河北省邯郸市魏县第五中学2022-2023学年高二年级上册期末数学试题（含答案解析）

河北省邯郸市魏县第五中学2022-2023学年高二上学期期末

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.正四面体A-BCD的棱长为4,空间中的动点「满足|PB+PC|=2应，则AP/O的

取值范围为()

A.[4-26,4+26]B.[应,3夜]

C.[4-3>/2,4-72]D.[-14,2]

2.如图，菱形ABC。边长为2,ZBAD=60°,E为边AB的中点，将△/!£>£沿£>£折

起，使A到4,连接AB,且A'DLDC,平面与A'BE平面A'C£>的交线为/,则下列

结论中错误的是()

A.平面A'E>E_L平面ABEB.CD//1

C.8C与平面KDE所成角的余弦值为：D.二面角E-A3-O的余弦值为近

27

3.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这

条直线称为欧拉线已知A48c的顶点A(2,0),8(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,

则顶点C的坐标为

A.(—4,0)B.(-3,-1)C.(—5,0)D.(-4,-2)

4.已知直线4：47+2=0,/2：47-2=0,直线4垂直于4,4，且垂足分别为4

B,若C(-4,0),0(4,0),则|C4|+|阴+|阳的最小值为()

A.710+272B.8+72C.2M+2无D.8

5.已知"X)是定义在R上的增函数，函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，若不等

式/（J16—力）+八2百HQ+2））40的解集为区间[a,句,且b-a=2,则"=（）

A.—^/3B.5/3C.2D.—2

6.已知双曲线「捺-《=1（4/>（））的左、右焦点分别是《，尸2,点C是双曲线「右

CFCF

支上异于顶点的点，点。在直线久=。上，且满足。。=丸，AGR.若

〔L|田r+T

10D-5DC+OFt=0,则双曲线『的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

7.数列间满足4用=[2卜山耳-1卜,+〃，〃eN,,则数列｛《,｝的前80项和为（）

A.1640B.1680C.2100D.2120

8.对于无穷数列｛4｝,给出如下三个性质：①4<0；②T",seN*,为«>%+%；③

VneN,,小eN',定义：同时满足性质①和②的数列｛q｝为"5数列”，同时满

足性质①和③的数列｛4｝为“数列”，则下列说法正确的是（）

A.若=2〃-3,则｛4｝为“s数列”

B.若/=1£）,则｛可｝为“数列”

C.若｛6｝为数列”，则｛4｝为“数列”

D.若｛%｝为“，数列”，则｛叫为数列”

二、多选题

9.已知圆C:（x-2）2+（y-3）2=4,恒过（l,3）的直线/与圆C交于「，。两点.下列说法

正确的是（）

A.|尸口的最小值为2夜

B.PCPQe[6,8]

C.CPCQ的最大值为-2

D.OPOQe[8-厢,8+而]（O为坐标原点）

10.如图，已知椭圆C：^+4=l（a>/.>!）,4，A2分别为左、右顶点，B,,也分别

ab

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为上、下顶点，鼻,尸2分别为左、右焦点，点P在椭圆c上，则下列条件中能使C的

A.\OF\.\OA^=\OB^B.N耳44=90°

c.轴，且尸O//44D.四边形与的内切圆过焦点人，死

11.已知。为坐标原点，抛物线E的方程为y=^/，E的焦点为F，直线/与E交于

A,8两点，且48的中点到x轴的距离为2,则下列结论正确的是（）

A.E的准线方程为y=-J

16

B.|AB|的最大值为6

C.若AF=2FB，则直线A3的方程为丫=±¥%+1

D.若。4,08,则面积的最小值为16

12.在数列｛4｝中，其前〃的和是S“，下面正确的是（）

A.若S.=2〃2-3"+4,则其通项公式为=4〃-5

B.若q=2,%=《,+〃+1，则其通项公式a“=g(〃2+〃+2)

C.若4=2,na„+l=(n+l)a„,则其通项公式勺=2"

D.若g=1，2sLa”,则其通项公式4=〃-1

三、填空题

13.如图，在正方体ABC。一A4CA中，E为棱BC的中点，动点尸沿着棱QC从点。

向点C移动，对于下列四个结论:

①存在点尸，使得PA=PE；

②存在点P,使得平面E，平面BDD,B,；

③的面积越来越小；

④四面体的体积不变.

