2023-2024学年江苏省南通市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知4（-1,1）,8（3,1）,C（l,3）,则△NBC的8c边上的高所在的直线的方程为（）

A.x+y+2-0B.x+y=0C.x-y+2=0D.x-y=0

【正确答案】C

【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出.

【详解】边8c所在直线的斜率心＜：=言=-1，

.♦.8C边上的高线斜率4=1.

又边上的高线经过点/（-I,1）,

边上的高线方程为N-1=x+1,即x-y+2=0.

故选：C.

2.当点P在圆x2+/=i上运动时，连接它与定点。（3,0）,线段尸。的中点M的轨迹方程是

（）

A.（X+3）2+J2=1B.（X-3）2+/=1

C.（2x-3）2+4y2=1D.（2X+3）2+4/=1

【正确答案】C

【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用M的坐标表示出尸的坐标，结合P在圆上

得到M的坐标所满足的关系式，即为M的轨迹方程.

【详解】设M（x,y）,尸（毛,％）,因为尸。的中点为"，

,xo+3

AT-

x0=2x-3

y0=^y

又因为P在圆/+/=1上，所以（2x-3『+4/=i,

所以〃的轨迹方程即为（2x-3）2+4/=1,

故选：c.

3.设椭圆C:£+£=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳，玛，P为直线x。上一点，

a~b272

gP与是底角为30。的等腰三角形，则椭圆。的离心率为（）

A.昱B.yC.旦D.-

3224

【正确答案】D

【分析】由EP々是底角为30。的等腰三角形，把|「用=|百闻用a，c表示出来后可求得离心

率.

【详解】解：由题意可得|P用=归工|,乙（GO）,如图，ZW6=4隼=30。，则NPQE=60。，

“PE=30°,

所以|P£|=2|E曰=2(1_c

22

4.已知双曲线力-]=1（。>0/>0）的一条渐近线过点（百,2）,且双曲线的一个焦点在抛

物线/=4仿的准线上，则双曲线的方程为（)

A.《一J1X2

B.--------------1

21282821

">■>2

cy~x~\x/1

C.----------=1D.

4334

【正确答案】C

【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a,b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得C,

由a,b,c的关系，解方程可得a,b,进而得到所求双曲线的方程.

【详解】解：双曲线4-^=1（。>04>°）的一条渐近线过点（若，2），

可得渐近线的斜率为k七哇,

双曲线的一个焦点在抛物线/=4仿的准线夕=-五上，

可得c=V7,

即/+〃=7,

解得a=2,b=5/3，

则双曲线的方程为：=1.

43

故选C.

本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解

题的关键，属于基础题.

5.在数列｛《,｝中，q=20,«„=«„_I-3W>2«eN\则数列｛”“｝的前〃项和取最大值时，n

的值是（）

A.7B.8C.9D.10

【正确答案】A

【分析】由已知得根据等差数列的定义得数列｛““｝是以20为首项，以-3为

公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得勺，令％20,求解即可.

【详解】解：由得又因为％=20,所以数列｛““｝是以20为首项，

以-3为公差的等差数列，

所以。“=20-3（〃-1）=-3〃+23,

令%=-3〃+2320,解得：〃4茎，又〃eN*,所以数列｛%｝的前〃项和取最大值时，〃的

值是7,

故选：A.

6.已知等比数列｛凡｝的前〃项和为S”，若。〃〉0,公比夕>1,%+%=20,%4=64,则S6=

（）

A.31B.36C.48D.63

【正确答案】D

【分析1根据等比中项的性质可得%4=%。5=64,解方程即可得数列中的项，进而可得首

项与公比，求得臬.

【详解】由等比中项的性质得%%=%%=64,

又4+%=20，

%=4a3=16

解得q=16或［6必

a=4

当3时,4=2或q=-2（舍）,

a5=16

匕6时，

当q=±-（舍）,

%=4

a=4

所以3

“5=16'

此时4=1,

q（i-g6

所以£=-）=-M-------叫--OJ，

1一夕1-2

故选：D.

