8.4三元一次方程组的解法（教学设计）七年级数学下册（人教版）

8.4三元一次方程组的解法教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组”8.4三元一次方程组的解法，内容包括：三元一次方程组的定义、解三元一次方程组.2.内容解析本课的主要内容是学习三元一次方程组的解法，由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，所以先结合例子有实际问题引出三元一次方程组，运用类比法学习三元一次方程组的有关概念，然后利用消元思想解三元一次方程组.毕竟三元一次方程组复杂得多，所以在学习的过程中，重点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节，在比较的过程中学习新知识，使学生对消元思想有更深层次的认识.本节是后续学习一次函数求解析式的基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会准确、迅速地解三元一次方程组.二、目标和目标解析1.目标(1)熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会解简单的三元一次方程组.(2)会用三元一次方程组的解法解决实际问题.2.目标解析会用代入消法和加减消元法解三元一次方程组，提高运算技能；通过解三元一次方程组，进一步体会“消元化归”思想；通过学习体会前后知识之间、数学与生活之间的密切联系，发展应用意识.三、教学问题诊断分析学生是在学习了二元一次方程(组)解法和应用的基础上来学习的，已经体会了消元思想，充分发挥正向迁移作用，可温故而知新，七年级学生对新事物感兴趣，有好奇心，学生形象直观思维已较成熟，但抽象思维能力较弱，学生缺乏主动，独立思维能力较差，需耐心指导.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：根据方程组的特点确定先消哪个元，怎么消？四、教学过程设计复习回顾1.解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法和加减消元法消元法2.解二元一次方程组的基本思路是什么？化二元为一元化归、转化思想自学导航小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.这个问题中包含有____个等量关系：10元纸币张数+20元纸币张数+50元纸币张数=12张10元纸币的张数=20元纸币的张数的4倍10元的金额+20元的金额+50元的金额=220元设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可以得到下面三个方程：x+y+z=12①

x=4y②

10x+20y+50z=220③观察方程①、③你能得出什么？都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.如何解三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程解：把②分别代入①③，得解这个方程组，得把y=2代入②，得x=8因此，这个三元一次方程组的解为考点解析考点1：三元一次方程(组)的概念例1.下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.x+y+z=3y+z=4

x+z+w=8

B.x+y+z=0y+2yz=10

解析：A选项中总共含有四个未知数，故不是三元一次方程组；B选项中含未知数的项2yz的次数是2，故不是三元一次方程组；C选项中符合三元一次方程组的概念，是三元一次方程组；D选项中第二个方程分母含有未知数，不是整式方程，故不是三元一次方程组.【迁移应用】1.下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.2x+y=7

5x−2y=3

2x−y=5

B.x−y=2y−z=3

z−m=4

2.【易错题】若(m+2)x+ym+1+z=4是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值为考点2：三元一次方程组的解法例2.解方程组：3x+3z=−12

①3x−4y+5z=9

②

分析：观察可得①中仅有两个未知数x，z，所以可把②③中的y先消去，得到关于x，z的二元一次方程组.解：③×2+②，得5x﹣3z=33.④①与④组成方程组2x+3z=−12

解这个方程组，得x=3

把x=3，z=﹣6代入③，得3+2y﹣4×(﹣6)=12，所以y=﹣152.因此，三元一次方程组的解为x=3

【迁移应用】1.解方程组2x+7y−3z=195x+3y=25

3x+2y−z=18

时，应先消去未知数____，化为关于未知数____和2.解下列三元一次方程组：(1)5x+y+z=1

①2x−y+2z=1

②x+5y−z=−4

③（1）解：①+③，得2x+2y=﹣1.④①×2﹣②，得8x+3y=1.⑤④与⑤组成方程组2x+2y=−1解这个方程组，得x=把x=12y=−1代入②，得z=因此，这个三元一次方程组的解为x=（2）解：①+②，得5x+2y=16.④①﹣③，得2x﹣2y=﹣2.⑤④与⑤组成方程组5x+2y=16解这个方程组，得x=2把x=2y=3代入③，得2+3+z=6，解得z因此，这个三元一次方程组的解为x=2考点3：巧解特殊的三元一次方程组1.用整体思想解三元一次方程组或求值例3.解方程组：x+y=3

