2023-2024学年北京市高二年级上册期末数学模拟试题1（含答案）

2023-2024学年北京市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合4={-3,-2,-1,0,1},8={%|》=1-3〃,"€2},则AB=()

A.{-3,-l}B.{-2,1}C.{-3,—1,1}D.{-2,0}

【正确答案】B

【分析】先利用整数集Z的概念与列举法得到集合B,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为A={-3,—2,—l,0,l},8={x∣x=l-3"∕eZ}={,-5,-2,1,4,},

所以ACB={-2/}.

故选：B.

2.设复数Z满足zS=l,则Z在复平面内对应的点(x,y)的轨迹为()

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

【正确答案】B

【分析】根据复数的几何意义结合共辗复数的概念即可得解.

【详解】设z=x+M,则W=X-ʃi,

由ZG=I得/+y2=l,即Z在复平面内对应的点(χ,y)的轨迹为圆.

故选：B.

3.抛物线y=2/的准线方程是()

1111

A.X=—B.X=——C.y=-D.y-——

2288

【正确答案】D

【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.

【详解】抛物线的方程可化为X2=ɪv

故畀

其准线方程为y=-：

O

故选：D

4.已知｛4｝是等比数列，S“为其前〃项和,那么“q>0”是“数列｛S,｝为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【正确答案】B

分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,

,

充分性：当q>0,q<0时，5,,+1-5,,=¾+1=αl√,无法判断其正负，显然数列｛S,,｝为不一

定是递增数列，充分性不成立；

必要性：当数列｛S,,｝为递增数列时，Sn-Sn.l=an>O,可得4>0,必要性成立.

故"％>0”是"数列｛S,｝为递增数歹『’的必要而不充分条件.

故选：B.

方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系

法.

5.过直线4x+3y+10=0上一点P作圆C:f+y2-2x=0的切线，切点为A,B.则四边形

24C8的面积的最小值为()

A.√6B.C.D.2√3

【正确答案】C

【分析】由切线性质可得与ACB=^2俨A∣∙MC,由勾股定理表示出IPA|，进而得解.

【详解】如图，由切线性质可知，PALAC,PB上BCAPAgAPBC,所以S小0,彳?叫罔，

圆的标准方程为(X-I)2+V=1,圆心为C(l,0),半径为r=1,点C到直线距离d=亨=9'

222

IPA∖=y∣∖PCf-∣4C∣=J∣PC∣-1,要使SPAeB=；-2|PAI-|A。最小，需使IPamm="，故

故选：C

222

6.已知双曲线C：5-马=1的一条渐近线的斜率为6,且与椭圆三+/=1有相等的焦

ab^5

距，则C的方程为（）

A.—-√=1B.x2-^=l

33

22

c.匚D.士-匕=1

9339

【正确答案】B

【分析】根据椭圆兰+/=1的焦距可得双曲线C4-

y=1的焦距2c,根据双曲线C：

5CL

5-4=1的一条渐近线的斜率为6,可得2=6,结合c、2="+从求得“2,6,即可得出

Crba

答案.

【详解】解：因为双曲线C：士―《=1的一条渐近线的斜率为6,

ab"

所以2=6,即b=Gα,

a

椭圆弓+V=I的焦距为4,

22

所以双曲线C「-与=1的焦距2c=4,即c=2,

Crb"

又因C?=+3/=4，解得。2=1，所以"=3,

所以C的方程为人.L

故选：B.

7.己知等比数列｛4｝中，«„>0,其前〃项和为S”，前〃项积为（，且Sz=48,54=60,

则使得T<1成立的正整数〃的最小值为（）

A.10B.IlC.12D.13

【正确答案】C

【分析】根据等比数列前〃项和公式得到首项和公比，进而得到前〃项积为1，再解一元二

次不等式即可.

【详解】等比数列｛%｝中，⅛>0,其前〃项和为S“，且Sz=48,54=60,贝ljq≠l,

组匕0=48

6z=32

λ~q,Wl+?2=1.1

i1，

q=2

ι-q

2

刖"项积北=al∙aiq∙alq

11Yl一M"

'：Tn<\,则口“<0,即∕τi">o,∙.∙"CN+,.∙.n>ll,

2

正整数”的最小值为12.

故选：C.