7.若函数/(》)=丘-Inx在区间(1,+8)上单调递增，则实数上的取值范围是

A.(-oo,-2]B.(-oo,-l]C.[2,+a))D.[l,+°o)

【正确答案】D

**

【详解】试题分析：/:4=席』，•••函数/")=Ax-lnx在区间(1,+8)单调递增,

...门、"20在区间(1，+8)上恒成立..•.42」，而l在区间(1，内)上单调递减,

XX

•••上21.二殳的取值范围是[1，+°°).故选D.

利用导数研究函数的单调性.

8.设等差数列｛凡｝,也｝的前〃项和分别是5“,7；,若沪/、，贝IJ端=()

A.1B.—C.—D.1

11178

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可

【详解】因为等差数列｛%｝,也,｝的前"项和分别是&,7；,

%+%5(q+〃5)

广广，生

所以।—=—2~—=---2----=-S-,=---1-0--=——5

4尘他5S+4)1\15+711

22

故选：B

二、多选题

9.已知双曲线。：=-1=1(。>08>0)的左右焦点分别为B,F2,右顶点为4M为04的

a2b2

3

中点，P为双曲线C右支上一点且耳凡，且tan/P4g=：，贝lj()

4

A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为x士岛=0

C.PM平分4P£D.PA=-PF,+^PF1

【正确答案】ACD

3

【分析】在直角三角形";巴中，利用tan2PF\Fz=-列出关于0、b、c的齐次式求出离心率,

从而判断A：根据离心率求出渐近线方程，从而判断B：根据瑞、盟是否相等即可判

断尸M是否平分4尸耳，从而判断C；根据在/|、阳闾的比例关系，利用平面向量的线性

运算即可表示用两、电表示苏，从而判断D.

【详解】由「乙可知归引=?，

尸耳塔

由tan/7卫=—得,3ac=2b2，

1^12c2ac4

即3"=2《2-/),即2e?-3e-2=0,即(2e+l)(e-2)=0,：.e=2,故A正确;

...双曲线渐近线为y=±&故B错误:

由一=2=>c=2a,b=•

a

^\PFA=—=—=-3a,|尸用-|尸&=2〃=|尸耳|=5%

aa

.I际|=5a=5

“

幽

一

卫5

。

4a。2

++居C

C=-=5-a=-=一-

-一---

222222I九3

一

2

...耨.•.根据角平分线的性质可知产加平分/月至，故C正确;

=c-a=2a-a=a,\FlF2\=2c=4a,

万=丽+不=而+；丽=丽+：回-喝=：而+；电,故D正确;

本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式

求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合,

合理运用图形的几何关系.

10.对于函数/（x）=@^,下列说法正确的有（）

X

A./*）在x=e处取得极大值！B.“X）在x=e处取得最大值！

ee

C.〃x）有两个不同零点D./（2）＜/（7t）＜/（3）

【正确答案】ABD

【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B,令函数等于0,求出

零点即可判断C,利用函数单调性即可判断D.

【详解】函数的导数/'（x）==J（x＞0）,

X-

令/（幻=。得彳=6,

则当0＜x＜e时，f'（x）＞0,函数。刈为增函数,

当x＞e时，/'（x）＜0,函数/（x）为减函数，

则当x=e时，函数取得极大值，极大值为〃e）=」，

e

故A正确，

由上述可知当X=e时，函数的极大值即为最大值，且最大值为/（e）=L,

e

故B正确，

由/㈤=0,得lnx=0,得x=l,即函数/"）只有一个零点，

故C错误，

,「八\In2-八In42In2In2

由八2）=可J（4）=丁=丁=^-，

所以〃2）=〃4）,

由X＞e时,函数/（x）为减函数，知/（3）＞/（兀）＞/（4）=/（2）,

故〃2）＜/（兀）＜/（3）成立，

故D正确.

故选：ABD.

11.已知4，%，心，能依次成等比数列，且公比夕不为1.将此数列删去一个数后得到的

数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数4的值是（）

A1+小R—1+,x/5p1+jn—1+＞/5

2222

【正确答案】AB

【分析】因为公比4不为1,所以不能删去卬，/，分类讨论，结合等差数列的性质及等比

的通项公式，即可得到答案.