所有正确的结论的序号是.

14.已知过P（3,0）的直线与圆C:（x-2>+（y-l）2=4交于AB两点，（A点在无轴上方）,

若怛尸卜31PAi,圆的切线〃/AB.则直线AB与切线的/距离是.

15.已知椭圆口与双曲线上的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点K、❷，P是和与

「2在第一象限的交点，当N-P居=三时，双曲线「2的离心率等于.

16.已知项数为,〃的有限数列｛4｝（meN,mN2）是1,2,3,…，机的一个排歹J.若

少一!

k一局M1%-局V…41aBi_1一。」,且E\ak-ak+\=m+2,则所有可能的m值之和

k=\

为.

四、解答题

17.异面直线4、4上分别有两点A、区则将线段AB的最小值称为直线4与直线4之间

的距离.如图，已知三棱锥P-ABC中，P4_L平面尸8C,P8_LPC,点。为线段AC中

点，AP=BP=CP=1点E、尸分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EC

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B

(1)设点例为线段£尸中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为“，证明：

⑵若丝==k(%>1)，用含上的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之

AEFC

间的距离.

18.已知圆0:x?+y2=1和点.

(1)过M作圆。的切线，求切线的方程；

(2)过M作直线/交圆。于点C,力两个不同的点，且C£>不过圆心，再过点C,。分别

作圆。的切线，两条切线交于点E,求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程;

⑶已知4(2,4),设P为满足方程PH+PO2=34的任意一点，过点P向圆。引切线，切

PB-

点为从试探究：平面内是否存在一定点M使得为定值？若存在，则求出定点N

TAF

的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由.

22

19.已知椭圆T：5+£=l(a>b>°)的离心率为直线人龙+?-#=()与以原点

为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.A为左顶点，过点G(1,O)的直线交椭圆T

于B,C两点，直线A3,AC分别交直线x=4于M,N两点.

y

(1)求椭圆T的方程；

(2)以线段MV为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说

明理由.

20.仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它

丁+/

充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:7+启=13>6>0）由仿

22

射变换得一，喙7,则椭呜+方=］变为/+『，』,直线的斜率与原斜率

的关系为=,然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关

b

系，最后转换回椭圆即可.己知椭圆C:；+马=1(q>6>0)的离心率为好，过右焦点

ab5

心且垂直于X轴的直线与C相交于A8两点且AB=竽，过椭圆外一点尸作椭圆C的

两条切线4，4且4,4,切点分别为M,N.

(1)求证：点尸的轨迹方程为V+y2=9；

(2)若原点。到人，〃的距离分别为4,d2,延长表示距离4,4的两条直线，与椭圆c

交于匕卬两点，过。作OZ_LPW交于Z,试求：点Z所形成的轨迹与尸所形成的轨

迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数.

21.已知椭圆。：输+/=1(。>6>0)的短轴长为2,且其离心率为乎.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过坐标原点。作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于尸，。两点是否存在圆

心在原点的定圆与直线P。总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

22.已知数列｛可｝满足以下两个条件：①4=1,当“22时，k-l|=|«„-,+l|;②若存在

某一项q“v-3,则存在kw｛l,2,L,机-1｝,使得4=品+2(机*2且njeN*).

(1)若〃2>0,求生，%，。4；

(2)若对一切正整数n,a„+T=。“均成立的T的最小值为6,求该数列的前9项之和;

(3)在所有的数列｛《｝中，求满足4“=-2021的机的最小值.

