2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高一年级下册3月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高一下学期3月月考数

学试题

一、单选题

1.1g210g810的值为()

A.3B.log310C.-D.Ig3

【答案】C

【分析】使用换底公式及对数运算性质求解.

【详解】Ig21og810=lg2x^=lg2x—L=lg2x-1-=1

lg8lg2,31g23

故选：C

2.已知角a的终边过点(1+tan15。,1-tan15。)，贝tana的值为()

A.丛B.-43C.-3D.立

33

【答案】D

【分析】结合三角函数的定义、两角差的正切公式求得正确答案.

l-tanl5°_」an45°-tanl50tan(45°-15°)=tan30°=与

【详解】tana=

1+tan1501+tan45°tan15°

故选：D

3.平面向量a与b相互垂直，已知a=(6,-8),忖=5,且匕与向量(1,0)的夹角是钝角，则b=()

A.(—3,—4)B.(4,3)C.(-4,3)D.(T-3)

【答案】D

【分析】先设出向量b的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即

可.

【详解】设b=(x,y)

a_1_力，.6x-8y=0,①,

\t\=\]x2+y2=5,②，

〃与向量(1，0)夹角为钝角，.•.x<o,③,

(x=~~4

由①②③解得《一.•.6=(-4,-3),

[y=-3

故选：D.

sin?35°一!

4.化简sm八2二()

sin20

A.gB.C.—1D.1

【答案】B

【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.

1-cos701

【详解】依题意，原式—221cos701sin201,故选B.

=---------------------------=-------X----------------=--------X----------------=--------

sin202sin202sin202

【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.

1・|

5.已知二ABC中，BD=-BC,AE=,AC,AO与3E交于点尸，且AP=4A。，=则4+〃=

()

A5-7「4-3

A.—B.—C.-D.—

4434

【答案】A

【分析】根据平面向量基本定理，用基底向量A8,AC表示AP,然后利用向量相等即可求解.

【详解】BD=\BC,AE=^-AC,A。与8E交于点P,且AP=4A£）,BP=/JBE,

32

A尸=2（AB+8Q）=/l（AB+gBC）=/lA8+；（AC—AB）=^AB+^AC,

又AP=AB+8尸=48+〃BE=AB+〃（AE-A8）=（1-〃）A8+J"AC,

,2,

1-//=-X

,3,解得2=：3,"=11

42

23

2+//=-.

4

故选：A.

A

6.如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP-(AB+AC)=()

4

A.最大值为8B.为定值6

C.最小值为2D,与尸的位置有关

【答案】B

【分析】因为尸共线，所以设AP=(1-⑷A5+/IAC,再代入AP«A8+AC)求解即可.

【详解】因为B,C,P共线，故AP=(1—4)Ag+；lAC,/le/?.

所以AP・(A3+AC)=[(l-/l)A8+/lAC](A8+ACj

2,2

=(1-A)AB'+AAC'+AABAC+(1-A)^BAC=22(1-2+2)+ABAC=6.

故选：B

【点睛】本题主要考查了共线向量的运用以及数量积的转换计算，属于中档题.

ir»777T

7.已知f(x)=2sin(2x+a),夕e(—n,0),一条对称轴为x=g,若关于x的方程f(x)=彳，在0,-

有两个不同的实数根，则加的取值范围为()

A.(-4,-25/2]B.[-4,-2应]

C.[2x/2,4)D.I2x/2,4j

【答案】A

7T3九37r

【分析】由犬二三是〃幻的对称轴及夕£(一元,0),可求出。=-?，得到/(x)=2sin(2x—：),换元后

844

利用正弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】因为X=9是函数/(X)=2sin(2x+⑼的一条对称轴,

O

所以2x^+0=二+E,AeZ,解得°=2+E,ZeZ,

824

又因为(一W。)，所以。=一个，所以/(x)=2sin(2x-当.

44

人、m「八兀1.小3n.m「八7C

f(x)——,xG0,—,Bnn|Jsin(2x-----)=—,xG0,—,

、rtc37r「i3717t

设f=2x--—,贝！--,

444_

5访/=:在匹-浮，g上有两个零点，

4144

故选：A.

8.克罗狄斯・托勒密(PWemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：

任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，

根据以上材料，完成下题：如图，半圆。的直径为2,A为直径延长线上的一点，。4=2,B为半

圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC,则当线段OC的长取最大值时，NAOC=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根据已知条件先分析出OC的最大值并得到NOBCNOAC之间的关系，由此借助余弦定理

求解出AB的长度，再利用余弦定理即可求解出ZAOC的大小.