【详解】•••公比4不为1,•・•删去的不是《与由,

当删去的是七时：

,%，成等差数列，，2%=4+%，即2“闯2=q，

则（I_q2）+（q3_g2）=0,即（”i）（相_b1）=0,又什］,解得g=匕2叵或g=_L^（舍）；

22

当删去的是％时:

•・・％,a2,%成等差数列，.•.24=q+包，即2a闻=q+a闻力

贝U(1—4)+(7—1)=0，即(夕一l)(k+'一1)=0,又gwl,解得q=亚2］或g=一亚;'(舍)，

综上，［=与1或4=誓1,

故选：AB.

12.下列不等式正确的是()

A.当xeR时，ef>x+1B.当x>0时，Inx<x-1

C.当xeR时，ex>exD.当xeR时，xWsinx

【正确答案】ABC

构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.

【详解】对于A：设/(x)=e'-x-1,则/(x)=，-l,令/'*)=0,解得x=0,

当xe(-8,0)时函数单调递减，当xe(0,+8)时，函数单调递增，

所以函数在x=0时，函数取得最小值=/(0)=0,故当XET?时，e，母+1,故A正确；

对于B：设/(x)=lnx-x+l,所以/'(x)=_L-l=±a,

XX

令/"(x)=0,解得x=l,当xe(0,l)时，函数单调递增，当xe(l,+8)时，函数单调递减，

所以在x=l时，/(^)max=./'(1)=0,故当x>0时，恒成立，故B正确；

对于C：设/(x)=e、-ex,所以广(x)=e、-e,令r(x)=0,解得x=l,当xe(一℃,1)时，函

数单调递减，当xe(l,+8)时，函数单调递增，

x

所以当x=l时，f(x)min=f(1)=0,所以当时，eT^ex,故C正确；

对于D：设函数f(x)=x-sin为，则/'(x)=l-cosx开)，所以/(x)是定义在R上单调递增的

奇函数，

所以x>0时，x开sinx成立，x<0时，/(%)<0,故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13.观察数列1,ln2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,则该数列的第11项等

于

【正确答案】Inll

【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节,

依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解.

【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节,

依次出现常数，对数，正弦的形式，

由11=3x3+2,所以该数列的第11项为Inll.

故In11.

14.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.

【正确答案】9

【详解】试题分析.为+1=10=>%=9

抛物线的定义.

【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的

点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离.

15.已知圆C过点。,0),(-3,0),则圆C的方程为—.

【正确答案】x2+y2+2x-3=0

【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.

【详解】根据题意，设圆的方程为―+9+6+切+尸

又由圆C过点(1,0),(0,百),(-3,0),

1+。+尸=0

则有<3+y/3E+F-0,

9-3Z)+F=0

解可得0=2,E=0,F=-3,

即圆的方程为：x2+y2+2x-3=0,

故答案为./+/+2》-3=0

16.设函数f'(x)是奇函数/(x)(xe/?)的导函数./(-1)=0,当x>0时,#z(x)-/(x)<0,

则使得/(x)<0成立的x的取值范围为.

【正确答案】(-1,0)31，+°°)

【分析】构造函数g(x)=与，求解单调性与奇偶性，再结合g(x),x的正负求解.

【详解】令g(x)=〃D，当x>0时，g'(x)=""(X)：/,(")<0,

Xv7X

所以函数g(x)在(O,+8)上为减函数，

又因为/(X)为奇函数，g(x)的定义域为(e,0)U(0,M),

所以g(T)='(X)="x)=g(x)，

—x—x

所以g(x)为偶函数，得g(x)在(-8,0)上为增函数，

因为/(-1)=0,所以g(l)=g(-l)=0，

作出g(x)的大致图象如图所示，

当/(x)<0,x>0时，g(x)<0,得xe(l,+8),

当/(x)<0,x<0时，g(x)>0,得x€(-l,0)

所以x的取值范围为(-1,0)31,”)

故(-1,0)。(1，+8)

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多

问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

17.已知函数/'(x)=sinx-ax+/>⑷6CR)的图象在点(0,/(0))处的切线方程为y=1.

(1)实数。的值；

(2)求函数/(x)在区间［0,1］上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)1；

(2)最大值为6,最小值为sinl-1+b.