8.在棱长为2的正方体ABCZ）-AMG。中，M,N两点在线段A,G上运动，且MN=1,给

出下列结论：

①在M,N两点的运动过程中，BoJ_平面8MN；

②在平面CDDC上存在一点P,使得PC//平面BMN；

③三棱锥B1-MNB的体积为定值也；

3

④以点。为球心作半径为2夜的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为3π.

其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.O@④C.②④D.②③④

【正确答案】D

【分析】①建立空间直角坐标系，写出点的坐标，当点N移动到点Cl时，由于

DBBCi=^≠O,故30与BN不垂直，所以①错误；

②证明出线面平行，从而平面CDDc上存在一点P,使得PC〃平面BΛ7N；

③作出辅助线，利用VVMWi=VB-BiMN求出体积为定值；

④得到球面被正方体表面所截得的弧为3个半径为2的;圆弧，求出弧长和.

4

【详解】以。为坐标原点，DA所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，QA所在直线为Z轴,

建立空间直角坐标系，

如图1,对于①，当点N移动到点Cl时，此时8(2,2,0),0((),(),()),G(0,2,2),

则Z)β=(2,2,0),BC1=(0,2,2)-(2,2,0)=(-2,0,2),

因为=(2,2,())•(—2,0,2)=Y≠0,

所以8。与BN不垂直，所以①错误；

对于②，平面BMN与平面BAG为同一个平面，而CR〃BA,

所以当点P在CA上时，总有尸C7/平面BA1G,从而有PC〃平面BMN,所以②正确;

如图连接交于点则故与。为三角形&的高,

3,BQ,AM,B∣N,AC0,BQLA1G,MN

且耳。=；与R=√Σ,

所以SBIMN=^MN∙B、0=；XIX丘=与,

又BqJ_平面AAG。，

故½⅞-Λ≡=%叫MN=；SqMΛ,∙BB∣=g**x2=t,所以③正确；

DA1=DB=DCt=2√2,

以点D为球心作半径为2&的球面，

球面被正方体表面所截得的弧为以A,AC为圆心，3个半径为2的!圆弧,

7

弧长和为=x2兀x2=3兀，所以④正确，

故选：D.

9.已知函数/(x)=%3—3x,下列说法中错误的是()

A.函数/(x)在原点(0,0)处的切线方程是3x+y=O

B.T是函数/(x)的极大值点

C.函数y=cosx+/(X)在R上有2个极值点

D.函数y=cosx~√(x)在R上有2个零点

【正确答案】D

【分析】通过导数的几何意义判断选项A,通过导数确定f(x)的单调性和极值，判断选项

B,进一步通过y=∕(χ)的图象与y=cosχ图象的交点个数，判断选项D,构造函数

y=cosx+∕(x),通过多次求导，判断y=cosx+"x)的单调区间和极值判断选项C.

