重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题（含答案）

年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（）A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内2.已知是空间中的两条直线，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知集合，若，则（）A.B.C.D.4.若函数在上单调递增，则的最小值为（）A.B.C.D.5.已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则（）A.32B.2C.1D.-16.有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（）A.10种B.12种C.15种D.20种7.已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（）A.B.3C.D.8.设函数，点，其中，且，则直线斜率的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知函数，且，则（）A.是奇函数B.C.的值域是D.在上单调递减10.英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租､水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（）A.若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大B.若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高C.若，则收入增长量是投资增长量的5倍D.若，则收入增长量是投资增长量的11.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线：与相交于点，与的一条渐近线相交于点.记的离心率为，那么（）A.若，则B.若，则C.落，则D.若，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为，平台二有2万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为__________.13.将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为和，则它的高为__________.14.记正项数列的前项和为，若，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.（1）证明：平面平面；（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值.16.（15分）在中，内角的对边分别为，已知，且.（1）若于点，求的长；（2）若为边的中点，，求.17.（15分）某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用表示活动推出的天数，表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：1234567613254073110201根据散点图判断，在推广期内，支付的人数关于天数的回归方程适合用表示.（1）求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（的结果精确到0.01）（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式云闪付会员卡其它支付方式比例商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优悪，其它支付方式的顾客无优恐，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为，享8折的概率为，享9折的概率为.设顾客购买标价为元的商品支付的费用为，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出的分布列，并求.参考数据：设.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是其左､右顶点，点为上异于的点，满足直线与的斜率之积为的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，与椭圆交于两点，当外接圆面积最小时，求直线的方程.19.（17分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）已知数列满足：，且.证明：.2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测数学参考答案一､单选题1-8ABBBDCCA7.题提示：设，则，，则有，解得，即.8.题提示：，令，则，由则有，则.二､多选题9.BCD10.AC11.AC11.题提示：由条件知，联立可得A选项：，则有，所以正确.B选项：由，则有，又，所以，所以，В错误.C选项：由，则，因为在上，所以有，所以正确.选项：由，解得，，由，即，解得，所以，D错误.三､填空题12.13.14.（或）14题提示：易求得.令，则.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.，所以的最小值为（即）.四､解答题15.（13分）解：（1）在中，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.因为，由题意，所以且，四边形为平行四边形，故，因为平面平面，所以平面.因为为平面中两相交直线，所以平面平面.（2）在中，，所以，则两两垂直，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图.则，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.（15分）解：（1）由及余弦定理，有，由及正弦定理，有，所以的面积，从而.（2）在中，由正弦定理，有，所以.因为的面积，所以.，解得或，所以或.17.（15分）解：（1）由，得，设，则.，.把样本中心点代入方程得，所以，即，其回归方程为，当时，..（2）的可能取值为：.分布列如下：0.10.350.150.4所以，购物的平均费用为：.18.（17分）解：（1），设，有，又.由题意，，即，解得.所以椭圆的方程为.（2）设直线，联立，得，设，则，.点到直线的距离为.面积.设外接圆半径为，由正弦定理，有令，则.令，则，因为，所以在上单调递增，从而当，即时，取最小值，即外接圆面积最小，此时直线的方程为：.19.（17分）解：（1）的定义域为，令，则.当时，；当时，.所以，从而，故在单调递增，在上单调递增.的单调递增区间为.（2）当时，由，得