【详解】因为O8AC+O48C\OCAB,且二A5C为等边三角形，08=1,04=2,

所以O3+042OC,所以OCV3,所以0C的最大值为3,取等号时NQ3C+NOAC=180。,

所以cosNOBC+cos/Q4c=0,不妨设A8=x,

所以《止2+立T=o,所以解得光=近，

2x4x

9+4-71

所以cosNAOC=----------=-，所以NAOC=60°,

2x2x32

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余

弦定理即可求解出结果.

二、多选题

9.已知tan。，tan£是方程3》2+5犬-7=0的两个实数根，则下列关系式中一定成立的是()

sin(cr+4)_5

A.tan(a+/?)=

cos(a-/?)4

4,八4

C.sin2(a+£)=gD.cos2(cr4-y0)=—

【答案】ABD

57

【分析】由题意根据韦达定理可知tana+ta”=C，tana・tan〃=-§,再利用三角函数间的关系

即可求解.

【详解】解：tana,匕鳍是方程犷+5-7=0的两个实数根，

57

由韦达定理可知tana+tan>3=-^,tanrztan/7=--,

_5

/八、

对TA,tan(a+小匚tan嬴a+了tan£嬴济-午1丁-15,A选项正确；

_5

sin(a+p)_sinacoscosasin/?_tana+tan/?-3

对于B,B选项正确;

cos(a-0)cosacos〃+sinasin夕14-tana-tanpu

3

2sin(a+£)cos(a+p)

对于C,sin2(a+0=2sin(a+2)cos(a+/7)=

sin2(a+/)+cos2(a+p)

2tan(a+/?)_4

C选项错误;

tan2(«+/?)+!~5

2(m_cos?(a+夕)_]_]_4

CSa+222

对于D,°cos(a+>0)+sin(a+l+tan(a+^)।+15，D选项正确:

4

故选：ABD.

10.在三角形ABC中，下列命题正确的有()

A.若A=30°,b=4,a=5,则三角形ABC有两解

B.若0。2114七1118<1,则_ABC一定是钝角三角形

C.若cos(4-B)cos(3-C)cos(C-A)=l,则ABC一定是等边三角形

D.若a-6=CJCOS8-OCOSA,则一ABC的形状是等腰或直角三角形

【答案】BCD

【分析】利用正弦定理，对A进行判断，得到A,B都是锐角，再利用同角三角函数的基本关系，

及两角和与差的三角函数公式得cos(A+B)>0,对B进行判断，利用余弦函数的性质对C进行判断,

利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式，对D进行判断，从而得出结论.

〃sin42

【详解】对于A,因为A=30",。=4,。=5,所以由正弦定理得sinB=--=b<a

a5

所以6角只有一个解，A选项错误；

对于B,由0vtanAtan8<l,即0Vsin,sin3<4

cosAcosZ?

所以cosAssB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,

■jrjr

所以4+5<5，所以C=兀一(A+8)>,,

故一定是钝角三角形，B选项正确；

对于C,因为cos(八一8)cos(8-C)cos(C-A)=l

所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C一A)=1

所以A=8=(7=60°,C选项正确；

对于D,因为a-A=c,8s5-c・cos4,

由正弦定理可得sinA-sin6=sinCcosB-sinCcosA,

所以sinA-sinCcos8=sinB-sinCcosA

因为sinA=sin(B+C)=sin3cosc+cos8sinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

JI、

所以sinBcosC=sinAcosC,解得cosC=0或sinA=sin8,即C=§或A=3,

所以43c的形状是等腰或直角三角形，D选项正确.

故选：BCD.

11.在中，。为AB上一点满足AO=3QB，若P为线段C。上一点，且A户=448+〃4。，(九〃

为正实数），则下列结论正确的是（）

13

A.CD=-CA+-CBB.42+3;/=2

44

13

C.■的最大值为百D.A+//e（-,l）

124

【答案】AD

【分析】由题设AP=三4AAO+〃AC结合三点共线可得4彳+3〃=3,再应用基本不等式及入〃的关

系求工〃的最值和2+4的取值范围，利用向量加减、数乘的几何意义求CD,C4,CB的线性关系.