【详解】∙."(x)=V-3x,.∙.∕(x)定义域为R,

X)=3x1-3,

对于A,由导数的几何意义，函数/(x)在原点(0,0)处的切线的斜率ζ=∕'(0)=-3,

，函数“X)在原点(0,0)处的切线方程为y-0=-3(x-0),即3x+y=0,故选项A说法正

确；

对于B,令/'G)=3χ2-3=0,解得x=—l或X=1,

当x∈(F,τ)u(ι,y)时，附χ)>o,/(x)在区间(-∞,τ)和(l,+∞)单调递增；

当x∈(T,l)时,∕,(x)<0,f(x)在区间(Tl)单调递减，

...f(X)在4-1时取得极大值，在X=1时取得极小值，

.∙∙T是函数/(x)的极大值点，故选项B说法正确；

对于C,y=cosx+f(x),Λy=-sinx+∕,(x)=-sinx+3x2-3,

令g(x)=y'=-sinx+3χ2-3,则⅞,(x)=-cosx+6x,

令∕z(x)=g'(x)=-8sx+6x,则当XWR时，//(%)=sinx+6>0,

ΛΛ(.r)=g'(x)=-∞sx+6x在R上单调递增，

KA(O)=Z(O)=-KO,〃0=g[V=d+π>o,

.∙.现e(θ弓)，使MN)=gD=(),

当X∈(-∞,Λ⅛)时,g'(x)<O,y'=g(x)在区间(-8,飞)单调递减,

当Xe(Xo,+∞)时，g'(x)>O,y'=g(x)在区间(j⅞,+∞)单调递增，

，y'=g(x)在R上的最小值为焉1=g(xO)=-SinXt)+3x；-3=-sin跖+3(*一1),

,

sin%>0,xj-l<O,Λy,nin=g(⅞)=-sinxo+3(x^-l)<O,

XVg(-兀)=g(π)=3(∏2-l)>0,

FO

.∙.3x∣∈(,X),使丫晨=g(%)=0,3¾∈(x0,π),使旷二=g(W)=。,

.∙.当x∈(-∞,Λi)u(x2,+∞)时,y=g(x)>O,y=cosx+/(X)在区间(YOw)和(々,+00)上单

调递增，

当Xe(Xl,w)时，y'=g(x)<O,y=cosx+∕(x)在区间(X∣,Λ2)上单调递减，

.∙.函数y=cosx+∕(x)的极大值点为x∣,极小值点为巧，

.∙.函数y=cosx+∕(x)在R上有2个极值点，故选项C说法正确；

对于D,由选项B的判断知，/(x)的极大值为/(T)=2,极小值为f(l)=-2,

又∙.∙∕(0)=八一&)=/(G)=O，∙∙.y=cosx与y="x)在同一平面直角坐标系内的图象如

下图:

如图可知，y=cos，与y=∕(x)在同一平面直角坐标系下有3个交点，

即方程CoSX=〃力有三个实数解，

即函数y=cosx-/(x)有3个零点，故选项D说法错误.

综上所述，说法错误的选项为D.

故选：D.

10.数列｛《,｝的前〃项和为S“，若q+∕=2,¾t,=5,,+1,则()

A.数列｛叫是公比为2的等比数列B.S6=48

C.R■既无最大值也无最小值D.—+—+>-+—<^7

S”4“2an3

【正确答案】D

【分析】根据4”S“间的关系求出凡,S,,进而判断A,B；然后求出告,根据数列的增减性

判断C；最后通过等比数列求和公式求出,+,+•••+’,进而判断D.

13

【详解】由题意，〃=1时，α2=S1+1=67,+1,又％+%=2,解得：¾=-,¾=-,

"22时，"z,=S,τ+l,则a“M-q=S,,-S“T=a“na"+[=2q,,又虫=3,

a∖

所以数列｛%｝从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；

1,

—M=I

易得，¾=2'',贝iJSf=%—∣=3X24-1=47,B错误；

.3x2"，≥2

所以〃N2时’

综上：FLC值LC错误；

,ICIod-111

〃=1时，一=2<∙γ,溺足题意；n>2f⅛,一=-×τττ，于是,

10110

获尹正确.

T<5∙D

故选：D.

二、填空题

Il.已知向量AB=(1,2),AC=(3,∕n),若ABL4C，则A8+：AC=.

【正确答案】I##2.5

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得〃?，再利用平面向量线性运算和模的坐标表示

求得结果.

【详解】向量A8=(l,2),AC=(3,w),若A8JL4C，有lx3+2m=0,w=-∣,AC=(3,—|)

A*AC=(L2)+扣,一|卜(2，|),

U5

故］

12.设等差数列｛4｝的前一项和为S"，若”必=1,则品=.

【正确答案】27

【分析】根据等差数列的性质结合即詈1=1可得%=3,再根据等差数列前奇数项和的性

质求解即可.

【详解】因为数列｛α,,｝是等差数列，所以也粤=X产=件=2=1,所以%=3,

”505“5a5

S9=9%=27.

故27

13.将函数"x)=sin(2x+］j的图像向右平移e(0<*<π)个单位长度，得到函数g(x)的图

像，若g(x)是奇函数，则。的可能取值有个.

【正确答案】2

【分析】根据函数图像平移得到g(x)解析式，由g(x)是奇函数解出。的取值，再由0<。<兀，

确定取值的个数.

【详解】函数/(x)=Sin的图像向右平移夕(0<夕<兀)个单位长度，得到函数g(x)的

图像，

Λg(x)=sin2(x-9>)+y=Sin(2犬-29+小，

若g(x)是奇函数,则有-即+m=E(.eZ),解得9毛_"(k∈Z),

362

由0<e<π,则k=0时，φ=jZ=—1时，9=0的可能取值有2个.

故2

14.设常数αeR,函数"x)="∙3'+*,若函数y=∕(x)+2α在XwT0］时有零点，则

实数〃的取值范围是.

