2-2-2直线的方程-2022-2023学年高二数学上学期知识梳理考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)(解析版)

第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程知识梳理1.直线与方程一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)=0的直线.此时，为了简单起见，“直线l”也可说成“直线F(x，y)=0”，并且记作l:F(x，y)=0.2.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y-y0=k(x-x0)适用条件斜率存在3.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式y=kx+b适用条件斜率存在点睛：（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.（2）直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然.因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.4.直线的两点式方程两点式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2图示方程式适用条件斜率存在且不为0点睛：（1）若直线l过点A(0，b)，B(a，0)，且ab≠0，则直线l的方程可利用两点式得出并化简为=1的形式，这一方程形式可以称之为直线的截距式方程，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.（2）若直线l的方程为=1，则①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+；②直线与坐标轴围成的三角形的面积为S=|ab|；③当直线在两坐标轴上的截距相等时，直线l的斜率k=-1，故常设直线方程为x+y=a.5.直线的一般式方程所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.常见考点考点一直线的点斜式方程典例1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.变式1-1．经过点（1，2），且倾斜角为45°的直线方程是（）A．y＝x﹣3 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣3 D．y＝﹣x+3【答案】B【解析】【分析】计算，得到直线方程.【详解】，直线方程为.故选：B.变式1-2．过点，斜率为2的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由点斜式定义直接书写即可.【详解】由直线的点斜式方程得，即．故选：A.变式1-3．直线l的点斜式方程为，则（

）．A．直线l过点，斜率为 B．直线l过点，斜率为C．直线l过点，斜率为2 D．直线l过点，斜率为2【答案】C【解析】【分析】结合方程直接判断，找出斜率和定点即可.【详解】∵直线l的方程为，∴直线l的斜率为2，且经过定点．故选：C考点二直线的斜截式方程典例2．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得；【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；故选：C变式2-1．已知直线经过第二、三、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【分析】根据直线经过的象限判断出的符号，由此确定正确选项.【详解】∵直线经过二、三、四象限，∴直线的斜率，．故选：D变式2-2．若直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜截式方程的定义，结合直线方程，即可求解.【详解】由直线，根据直线的斜截式方程的概念，可得直线的斜率为，在y轴上的截距为.故选：B.变式2-3．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】说明选项BCD不满足题意，即得解.【详解】解：在选项B、C中，b1>b2，不合题意；在选项D中，k1<k2，故D错；只有选项A满足题意.故选：A考点三直线的两点式方程典例3．已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选：C．变式3-1．经过点的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】直接利用直线方程的两点式公式求解即可【详解】由已知得直线的两点式方程为，即．故选：D.变式3-2．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（

）A．－1 B．1C．－ D．【答案】C【解析】【分析】先由两点式方程求出直线方程，即可求得在x轴上的截距.【详解】解析：由直线的两点式可得直线的方程为，即6x－y＋1＝0，将代入可得在x轴上的截距为.故选：C.变式3-3．一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点关于轴对称的点，又过即可得解.【详解】首先求点关于轴对称的点，所以反射光线过和两点，故直线方程为：，即，故答案为：.考点四直线的截距式方程典例4．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】【分析】分直线的两坐标轴上的截距为0，不为0时两种情况求解即可【详解】①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，由题意有，则，∴直线方程为满足条件；②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设的方程为．把点代入直线方程得．解得，从而直线方程为.故满足条件的直线方程为和．故选：B．变式4-1．过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】【分析】设直线的方程为，由直线过，得，再由三角形面积得，联立求出方程组的解即可得．【详解】由题意设直线的方程为，直线过，则，直线与坐标轴的交点为,又，，，，时，，由，得或，时，，由，得或，所以直线共有4条．故选：D．变式4-2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(

)A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选：D﹒变式4-3．直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，设出直线方程，将点的坐标代入直线方程，求出参数的值，即可得出直线的方程.【详解】若直线过原点，可设直线的方程为，则有，此时直线的方程为；当直线不过原点时，可设直线的方程为，即，则有，可得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故选：C.考点五直线的一般式方程典例5．直线在轴上的截距是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据轴上的截距的定义，令，求解即可【详解】由题意，令可得解得：故直线在轴上的截距是故选：A变式5-1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】已知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：C．变式5-2．已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可.【详解】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：，所以直线的一般式方程为.故选：C变式5-3．直线经过一、三、四象限的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】结合直线的知识确定正确选项.【详解】直线经过一、三、四象限，如图所示，则，且，则.故选：B考点六直线恒过定点典例6．直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点故选：A变式6-1．不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.【详解】直线，即，令，得，，可得它恒过一个定点.故答案为：.变式6-2．不论k为何值，直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】与参数无关，化简后计算【详解】，可化为，则过定点故选：B变式6-3．方程所表示的直线恒过（