①分析：方程组的各个方程中所含未知数的个数相等，且未知数的系数都是1，将三个方程相加再除以2，可得x+y+z=3，用x+y+z=3分别减去每个方程，即可得到方程组的解.解：①+②+③，得2x+2y+2z=6，即x+y+z=3.④④﹣①，得z=0.④﹣②，得y=2.④﹣③，得x=1因此，这个方程组的解为x=1【迁移应用】1.若2x+5y﹣3z=2，3x+8z=3，则x+y+z的值是()A.0B.1C.2D.无法求出2.已知方程组x+y=3a

①y+z=5a

②z+x=4a

③的解使代数式x﹣2y+3z的值等于﹣10，则a3.解方程组：x+y=−1

①解：①+②+③，得2x+2y+2z=0，即x+y+z=0.④④﹣①，得z=1.④﹣②，得y=0.④﹣③，得x=﹣1因此，这个方程组的解为x=−12.用参数法解三元一次方程组例4.解方程组：x:y:z=1:2:3

①解：由①可设x=k，y=2k，z=3k，并代入②，得2k+2k﹣9k=15，解得k=﹣3.所以x=﹣3，y=﹣6，z=﹣9.因此，这个方程组的解为x=−3【迁移应用】1.解方程组：(1)x:y=1:2

①y:z=2:5

②2x+3y+z=26

③(1)解：由①和②，得x:y:z=1:2:5设x=k，y=2k，z=5k，并代入③，得2k+6k+5k=26，解得k=2.所以x=2，y=4，z=10.因此，这个方程组的解为x=2

(2)解：由①和②，得x:y:z=3:4:5设x=3k，y=4k，z=5k，并代入③，得3k+4k+5k=36，解得k=3.所以x=9，y=12，z=15.因此，这个方程组的解为x=9

考点4：构造三元一次方程组解决问题例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，y的值相等.求a，b，c的值.分析：把a，b，c看作三个未知数，分别代入x，y的值，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解三元一次方程组即可.解：根据题意，得三元一次方程组a−b+c=1

4a+2b+c=22

①化简，得a−b+c=1

①②﹣①，得a+b=7.④③与④组成方程组8a+b=0解这个方程组，得a=−1把a=﹣1，b=8代入①，得﹣1﹣8+c=1，解得c=10.所以a，b，c的值分别为﹣1，8，10.【迁移应用】1.已知x−y+12y−z+(x+2)2=20，则x+y+2.已知单项式﹣8a3x+y+zb12cx+y+z与﹣2a42b2x﹣yc4x是同类项，求x，y，z的值.解：根据题意，得3x+y+z=422x−y=12

x+y+z=4x

所以x，y，z的值分别为7，2，19.3.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=20；当x=2时，y=﹣10.求a，b，c的值.解：根据题意，得a+b+c=−2

解这个方程组，得a=1

所以a，b，c的值分别为1，﹣11，8.考点5：三元一次方程组的应用例6.某市筹集了120t抗灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择每辆车的运载能力和运费如下表所示：(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法求出可能的运送方案吗？(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，丙型车有z辆.根据题意，得x+y+z=16

消去z，得5x+2y=40.所以x=8﹣52y由x，y，z是非负整数，可知x与y的和不大于16，所以y的值为0，5或10，所以x=8有三种运送方案：①甲型车8辆，丙型车8辆；②甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车5辆；③甲型车4辆，乙型车10辆，丙型车2辆.【迁移应用】1.某商场推出A，B，C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元.那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，需付款()A.11元B.12元C.13元D.不能确定2.若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18cm，且a+b=2c，b=2a，则a=____cm，b=____cm，c=____cm.3.甲、乙、丙三个数的和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，则