Γ91'

【正确答案】一〒一个

【分析】令f=3',方程转化为于产+〃=-1在ɔɪ时有解，结合二次函数的性质可求.

a|_3_

【详解】依题意有尸/。)+24=山3'+*20=0在X4-1,0］时有实数根，

当Q=O时显然不成立，故QW0,

设f=3*,由x∈［T,0］得feɪ,l,

方程等价于/+2/=-L在re时有解，

a|_3_

-11「7-

结合二次函数的性质可知y=*+”在_,1上单调递增，值域为-,3,

719I

所以Q----ɜ，解得

91

则实数。的取值范围是〒飞•

山「9Γ

故

15.给出如下关于函数"x)=W”的结论：

①②对∀xγ(0,l),都叫∈(1,M),使得/(X2)=∕(%);

③大o>O,使得/(为)>Λ0;④对VX>0,都有/(x)+e≤e2χ

其中正确的有.(填上所有你认为正确结论的序号)

【正确答案】①③④

【分析】通过导数求原函数的单调区间，对于①作差法比较大小；由单调性判断值域，来判

断②是否正确；对于③化简/(x)-x,构造函数来解决是否存在的问题；作差，构造函数求

最值判断④是否成立.

【详解】函数〃刈=叶9,定义域为(0,+功，

吗F图=2(l-ln2)-∣(l+ln∣)=∣[2-3ln27n∣)

=|(2-lnkx∣U=g(27nl2)<0,

即吗)<f(∣｝故①正确;

r(x)=普，Xe(0,1),∕,(x)>0,/(x)单调递增，x∈(L+∞),∕,(x)<0,/(x)单调

递减，

当Xl=ge(0,l)时，/(x∣)=∕QJ=O,Vx1e(l,-hɔo),都有/(w)>0,找不到Λ2G(1,∙BΛ),

使得/(々)=/(王)，故②错误；

上,、l+lnxl+lnx-x2ʌ.

/(x)-X=---------X=-------------,令〃7(zXλ)=I1+lnx-x2,

XX

11-9V∙2

贝!j∕z,(x)=——2x=-------,x>0,

XX

故Xe(OΛ,(x)>0,〃(x)单调递增，x∈K,+≡o,Λ,(x)<0,〃(x)单调递减，

2

即≡⅞>0,使得/(∙¾)>%,故③正确；

设g(x)=l+lnx+er-e2χ2,函数定义域为(0,+∞),

g'(x)=Le-2e2χ=-2e2χ2+ex+lj(2ex+l)(ex-l),

XXX

Xe(O,J),g'(x)>O,g(x)单调递增，xe(g,+8),g,(x)<O,g(x)单调递减，g(x)有

最大值g1)=0,

22

所以g(x)=l+lnx+erγ2χ2≤0,gp]+]nχ+er≤ex,得^^+e≤e∖

所以对VX>0,都有/(x)+e≤e2χ,④正确;

故①@④

三、解答题

16.某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩

共分成五组:第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］,

得到的频率分布直方图如图所示.且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分

及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入

复试.

频率

07580859095100分数

(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；

(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人,再从这5人中选2人发言,

那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？如果第三、四、五组的人数成等差数列，

规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试,根据频率分布直方

图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？

【正确答案】⑴82.5

9

(2)木；初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试

【分析】(1)根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；

(2)先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再古典概型的公式即可求解；由

第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6,列方程组求出机〃，接着判

断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少X分能进入面

试，由此可得(95-x)x0.04+0.02x5=0.18,即可求解.

【详解】(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为:(80+85)=82.5；

(2)“良好”的学生频率为(0.01+0.07)x5=0.4,“优秀”学生频率为1-0.4=0.6；

由分层抽样可得“良好”的学生有5x04=2人，“优秀”的学生有3人，

将三名优秀学生分别记为A,B,C,两名良好的学生分别记为a,b,

则这5人中选2人的基本事件有：A3,AC,BC,AαA6,3α,3AC⅛C⅛Mb共10利∣,

其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：9种，

所以至少有一人是“优秀”的概率是P=A

由第三、四、五组的人数成等差数列得

(0.02+n)×5×40=2m×5×40=>0.02+n=2m,①

又三，四，五组的频率和为5+0.02+m)x5=0.6,②

由①®可得m=0.04,n=0.06

第五组人数频率为0.02×5=0.1=10%,

第四、五组人数的频率为(0.02+0.04)×5=0.3=30%,

故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设至少得X分能进入面

试，JjllJ(95-x)×0.04+0.02×5=0.18≈>Λ=93,

即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试.