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参考答案：

1.D

【分析】分别取BC,A。的中点E,F,由题意可得点尸的轨迹是以E为球心，以正为半径

的球面，又APjO=4-|P不再求出阳的最值即可求解

【详解】分别取BC,4。的中点E,F,则|在5+尸牛|2叫=2也,

所以阀=0,

故点P的轨迹是以E为球心，以正为半径的球面，

APPD=-(PF+E4)(/>F+FD)=-(PF+M)(PF-M)=|E4|2-|PF|2=4-|PF|2,

又ED=\IDC2-CE2=V16-4=712=2百,EF=dDE。-DF?=J12-4=瓜=2叵，

所以=£F-V2=X/2,IPFI=EF+&.=3五,

IminIImax

所以AR尸£>的取值范围为[T4,2].

故选：D.

2.C

【分析】对于A,由平面几何的知识可知即J.OC,再利用线面垂直的判定定理可证得

。J.C平面A'DE，由此再利用面面垂直的性质定理即可证得平面A'DE，平面ABE;

对于B,利用线面平行的性质定理即可证得CD//1；

对于C,先证明BEQE4E两两垂直，建立空间直角坐标系，再求得BC与平面KDE的一

个法向量BE,从而可求得BC与平面AfDE所成角的余弦值为也；

2

对于D,在C的基础上，求得平面A'BE与平面A3。的一个法向量E£)与〃，由此可求得二

面角E-4'8-。的余弦值为五.

7

【详解】对于A,在菱形ABC。中连结8。，在公ABD中，ABAD=60°,AB=AD,所以△A3。

答案第1页，共27页

是正三角形，

由于E为边A8的中点，所以E£>J_43,又DCHAB,故EO_LDC,

又因为A'DLOC,A'DnDE=DA'D.OEu平面人力£,

所以£）CJ_平面40£>£：,因为ZJC7/BE,所以BE_L平面A，£»E,

因为3Eu平面ABE，所以平面A'DEJ"平面A'BE,故A正确；

对于B,因为CD"BE,CD4平面A'BE，3Eu平面力’BE，所以C£>〃面A'8E，又面A,BE

与面AC。的交线为/，CDu面ACO,所以CQ〃/,故B正确；

对于C,由A知，ED±AB,故折起后仍有£>E2A'£,ED1BE

又8£_1平面4。£）后，则故以E为原点，分别以BEQE,AE为x,y,z轴，建立如图

所示空间直角坐标系：

则E（0,0,0）,B（l,0,0）X（0,0,l）,C（2,73,0）,£>（0,>/3,0）,贝1JBC=（l,"o）,

因为3后_1_面人力E，所以3E=（1,（）,（））是面ADE的一个法向量,

设8c与平面A（DE所成角为。,

所以c°se=g^q,故c错误;

对于D,易证小_1面48£，故功》=（。，6，。）为平面A8E的一个法向量,

又AB=(1,0,-1),80=,6,0),

/、n-AB=0x-z=0

设平面48。的一个法向量为：〃=（x,y,z）,则｛即Ir-,

九BD=0-x+v3>-0

令x=6,则y=l,z=G，故〃=(G,1,G),

n-ED_0+岳0_布

所以cos/几九二

H-i^rJ3+1+3?厂7

答案第2页，共27页

又由图形可知二面角E-A3-O为锐角，故其余弦值为电，故D正确.

7

故选：C.

3.A

【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂

直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程,

两方程联立求得点C的坐标

【详解】设C(m,n),由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为[丁,不)代入欧拉

0_1_4-I-"

线方程得：当”一一黄+2=。整理得：m-n+4=0①

4-01

AB的中点为(1,2),砥，=云=-2AB的中垂线方程为y—2=](x—l),

,[x-2y+3=0(x=-l

即x-2y+3=0.联立'、八解得《,

[x-y+2=0[)'=1

.♦.△ABC的外心为(-1,1).

则(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得：m2+n2+2m-2n=8(2)

联立①②得：m=-4,n=0或m=0,n=4.

当m=0,n=4时B,C重合，舍去....顶点C的坐标是(-4,0).故选A

【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适

当的直线方程形式，直接求出直线方程.②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知

条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等.

4.C

【分析】根据条件设出直线G的方程x+y=2m,求出点A,B坐标，用机表示出

\C^+\AB\+\BD\,再借助几何意义即可计算得解.