）A．定点 B．定点C．点和点 D．点和点【答案】A【解析】【分析】把方程化为，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为，又由，解得，所以方程所表示的直线恒过点.故选：A.考点七直线的对称问题典例7．已知点关于直线l的对称点为，求直线l的方程．【答案】【解析】【分析】求出线段的中垂线方程即可．【详解】，其中垂线的斜率为，又中点为，∴直线方程为，即．变式7-1．1.已知，直线：(1)直线关于点A的对称直线的方程；(2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设上任意一点坐标，利用对称，求出点关于的对称点，代入到直线中，即可求解出直线的方程；（2）先求出与直线的交点，则反射光线一定经过交点，再在上任意找一点，求出该点关于直线的对称点，则直线就是反射光线所在的直线(1)设点是直线上一点，则点关于的对称点为，因为在直线上，代入得：所以直线的方程为：(2)如图所示，联立与，解得：，所以交点坐标为，在直线上任找一点，比如，求出关于直线：的对称点，则直线BD即为反射光线所在的直线，则由题意得：，解得：则，直线BD为：变式7-2．已知直线l：x+2y-2=0．试求：（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析:(1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所求的直线方程.试题解析：（1）设点关于直线的对称点为，则线段的中点在对称轴上,且.∴即的坐标为.(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由将的坐标代入直线的方程得.∴直线的方程为.点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且的连线与直线垂直建立方程组;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.变式7-3．分别求直线关于轴、轴对称的直线的方程．【答案】关于轴对称的直线方程为：；关于轴对称的直线方程为：.【解析】【分析】根据两点确定一条直线，结合直线的截距式方程进行求解即可.【详解】在方程中，令，则，令，则，所以直线过点和，点关于轴对称的点为，点关于纵轴对称的点为，因此直线关于轴对称的直线过和，所以直线关于轴对称的直线方程为：；因此直线关于轴对称的直线过和，所以直线关于轴对称的直线方程为：.巩固练习练习一直线的点斜式方程1．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（

）A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)【答案】C【解析】【分析】根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】直线的斜率k=tan30°=，由直线的点斜式方程可得y－2＝(x＋)，故选：C．2．过点且倾斜角为的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D3．已知直线的斜率为3，且经过点A(2，1)，则的点斜式方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由点斜式方程的定义直接写出答案即可得出结果.【详解】直线的斜率为3，且经过点A(2，1)，的点斜式方程为：故选：B.4．经过点且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据倾斜角求出斜率，再利用点斜式即可求出.【详解】直线倾斜角为，故斜率为，则直线方程为，即.故选：B.练习二直线的斜截式方程5．设直线y＝2x＋1的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（

）A．k＝-，b＝1 B．k＝-，b＝- C．k＝-2，b＝ D．k＝2，b＝1【答案】D【解析】【分析】由直线方程的斜截式直接得出结论．【详解】直线y＝2x＋1的斜率是2，纵截距是1.故选：D．【点睛】本题考查直线方程的斜截式方程，属于简单题．6．直线在轴上的截距为1，且斜率为，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，由直线的斜截式方程可得直线的方程，变形可得答案．【详解】解：根据题意，直线在轴上的截距为1，且斜率为，则直线的方程为，即.故选：A．7．已知直线：，则直线经过哪几个象限（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．二、三、四象限 D．一、三、四象限【答案】D【解析】分别求得直线的斜率和纵截距，可得直线经过的象限．【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为，所以直线经过第一、三和四象限，故选：．8．直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】作出的图象，由图象可得结论.【详解】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：由图可知：，.故选：B.练习三直线的两点式方程9．过两点的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据两点式方程直接求解即可.【详解】解：∵直线过两点和，∴直线的两点式方程为＝，整理得.故选：C.10．经过点的直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据直线经过两点，利用直线的两点式方程求解即可.【详解】因为直线经过点，利用两点式得直线的方程为，整理得：.故选：D.11．已知直线的两点式方程为，则的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直线的两点式方程为，得到直线过点，，然后由斜率公式求解.【详解】因为直线的两点式方程为，所以直线过点，，所以的斜率为．故选：A【点睛】本题主要考查直线的方程以及斜率公式，属于基础题.12．光线由点射到轴后，经过反射过点，则反射光线方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】求出关于轴的对称点，利用反射光线经过该对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，点关于轴的对称点为，所以反射光线经过，又由反射过点，可得反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线的方程为，即.故选：A.练习四直线的截距式方程13．过点作直线l，满足在两坐标轴上截距相等的直线l有（

）条．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】分截距都为零与截距都不为零两种情况讨论，分别求出直线方程，即可判断；【详解】解：若截距都为零，则直线过，则直线方程为；若截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为：，故满足在两坐标轴上截距相等的直线l有条；故选：B14．过点P（2，3），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是（

）A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0 C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0【答案】B【解析】【分析】设直线的截距式方程，根据题中的条件求解方程中的参数即可得出答案.【详解】设直线方程为，根据题意可得，，解得于是所求直线的方程为，即，选项B正确故选：B.15．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】【分析】讨论直线在坐标轴上的截距为0和不为0两种情况进行求解即可.【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以直线方程为，即；若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即.故所求直线方程为或.故选：D.16．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】分直线过原点、不过原点两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数值，即可得出直线的方程.【详解】若直线过原点，设直线的方程为，则，此时直线的方程为，即；若直线不过原点，设直线的方程为，则，解得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故选：D.练习五直线的一般式方程17．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般式方程，求得斜率，即可求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率设其倾斜角为，故可得，又，故.故选：C.18．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，确定直线的斜率和纵截距的取值即可判断作答.【详解】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C19．过点斜率为－3的直线的一般式方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由点和斜率求出点斜式方程，化为一般式方程即可．【详解】解：过点斜率为的直线方程为，化为一般式方程为；故选：．【点睛】本题考查了由点以及斜率求点斜式方程的问题，属于基础题．20．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】把直线方程一般式化为斜截式，可求得直线的斜率与截距，可判断直线不经过的象限．【详解】由题意可得y=2x+1,斜率k=2,截距b=1,所以直线不过第四象限，选D.【点睛】本题考查通过直线方程的斜率与截距判断直线几何特征，较易．练习六直线恒过定点21．直线所过定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直线化为点斜式，可以看出直线所过的定点坐标.【详解】直线方程可以化为，则此直线恒过定点，故选：D.22．对任意的实数，直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据含参直线的性质化简判断即可.【详解】根据题意，直线方程可写为所以直线经过定点（3，3），选项D正