17.如图，在底面是菱形的四棱锥尸一ABCD中，Z4βC=60o,PA=PC=∖,PB=PD,

AB=y∣2,E为线段PZ)上一点，且PE=2ED.

D

（1）若尸为PE的中点，证明：BFimACE,

（2）求二面角P—AC-E的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵巫

13

【分析】（1）连接8。交AC于0,连接0E,因为四边形ABC。是菱形，所以。为3。的中

点.可证E为Ob的中点，即可求证OE〃陟，由线面平行的判定定理即可证明.

（2）连接尸。，可证明POI平面A3。，即可建立空间直角坐标系，求出对应点坐标和对

应平面的法向量即可求解二面角尸-AC-E的余弦值.

【详解】（1）证明：连接BD交AC于0,连接0E,因为四边形ABC。是菱形，所以。为8。

的中点.

又因为PE=2ED,F为PE的中点，所以E为。尸的中点，所以0E//BF,

又因为3尸二平面4CE,OEU平面ACE,所以〃平面ACE.

（2）连接P。，因为B4=PC,所以POLAC,

因为PB=PD,所以POLBD,

而ACBD=O,AC,BoU平面ABa）,所以P。/平面ABa）.

因为在菱形ABC。中，ZABC=60,所以二ACD是等边三角形，即Or>_L4C,

分别以直线OC尸为X轴、V轴、Z轴建立如图所示的空间直角标系，

由尸E=2E£），得E0,坐

rCL八P—X=O

、n∙OC=09n

设平面ACE的一个法向量为4=(xz,y,z,由l得二L

v7

-niOE=0√6；√2

^Ty+~6

令尸1,得用=(θ,l,-2G),取平面PAC的一个法向量为燃=(0,1,0),

则8S%小丽=而=下，

由图知，二面角尸―AC—E的大小为锐二面角,

所以二面角P-AC-E的余弦值为巫.

⑴求/3；

(2)从以下三个条件中选择两个，使ABC存在且唯一确定，并求AC和5。的长度.

条件①：a2-b2+c2-3c=0；条件②。=6；条件③SA8C=15Λ∕5∙

【正确答案】(I)B=笄

(2)选择条件②和条件③；AC=I4,BO=M.

【分析】(1)利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解;

(2)根据(1)的结果，利用余弦定理可判断条件①错误；根据条件②和条件③，利用三角

形面积公式可得c=10,利用余弦定理可得人=14,在_ABC中，利用正弦定理可得SinA=空

14

13

进而得到COsA=-,在AABD中利用余弦定理可得BD=M.

14

【详解】(1)解：因为限OSeT+cos(,+Bl=0,

则ʌ/ɜcosʒ-cosB+sinʒ-sinB+cosɪcosB-sinɪsinB)=0,

(Csinʌf-cosB-lsinB

ʌ/ɜ-λCOS5+——ʌ/ɜcosB+sinB=2sinfB+j=0,

2222

/

又O<8V4,解得：BΛ--=7t,故8=—.

(2)解：由⑴得ZABC=等

zy2,2_r21

又余弦定理得：CoSNABC一'二」,^a2+c2-b2=-ac,

2ac2

而条件①中/-62+C?-3c=O,所以α=-3,显然不符合题意，即条件①错误,

由条件②4=6,条件③SASC=gαcsin∠ΛBC=15√^,解得C=I0,

由余弦定理可得〃=α2+c2-2αccosZA8C=36+100+60=196,所以6=14.

b，解得SinA=辿

在,ABC中，由正弦定理可得二~

sinArsinZABC

冗13

又OCA所以COSA=,

314T7

因为3。为AC边上的中线，所以Az)=S=7,

在AABO中，由余弦定理可得B£)2=4)+4)2-2ABXA。XCoSA=19,解得BO=M.

故AC=14,8O=M.

22

19.已知椭圆G%∙+方=l(">6>0)的离心率为g，右焦点为凡点A(4,0),且依日=1.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线/(不与X轴重合)交椭圆C于点用，N,直线ΛM,NA分别与直线x=4

交于点P,Q,求NPFQ的大小.