【详解】由题设，可得”=彳4。+〃4?,又ARC三点共线，所以=+〃=1,

对于A选项，CD=CB+BD=CB+\BA,又8A=8C+CA，

4

131

：.CD=CB+-（BC+CA）=-CB^-CA故A正确；

444f

42

对于B选项，由学+〃=1,即4义+3〃=3知，B错误；

对于C选项，由2,〃为正实数，42+3〃=324场?，则

16

当且仅当a=2=:时等号成立，故C错误；

o2

42423

对于D选项，由知，〃=i——>o,则。<2<a，

41

而几十〃=4+l-12=1-§4,

333

所以，由0<几得:<丸+〃<1,即4+//£（二,1）,故D正确，

444

故选：AD.

12.已知定义在R上的偶函数〃x）,满足/（力+〃2-力=2,则下列结论正确的是（）

A.“X）的图象关于x=l对称

B./（x+4）=/（x）

C.若函数〃x）在区间［05上单调递增，则〃x）在区间［2021,2022］上单调递增

D.若函数在区间(0,1)上的解析式为〃x)=lnx+l,则在区间(2,3)上的解析式为

/(x)=ln(x-l)+l

【答案】BC

【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函

数周期性可判断C选项；设x«2,3),利用/(x)=2-〃2-x)

【详解】对于A选项，因为〃x)+〃2-x)=2,则函数〃x)的图象关于点(1,1)对称，A错；

对于B选项，因为〃x)+/(2-x)=2且函数/(x)为偶函数，

所以，〃x)+/(x—2)=2可得〃x+2)+/(x)=2,所以，/(x+2)=/(x-2),

所以，对任意的xeR,/(x+4)=/(x),B对；

对于C选项，因为〃x+4)=/(x),

若函数在区间［0』上单调递增，则f(x)在区间［2021,2022］上单调递增，C对；

对于D选项，当xe(2,3)时，2-尤e(-l,0),x-2e(0,l),

所以，/(x)=2-/(2-x)=2-/(x-2)=2-［ln(x-2)+l］=l-ln(x-2),D错.

故选：BC.

三、填空题

13.B^Osinacos(a+—),则cos(4a-=)=_____.

3643

7

【答案】-§

【分析】根据已知条件利用三角函数和差倍角公式，辅助角公式化简计算后可得sin(2a+1)=g,

最后利用诱导公式化简求值即可.

./7C、.(兀..7T).fl也.

【详解】解:smacos(a+—)=sinorlcosacos--sinasin—I=sincr—cosa-----sina

22

」sinacosa-近sin%+38s2”

="sin2a--(1-cos2a)=­sin2a

2244'7444

1.c兀

=—sin2a+一近2—正

23~T~6~T

/.—sin2a+—=—=>sin2a+—=-

2I3J6I3J3

则cos(4c—1)=cos[2(2a+^)—兀

1-2x17

99

7

故答案为：-工

14.在.ABC中，,@=2&,AC=(cosa,sine),a£R,若对任意的实数fJA3TAC|2145-A。]

恒成立，则ABC的面积等于.

【答案】五心不

22

【分析】由不等式卜8-472A。对任意的实数，恒成立，通过向量的数量积运算转化为关于，

的二次不等式恒成立，即可求出cosA,sinA的值，从而可求ABC的面积.

【详解】因为卜8-fAC卜卜B—AC|,所以

即（AB-fAC），（AB-ACj2,

|UU1|2LilliIIUU|UUM|2|Uimi2UUDUUW1UUIU12

所以AB-2tAB-AC+t2\AC\>\AB\-2AB-AC+\AC\

又因为=2>/2,AC=（cosa,sina）,a£R,|AC|=1

所以8—4瓶小。54+/>8-4>/2cos71+1，

即』_4"COSA+4&COS4-120对任意的实数广恒成立，

所以△=（40cos4『一4（4行cosA-l）W0,即（2夜cosA-l『<0,

所以cosA=，因为0<A<兀,所以sinA=,

44

所以ABC的面积为:卜用AqsinA=；x2V5xlx芈=W，

故答案为：叵.

2

15.已知三角形ABC中，A8=4,AC=5,8C=6,/是的重心，P是"8C内部（不含边界）的

动点，若AP=/IAB+〃AC（/l,〃eR）,则义+〃的取值范围.

2

【答案】~,1

\J

【分析】以点A为原点建立平面直角坐标系，先求出C,/两点的坐标，设尸（x,y）,利用

AP=AAB+juAC,将2+〃用x,y表示，再根据线性规划即可得出答案.