【详解】因直线4垂直于4，4,则设直线〃的方程为：x+y=2〃?(〃?eR),

[x+y=2m[x+y=2m

由c得点4加由.得点3(机+1,机-1),而czY,ox,0z4,0x,

[x-y=-2[x-y=2

于是得|C4|+1+忸+(5+1)2+2&+7(w-3)2+(/n-l)2,

而J(m+3)2+(,"+1)2+J(m—3)2+(〃Ll)2表示动点M(孙加)到定点£(-3,-1)与尸(3,1)的距

离的和,

答案第3页，共27页

显然，动点M（，加，〃）在直线）'=x上，点氏-3,-1）与F（3,l）在直线y=x两侧，因止匕

\ME\+\MF\>\EF\=2y[lO,

当且仅当点M是直线y=x与线段EF：>=!武-34X43）的交点,即原点时取“=”,此时机=0,

从而得J(W+3)2+(++1)2+7(W-3)2+(W-1)2取最小值2亚，

所以,当直线上方程为:x+y=O时，|a|+|AB|+|BD|取最小值2屈+2忘.

故选：C

5.B

【分析】根据条件可得函数f（x）是定义在R上的奇函数且在R上的增函数，进而可得

716-X2<A:（X+2）-2^.再利用数形结合即得.

【详解】：函数y=/（x-D的图象关于点（1,0）对称,

二函数f（x）的图象关于点（0,0）对称，又/（X）是定义在R上的增函数,

，函数f（x）是定义在R上的奇函数且在R上的增函数,

<0,可得

**-716-x2<k(x+2)-2y/3的解集为区间句，且％-a=2,

作出函数丫=41%=/与y=《（x+2）-2，J的图象,

y=A(X+2)-2A/J表示过定点

答案第4页，共27页

A卜2,-2⑹的直线,

由图象结合条件可知6=4,又1=2,

；.a=2,即直线与半圆的交点N的横坐标为2,故N（2,2q,

r=26+2石=豆

2+2

故选：B.

【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是掌握形与数的对应关

系，基本思路为：①构造函数f（x）（或/（X）与g（x））,②作出“X）（或”X）与g（x））的

图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来

确定解题的切入点.

6.C

/\

【分析】根据C0=/11南CF+同CFJ得。在NKC用的角平分线上，进而根据双曲线的定义以

及切线长性质可判断。为、耳。死的内心，结合重心的向量表示以及重心的性质，即可得

|CK|:|C闻:忸闾=4:3:5,进而由离心率公式即可求解.

/\

【详解】由于点。在直线工=〃上，且满足CO=21向CF+同CFJ,可知。在的角平

分线上，

设.《C8的内切圆分别与边耳C,FtF2,CK相切于点（如图1）则有切线长定理可

得|CM|=|C如螭|=|g|,|叫|=|C0|,

结合双曲线的定义可得|c用-|C段=W用-|N用=2|ON|=%？10M所以4CK的内心

在直线x=a上，故。为.£。死的内心，

由7。。一5。。+0耳=0得5。（?-70。-0[=0=5£^+7。。一36£=0,由于。是耳人

的中点，所以居），

因此50©+：（0£+0月）一3（£）4一0耳）=0=5£）0+40网+3£）1=0,

分别延长。耳至C可，耳?，使得Z）Cii=5OC,。6=4DF2,DF^=3DFl,W2

答案第5页，共27页

故DC耳。玛+£＞耳?=0，因此。是,。算行?的重心，

设SCDFi=m,SCDF?=〃,SDF]F\二P，由。是cEK?的重心，所以

SDCR=S0cA=SDF^=-S尸2女?，

又S.g=g|DC|他叫sinCP耳用刃耳卜inCPFX=^^\DC\^DF1|sin?CPF

二1？S衣耳m,?S"耳\5m,同理S；5c凡=20〃,S°怩=12p,即15〃z=20〃=12p,故

”〃：〃=4:3:5

由于。为，”c8的内心，故。到KC写三条边的距离相等，可得仁用:仁闾:旧居|=4:3:5,

因此KC且为直角三角形，所以|C£|-|C段=2〃山闾=2c,

因此离心率”导言黑[卷=5，

故选：C

【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对

于离心率问题，要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出。泊,。的关系系，从

而求解离心率.

