r-4/2-2r+25r-5025025

I3J3tt

!=1H+"一2)=2

则当[4,即加=0时、I厂t九＞x8,•''(5AOflLn=4,

此时直线的方程为：2x+y+4=0.

MCE\

22.（1）证明见解析（2）5（3）存在，~EM=2.

【分析】（1）根据面面平行的判定及性质定理，即可得证.

（2）根据面面垂直的性质定理，可证BC工平面ABMN,BCLBN,即可求得BN长，根据勾股定理，

可证他，3"，如图建系，求得各点坐标，即可ACCRC/坐标，进而可求得平面CDM的法向量〃，

根据线面角的向量求法，即可得答案.

（3）设点£（兑以2），。£='°何，即可求得£点坐标，进而可求得平面BEN的法向量加，由（1）可得BC1

平面ABNN,所以8C即