【详解】如图，以点A为原点建立平面直角坐标系,

16+25-361

cosA=则sinA=f

2x4x5-88

则4(0,0),8(4,0),。号呼

因为/是..ABC的重心,

0+4+20+0+^^

(375。

所以/—丁出，——1—

,即/24，-8-

\/

直线BC的方程为y=_斗仁一4),即手x+V-用=0,

设尸(x,y),P在/BC内部(不含边界)，

AL，AB=(4,0),AC=1|,学

,OO,

/I-\

因为APMAB+/MC,即(x,y)=；l(4,0)+〃

,oo

「511

元=42十@〃—x----f=y

412万

所以，所以

15币8'

、y=—一—A片收

19

则'+〃=厂+水百’

人：二〃-1丫上95772077

^Z=AA=420T7y，贝仃=一丁》+k2,

由图可知当直线产-乎x+呼z过点8(4,0)时，2耐=1,

业吉处5772077、■+占/卫_2

m直线y=-X4----Z过点/,时，Zmin-q，

99I4&J3

所以2+〃的取值范围是(1,1.

13/

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量中的最值问题，建立平面直角坐标系进行坐标运算和把点的

位置用不等式组体现是解题的关键.

四、双空题

16.如图，在平面凸四边形ABCO中，48=4。=。=28。=4,2为对角线4(^的中点.若尸力=&28.

则尸。=,ZABC=.

【分析】设刊?=x，则PO=GPB=GX,由ZAPB+NCPB=%,利用余弦定理建立

cosZAPS+cosZCPB=O,解方程即可得到答案；在中，由余弦定理即可算得NABC.

【详解】设PB=x,则PD/PB=6X,因为D4=DC,尸为AC的中点，所以OP1.AC,

PA=PC,AP2=AD2-DP2=16-3x2,又NAPB+NCPB=兀,

所以cosZAPB+cosNCPB=0,即4产+府-AB-十枚+笛-BU=。，代入数

2APPB2PBPC

»„16_3x2+x2—1616—3x2+x2-4.1—.1—

据有/,1I~-0>解得工=逐，所以P£)=J5X=3;

2x-V16-3x22x-V16-3x29

BA2+BC2-AC216+4-4x(16-9)1

在_43C中，由余弦定理得，cosNA8C=—,

2BABC2x4x22

2

所以NA3C=—乃.

3

2

故答案为：3；—71.

3

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

五、解答题

17.已知a,4为锐角，cosa=|,cos(«+/?)=--.

⑴求sin2a的值；

(2)求cos£的值.

24

【答案】(l)sin2a=

⑵乎

【分析】(1)根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；

(2)根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.

【详解】(1)因为。为锐角，cosa=1,所以sina=J1-cos2a=」1-2=+,

5V255

3424

则sin2a=2sinacosa=2x^x—=—；

(2)由于。，夕为锐角，则。<a+夕V7i,

又cos(a+/)=一半=>sin(a+/7)=』_cos?(a+.)=J]_g=,所以

cos/?=cos[(a+/7)-a]=cos(a+P)cosa+sin(a+P)sina=-^x-|+^^-x-1=

18.在ABC中，AB=9,点。在边8C上，AD=7.

2

(1)若cos8=§,求的值，

2

(2)若cosNBA。=-§,且点。是边6C的中点，求AC的值.

【答案】(1)83=8或6。=4

(2)40=6+7^

【分析】(1)由余弦定理列出方程，求出8。的值；

(2)作出辅助线，得到cosZAE3=],由余弦定理求出£4=3+®,从而求得答案.

32

【详解】(1)在△ABZ)中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2ABBD-cosB,

2

所以49=81+8。?-2x930x3,解得80=8或50=4,

经检验均符合要求；

(2)在△ABO中，过。作A8的平行线交AC于E,

因为点。是边BC的中点，所以点E为4c的中点，

19

在即中，ED=-AB=一,

22

2

XABAC+ZAED=7T,所以cos/AED=-.

3

IA-JzgT--r\+ED?-2

由余弦定理得：cosZAED=--------------=-,

2AEED3

所以£4?一6£4=0,所以"=3+迪＞0或E4=3-返＜0（舍去），

422

故AC=2E4=6+＞/i7T.

L1L1UULILI

19.如图，在J15C中，已知C4=l,CB=2,NAC8=60。，点。是A8上一点，满足AQ=4A8,

点E是边CB上一点，满足BE=/IBC

(2)是否存在非零实数4,使得AELCD?若存在，求出力的值：若不存在，请说明理由

【答案】⑴I

2

(2)存在非零实数4=§,使得AEJ.CO

【分析】(1)当时，。、E分别是3C,AB的中点，则AE=4C+gB、CD=^(CA+CB),

然后根据已知条件即可求解CD;

(2)假设存在非零实数2,使得AE_LCD，利用C8、C4为基底分别表示出C。和AE,

UUUUIU1

由AEC3=0求出久值即可.