7.A

【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.

答案第6页，共27页

【详解】设/(")=2sinq--l,因为sin=的周期为n一、,

222

YITT

所以，(〃)=2sin4--l的周期为7=2.

又/(1)=1,/(2)=-1,所以当〃为奇数时,/(«)=1,

所以当"为偶数时，/(«)=-!.

又/+i=/(")%+"，所以-=4+1,a3=-a2+2=-al+l,

4=生+3=-4+4,于是得到4+%+%+%=6,同理可求出

%+4+%+4=14,o9+al0+(z,,+al2=22...,

设h„=a4n-3+a4n-2+%,I+4,,，则数列｛2｝是以6为首项，8为

公差的等差数列，所以数列｛%｝的前80项和为数列｛2｝的前20项和

20x6+V*-°=1640.feB,C,D错误.

2

故选：A.

8.A

【分析】A选项，经过验证%=2〃-3满足①②，故A正确；

B选项，经过验证％不满足③，故B错误；

CD选项，均可举出反例.

【详解】若凡=2"-3,则4=2-3=-1<0,满足①,

Vn,seN*,a“+s=2（〃+S）-3,4,+4=2〃-3+2s-3=2（〃+s）—6,

因为2（w+s）-3>2（〃+s）-6,所以V〃,seN*,a"+,>a“+a,,满足②,

故A正确；

答案第7页，共27页

若〃为奇数，此时13)<0,存在且为奇数时，此时满足(—'

若“为偶数，此时(-;)>0,则此时不存在ZN.，使得

综上：B选项错误；

设为=-2〃-1,此时满足«,=-2-1=-3<0,

也满足V",seN,a』——2(〃+s)-1,cin+i/s——2〃—1—2s—1=—2(〃+s)—2,

即Vn,.veN>„+J>an+as,

但不满足③W"sN*,3ZeN*,an+,>an,

因为a“+r——2(^n+——2n—2t—\=an—2t<an,

综上C选项错误；

不妨设q=(一2)",满足q=一2<0,

且V”wN*,an=(-2)",

当〃为奇数时，取f=l,使得。m=(一2户>4,

当〃为偶数时，取f=2,使得％+2=(-2)-2>为,

故为“数列“，

但此时不满足V”,swN*,a“+，>4+4,不妨取〃=l,s=2,

贝ljq=-2,a2=4,tz3=—8,而aM=—8<—2+4=+a2,

则｛4｝不是“s数列”，D选项错误.

故选:A.

9.BCD

【分析】根据圆的几何性质、向量数量积运算、动点轨迹方程等知识对选项进行分析，从而

确定正确答案.

【详解】圆C:(x-2y+(y—3丫=4的圆心为。(2,3),半径为2,

当4(1,3)满足(1一2)2+(3-3)2=1<4,所以4(1,3)在圆C内，

答案第8页，共27页

所以，当AC_LPQ时，|PQ|取得最小值，如下图所示,

此时|AC|==2,22-12=26,所以A选项错误.

设B是尸。的中点，PCPQ=PC（2PB）=2\PC\\PB[cosZP=2^=O_.

由于26引尸。卜4,124pQ1416,所以pc-PQ=E4e[6,8]，B选项正确.

6电=刑邺。SNPCQ也网吗辐gL产,

由于124|「。卜16,-848-卜。14-4,所以CPCQ=殳毕-e[-4,-2卜

所以CPC。的最大值为-2,C选项正确.