22

【正确答案】⑴工+匕=1

43

(2)NPFQ=90。

c_1

=f

【分析】(1)由题意得a2求出”,c,然后求解A即可得到椭圆方程.

a-c-∖,

(2)当直线/的斜率不存在时，验证尸P∙FQ=O,即NPFQ=90。.当直线/的斜率存在时,

设/:y=%(x-l),其中原0.联立1得(4N+3)x2-8Nx+4N-12=0.由题

3x+4/=12,

意，知A>0恒成立，设M(x∕,9)，N(X2,”)，利用韦达定理，结合直线MA的方程为

y=3⅛(x-2).求出/4,飞］、利用向量的数量积，转化求解即可.

西一2(χl-2)IX2-2)

c_1

【详解】(1)由题意得a=T

a-c=∖,

解得α=2,c∙=1,

22

AW⅛=√α-c=√3.

则FP=(3,-3),FQ=(3,3),故FP∙FQ=(),即NPFQ=90°.

当直线/的斜率存在时，设/：y=k(χ-1),其中⅛≠0.

联立]))'得(4⅛2+3)X2-Sk2x+4k2-12=0.

[3x~+4»=12,

Sk24⅛2-12

由题意，知△>()恒成立，设M(x∕,yι),N(X2,”)，则芭+々——------,X1X,=—-------.

4⅛2+3-4K+3

直线MA的方程为V=-¾(χ-2),

Λ∣-Z

即「4,二¾,同理可得Q4,且、

令x=4,得)3=ɪ

X—2

1Ix∣-2jIX2-2)

所以FP=3,

IX「27

,4y,y,4⅛2(%-1)(Λ,-1)4Λ'Γxx-(x+x)+ll

ιIll2l2

因为FP∙FQ=9+-------?=9+/'I八/J=9+―~∣?，~~J

(xl-2)(X2-2)(xl-2)(x2-2)xlx2-2(xl+x2)+4

22

.l2(4Λ-12Skɔ

软⅛2+3^4p+3+14⅛2Γ(4Λ2-12)-8⅛2+(4Jt2+3)^lL

=9+―丫4，)=9+-ʃlɪʌ——---------ʌ---------21=0,所以/PfQ=90,

222

4⅛--1216⅛-ɪ1(4⅛-12)-16⅛+4(4Λ+3)

4fc2+3-4⅛2+3

综上，NPFQ=90。.

20.已知函数f(x)=>：—1-or.

⑴当4=2时，求曲线y=∕(x)在点(Ij(X))处的切线方程;

⑵若ICa<2,求证：/(x)<-L

【正确答案】(l)y+3=0;

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用导数的几何意义求y=∕(χ)在(ι,∕(χ))处的切线方程即可.

(2)将问题转化为证明g(x)=也二ɪ-以+l<0在(0,+8)上恒成立，求导得

X

g,(X)=.2TntaX,构造中间函数求判定g'(χ)的单调性和零点%的区间，进而得到

X

g(x)≤g(∕),再利用导数研究g(Λ0)在七所在区间的符号，即可证结论.

【详解】(1)由题设，/(X)=@U-2x,则r(x)=一2,

Xx^

所以广⑴=。，W/(D=-3,

所以曲线y=∕(χ)在点(IJ(X))处的切线方程为y+3=0.

(2)由/(x)<-l,即皿二ɪ-ɑrflvθ,令g(x)也二Lar+1且定义域为(0,y),

XX

2-InX2-lnx-αx2

所以g'(x)=ʒ-------a

若〃(x)=2-InX-QK*,可得//(X)=-L-2办<0,又l<.v2,

X

所以g'(x)在(0,+8)上递减,g'(l)=2-α>0,g∖e2)=-a<O,则存在Xoe(I,e?)使上(Xo)=O,

所以(0,J⅛)上g'(x)>O,(∙⅞,+8)上g'(x)<0,即g(x)在(0,%)上递增，在(X(),+∞)上递减.

所以g(x)≤g(Xo)=M∙r°7-αX(,+l,又InXo=2-α⅛,故g(x0)=">一?叫，

⅞⅞

令夕(X)=I+x-2aχ2,则d(X)=I-40V且χw(l,e?),故而(x)<0,

所以e(x)在(1,/)上递减，则φ(x)≤以D=2(1-α)<O,即g(x0)<O在(1,/)上恒成立，

综上,g(x)≤g(%)<O,B[J/(x)<-1,得证.

关键点点睛：第二问，将问题转化为g(x)=Jɪ-ɑrflvθ在(0,E)上恒成立，再利用中