【详解】(1)解：当X=g时，AD=^AB,BE=^BC,

;.D、£；分别是BC,AB的中点，

AE=AC+CE=AC+^CB,CD=^CA+CB),

：.AECD=(AC+^CB)^(CA+CB)=^ACCA+^ACCB+^CBCA+^CB2

=--xl2+—xlx2xcosl200+—x2xlxcos600+—x22=—；

22444

(2)解：假设存在非零实数4,使得AELC。，

UUUUUU

由AD=AAB，得AD=4(CB-CA),

CD=CA+AD=CA+A(CB-CA)=九CB4-(1-2)CA；

又BE—BC，

・•.AE=AB+BE=(CB-C4)+2(-CB)=(1-4CB-CA；

AECD=X(y-/l)Cfi'-ACBC4+(l-2)2CBC4-(l-A)C4-

2

=4/1(1—2)—71+(1—Ay—(1—/I)=-3/i2+2A=0,解得4=§或九=。(不合题意，舍去)，

2

所以存在非零实数4=5,使得AEJ_CD.

20.已知函数/(月=45皿3+水＞0,。＞0,闸＜|^在一个周期内的图象如图所示.

(2)将函数y=/(x)的图象向右平移g个单位长度后，得到函数卜=8(制的图象，求g(x)在［0,句

0

上的单调递增区间.

【答案】⑴/(x)=2sin12x+注(2)0,1、51

6

【分析】(1)由图象可得出函数/(X)的最小正周期T的值，可求出0,再将点代入函数解

析式，结合e的取值范围可求得夕的值，由/(0)=1可求得A的值，综合可得出函数f(x)的解析式;

(2)利用函数图象变换求得g(x)=2sin(2x-,,求出函数g(x)在R上的单调递增区间，再与定

义域取交集可得结果.

1\TI54

【详解】(1)由图可得函数/")的最小正周期为7=2x

所以，口=干27r=2,

闺=2sin传+.=0,则sin(夕+年

f=0,

n7CTV5万4万5万则夕=?，所以，/(x)=Asin(2x+'J,

6

因为/'(。)=Asinf=《A=l,所以，4=2,所以，/(x)=2sin(2x+g]；

62k07

、兀71

(2)由题意可得g(x)=2sin24—=2osin2o,x----

616

冗冗冗冗冗

令---4-Ikjr<2x-----<—+2k7r,keZ,得----\-k7r<x<--\-k7r,keZ,

26263

记人=-*k兀7k兀(kwZ),则A[0"]=0,gI当

，乃

633o36

-rr5〃

因此，函数g(x)在［0,句上的增区间是0,-、不"•

【点睛】方法点睛：根据三角函数〃x)=Asin(5+0)+人或的部分图象求函数解析式的方法:

/八十/(X)-/(x),f(x)4-f(x).

(1)求A、b:A=y/nux-v7min,b二、八”~v7nun；

22

(2)求出函数的最小正周期7,进而得出/=与；

(3)取特殊点代入函数可求得。的值.

21.如图，正方形ABC£＞边长为5,其中AE厂是一个半径为4的扇形，在弧E尸上有一个动点Q,

过。作正方形边长BC,C7)的垂线分别交BC,CD于G,H,设NE4Q=6,长方形QGCH的面积

为S.

(1)求S关于。的函数解析式；

(2)求S的最大值.

TF

【答案】(1)S=25-20(cose+sine)+16sin'cos。，0G0,—；(2)5.

【分析】(1)先根据题意计算AQ在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算”Q,QG的长

度，计算长方形QGC”的面积再化筒即得结果；

(2)先换元sin6+cos6=f,确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果.

【详解】解：⑴N£AQ=。，则AQ在竖直方向上的投影的长度为4cosd,在水平方向上的投影长度

为4sin6,

TT

故HQ=5-4cos&QG=5-4sin6,0G0,y,

TT

S=(5—4cos6)(5-4sin。)，0e0,—,

_2_

整理得：5=25-20(cos0+sin0)4-16sin0cos0,0e0,y

（2）S=25-20（cos，+sin，）+16sin，cos，，0e0,—,

_2_

令sin9+cos9=r,即gsin（e+f）=r,平方可得2sinecose=r-1,

4

当即0.j时，可求得

,S=25-20f+8（产一l）=8/-20f+17=8（f-j）+1,fw[l,VT|,

根据二次函数对称性可知，当/=1时，Smax=8-20+17=5.

【点睛】方法点睛：

求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）

为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可.

V*