OPOQ=（OB+BP）（OB+BQ^=（OB+BP）（OB-BP）=|oB]一|BP『

=|OB|2-（22-|BC|2）=|OB|2+时_4①，

设B（x,y）,由|4?『+忸C「=|AC「得：

答案第9页，共27页

("-l)2+(j-3)2+(x-2)2+(y-3)2=l

整理得卜一'J+(y—3)2=(gj,所以8点的轨迹是以(I，3)为圆心，半径为g的圆，

设8(T+gcose,3+gsin9),0M8<2兀，

所以1。，1-4=(g+；cos“+(3+9118]+仁+；8$9-2)+(3+gsine-3)-4

=3sine+cose+8=8+Vi5sin(e+s),其中tane=；,

所以CPCQ=|081+,C『-4e[8-M,8+JiU],D选项正确.

故选：BCD

【点睛】本题的突破口在于化归与转化的数学思想方法，将所求的数量积转化为已知条件来

进行求解.涉及动点的轨迹，可先利用动点满足的几何性质列方程，求得动点的轨迹方程，

再由此转化所求，进而求得正确答案.

10.ABD

【分析】对于A选项，由式子得到“c=〃=a2-c2,再同除/得到关于e的一元二次方程,

解出e即可，对于B选项，将垂直转化为向量点乘为0,将向量坐标化得到m=从=/一。2,

再次得到和A选项一样的方程，解出e即可，对于C选项，解出P点坐标，将平行转化为斜

率相等得到〃=c,最终求出斜率，对于D选项依然是构造齐次方程解出e即可.

【详解】由题意知A(一“，0),4Q0),B,(0,b),B2(Q-b),F,(-c,0),乙(c,0),设椭圆离心率为e.

对于A,|O耳HO&I=104「，即ac=/="一,2,

整理得e?+e—1=0,解得e=^^,又0<e<l,故e=^^,故A正确.

22

对于B,/耳玛&=90°,即冗1A=0,则(G份•(。,一力=0,即ac=〃=片-。2,

整理得/+e-l=0,解得e=±正，又0<e<l,故e=±如，故B正确.

22

答案第10页，共27页

22.2

对于C,P£lx轴，由Ar方=1,解得y=士?

（匕,_____历

不妨设P-c—,P0〃4%即%=砥省，即7h，解得6=c，则a=jH+c2=缶*=卫,

Ia；'—=-2

故C错误.

对于D,易得内切圆半径为RtAOA4斜边上的高，即‘告"若内切圆过焦点斗鸟,

则C=°，整理得,4一3。%2+/=0，

等号两边同时除以a"得/-3e2+l=0,解得62=仝5,又0<e<l厕

2

e2=3^5=5-2^+\=^/5-1］，故《=与1,故D正确,

故选：ABD.

【点睛】求解离心率问题中常用的方法是构造关于4，c的齐次方程，从而得到关于e的方程,

最后求解出e,遇到垂直与平行，常见的方法是将其转化为a力=0和7/%,或者是转化为

匕？火2-1和匕=&，对于D选项的内切圆问题，可以采取代入检验的方法，得到齐次方程，

解出e即可.

11.BCD

【分析】直接求出准线方程即可判断A选项：由|"'|+忸目=2|MN|=6以及抛物线的定义结

合卜尸|+忸即可判断B选项；设出直线A3的方程为丫=丘+1,联立抛物线，由

AF=2F8解出A点坐标，即可判断C选项；由Q4J_O3求得直线A8恒过点(0,4)结合

=-16即可求出面积最小值，即可判断D选项.

答案第11页，共27页

由题意知E的标准方程为/=4y,故E的准线方程为y=T,A错误；

设A8的中点为M,分别过点A,B,M作准线的垂线，垂足分别为C,D,N,

因为M到x轴的距离为2,所以|MV|=2+1=3.

由抛物线的定义知|Aq=|AF],忸4=忸尸|,所以21MV|=|Aq+|阳=|"|+|师|=6.

因为|阳+忸尸隹|明,所以归6,所以B正确；

由AF=2FB得直线过点尸（0,1）,直线AB的斜率存在，

2

设直线AB的方程为y="+1,联立方程得[V¥L化简得%-4fcv-4=0,

[x-=4y,

则/乙,=-4.由于AF=2FB，所以（f,1一以）=2（*8，力一1）,得乙=一24,

得4=±2及，所以%=；*；=2,

所以％=土乎，直线A3的方程为丫=土变x+1,故C正确；

2

±

y=4

设B（x,,y2）,由OA_LO8,得％刍+丫跖=0,又，2

强

%=4

所以+」（玉心）2=0,由题意知x/H。，所以X|W=-16.

16

又3屋：必一%.才一才一演+X2,故直线AB的方程为y-y=少产（x-xj.

x,-xx7-x4

答案第12页，共27页

由于y=江，所以丫=写玉》一个=^^+4,

4444

则直线A8恒过点(0,4),所以=:义4N72|=2而+々)2+64>16,

所以JOB面积的是小值为16,故D正确.

故选：BCD.

12.BCD

【分析】A根据耳母,的关系讨论〃=1、/22求通项公式即可；B由递推式可得

%=q+(2+3+4+...+〃)即可求通项公式；C构造数列｛殳｝即可求通项；D应用数学归纳法

n

求证通项公式即可.

【详解】A：九=1时，4=S]=2-3+4=3,当〃22时，

4=5“-5"7=2〃2-3〃-2(〃-1)2+3(〃-1)=4〃-5,而％w4xl—5=-1,故错误；

B：由题设，生=4+2,%=%+3,%=。3+4,%=/+5,…，则

―「“、c(n+2)(n-l)2m十地

。“=q+(2+3+4+…+〃)=2+^---------=n+-n-+--2,故正确；

C：由题设，仁=%，而==2,则%=2,即%=2”,故正确；

n+ln1n

D：假设成立，当〃=1时，%=$吟,即％=0=1-1成立；

若”时，ak=k-\成立,则”=2+1时，

〃_ce_^+V)aM-kak_(.k+\)ak+l-k(k-1)

uk+\-A+i-%-2—2，

此时仇-1)田田=%依-1),则为句=&也成立，故正确.

故选：BCD

13.①③④

【分析】设正方体棱长为1,DP=x,求出PA「，PE2,由尸外=26解得x(0<x<l),

确定①正确，由正方体性质得出AG_L平面BB⑷。，从而由4G与平面APE的位置关系判

断②，考虑到P到平面AgE的距离为变，从而易判断④，以D4,DC,O〃为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，设正方体棱长为2,设尸(0,以0),(0</«<2),由空间向量法求得P到AE的

距离，由距离的变化规律判断③.

答案第13页，共27页

【详解】设正方体棱长为1,DP=x,

由平面ABC。，APu平面ABC。得4A同理PCLEC,

所以用=W+A^+OL=2+/,Pf2=PC2+CC2+C,£2=1+(1-X)2+-=-+(1-X)2,

44

由2+/=二+(1一x)2得x=1，存在尸使得PA=PE,①正确，

48

正方体中，由8用，平面ABC.,A&U平面ABCIR，则881J.AG，AG^BQ,,

BB,cBR=B],B用,BQu平面88QD,所以Ag_L平面88aO,

若平面PAtE，平面BDR与，则AG<=平面PA,E或A©//平面PAE,

但当P在。。上移动时，AC与平面如逐总是相交，②错；

正方体中，CD//平面ABCR,PeCD,所以「到平面ABIGR的距离不变，即P到平面

A4E的距离不变，而面积不变，因此三棱锥尸-AgE,即四面体的体积不

变，④正确；

以DA,DC,DR为x，%z轴建立空间直角坐标系，如下图，

设正方体棱长为2,则AQ,0,2),E(l,2,2),设P(0,九0),(0<m<2),

PE="1+(加-2)2+4=yjm2-4/M+9，

PE=(l,2-m,2),AE=(-l,2,0),,同=逐，

cos<PE,AtE>=(1'；(T2,0)=:12.,

\l5-\Jm2-4m+9V5-VAH2-4机+9

设尸到直线AE的距离为d,则

答案第14页，共27页

d=|PE|sin<PE，AE>=&*4〃7+9.「（厂：=J〃『-前+36=7时+20

11V♦•，苏-4雨+9V5V5

由二次函数性质知0Mm42时，丫=（机-4）2+20递减，所以d递减，又仲=有不变,

所以！A/E的面积为；|4同3递减，③正确，

故答案为：①③④.

【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，用空间向量法确定空间的距离和角，用空间向量

法研究空间图形的位置关系.

14.2—V3和2-I—>/3

33

【分析】设出直线AB的方程，联立直线与圆的方程，由忸耳=3|/训求解直线方程，根据圆

心与切线关系判断直线A8与切线距离.

【详解】因为（3—2）2+（0-1）2<4,所以点P（3,0）在圆C内，即尸点在弦A3上，

因为点P在x轴上，点A在x轴上方，所以点8在x轴下方，则可作出图象如下图所示.

答案第15页，共27页

x=my+3

则/7/八2,，整理得(加+1y2+(2%-2)y-2=0,

(x-2)=4

由直线AB与圆。相交两个不同的点可得，该方程有两个不相等的实数根，

设4&，乂），8（9,%）,由题意知外<0<y,则为+必=2；，乂必=一一

m+1m+1

因为怛H=3|尸A|,所以|0-%|=3'-0|，即-必=3不

则乂+%=-2凹=浮?，即乂=牛=，由%>0可得勿>1,

所以XM=_3yJ―=Y—,整理得〃/_6帆+]=0,

Izn+1）m+1

解得见=3-2&,㈣=3+2近，根据力>1可得m=3+2行，

贝IJ直线AB的方程为x=（3+2后）y+3,一般式为（3+20）y-x+3=O,

,3+20-2+34+2&_2r-

则圆心C（2,l）到直线AB距离为=小+2拉）H而无丁,

因为圆心C（2,l）到与直线AB平行的圆的切线距离是半径2,

所以直线AB到与其平行的圆的两条切线距离分别是2-1>/3^2+|V3.

故答案为：2—和2+彳6

33

15.2+\/3/>/3+2

【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出|「用，|P用，在

△玛中结合余弦定理即可列出方程求解.

答案第16页，共27页

【详解】设椭圆口标准方程为5+营=1(4＞々＞0),椭圆离心率为G，

a\4

22

设双曲线标准方程为今―与=1(出＞0也＞0),双曲线离心率为e,,

由题可知：=

设|尸盟二〃2,|P国二〃，

m+〃=2q,①

则4加-〃=2叼,②，

4c2=m2+n2-2n?z?-cos—,(§)

、6

由①②得，加=《+4,〃=4一〃2，

代入③整理得，4/=(2-后W+(2+6.,

两边同时除以C?得，4=与叵+"支，

qei

即4=(2-冲；+生£,

,2

即(2-句e；-4e；+2+后=0,

解得e；=(2+百/，即6=2+6.

故答案为：2+6

【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义,

结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.

16.9

【分析】首先通过试值法可知，当机=2或3不满足题意，当机=4或5时满足题意，然后证

明当加26,zneN不满足题意即可.

【详解】当机=2时，显然不合题意；

当〃?=3时，因为k-《+1|42(/=1,2),

所以同一生1+1%-闻＜5,不符合题意；

答案第17页，共27页

当加=4时,数列为3,2,4,1,此时何一生1+同一局+|4-%|=6,

符合题意，

当机=5时，数列为234,5,1.

此时I4一02|+|02-4|+|4一。4|+|%-国=7,符合题意；

下证当m26时,不存在机满足题意.

令〃=|%-%+||（%=1,2,.,机一1）,

则14伪V44LVbg，且X4=机+2,

1,（4=1,2,，加一2）

所以外有以下三种可能:①b=

k4,供=加-1）

L（Z=1,2,,加一3）

1,伏=1,2,，6-4）

②bk=<2,（k=m-2）；③瓦=

2,（&二机一3,加一2,〃2—1）

3,（%=加一1）

|l,a=l,2,，机一2）,,

当4=匕〃n时，因为4=4=L=九一2，

[4,（%=机-1）

即鼠一一