【分析】(1)直接利用导数的几何意义求出a；

(2)先利用导数判断单调性，求出最值.

【详解】(1)因为函数f(x)=sinx-ax+b,则/'(x)=cosr-a.

所以/'(0)=cos0-a-\-a.

又函数/(x)的图象在点(0,./(0)处的切线方程为y=l,

所以/'(0)=1-°=0,解得.〃=1

(2)由(1)知，/(x)=sinr-x+i,/,(x)=cosr-l.

在xe［O,l］时，有/"(x)=cosx-140,所以函数段)在区间［0,1］上单减，

所以=/(°)=6，=/⑴=sin1-1+6.

18.已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，q=2,%=2a2+16.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设4=噫％,求数列｛a｝的前"项和.

【正确答案】(1)为=221；(2)S„=n\

【分析】⑴本题首先可以根据数列｛%｝是等比数列将心转化为〃闻2,々转化为。闻，再然后

将其带入%=2g+16中，并根据数列｛凡｝是各项均为正数以及《=2即可通过运算得出结

果；

(2)本题可以通过数列｛〃“｝的通项公式以及对数的相关性质计算出数列他,｝的通项公式，再

通过数列｛4｝的通项公式得知数列｛2｝是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结

果.

【详解】(1)因为数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，%=2%+16,a,=2,

所以令数列｛q｝的公比为夕，%=卬/=2/，a2=atq=2q,

所以2/=4q+16,解得＜7=-2(舍去)或4,

所以数列｛《,｝是首项为2、公比为4的等比数列，a,,=2x4"T=22"T.

(2)因为。=log2%,所以4=2"-1,b„+l=2n+l,%*=2,

所以数列｛2,｝是首项为1、公差为2的等差数列，S"=臂口’〃=〃2.

本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数

列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.

19.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，点尸(4,0).

(1)设。是抛物线C上的动点，求的最小值；

(2)过点P的直线/与抛物线C交于M、N两点，若的面积为6石，求直线/的方程.

【正确答案】(1)2百

(2)x±y-4=0

【分析】(1)设。(xj),由两点间距离公式得|P0|=J(x-2)2+12,利用二次函数的性质可

得结果；

(2)设直线/：x=/ny+4,与抛物线方程联立，结合韦达定理与用WN面积的表达式求解即

可.

【详解】(1)设0(3),则归@=J(x-4)2+j?=J(x-4)2+4x=7(x-2)2+12,

当x=2时，|尸0而„=20.

(2)设直线/：x=W+4,“(X”必),N(x2,y2),焦点尸(1,0).

+4c

；,消去X得、2—416=0,

二乂+力=4机，yty2=-16.

S

AFMN=g四帆-乃卜，他+为尸一如巾2=gj（4加）2+64=小,+4=&J~5,

:.m=±\f

・•・直线/的方程为：X土尸4=0.

20.已知点42,1）在双曲线C：「--J=l（a>l）上.

aa-1

（1）求双曲线的方程；

（2）是否存在过点的直线/与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段48的中点？

若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴[-炉=1

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）代入点42,1）的坐标，解方程可得。的值，即可得双曲线方程；

（2）假设存在，设过的直线方程为：y=k（x-1）-；,4,8两点的坐标为（演，乂），

区，％）,代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可

得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断.

【详解】（1）解：已知点42,1）在双曲线C：《--^=l（a>l）上

aa-1

所以工---3，整理得：a4-4a2+4=0,解得：a2=2,贝=0

aa--1

丫2

所以双曲线方程为.土-产=1

2

（2）解：由题可知若直线存在则直线/的斜率存在，故设直线/的方程为：y=k（x-l）-^

且设交点,乂）,B（X2,y2）

则，2，两式相间得：（&一叼（％+工2）=2（乂-»2）（必+%）

y-72=1

由于为4B中点，则再+x2=2,y{+y2=-1

士一工2

即有直线/的方程：=即》=-工+；

1

y=-x+—

?

■^2X2-4X+5=0

---y2=\

I2，

检验判别式为A=(-4)2-4x2x5=-24<0,方程无实根.

故不存在过点尸的直线/与该双曲线相交48两点，且满足P是线段AB的中点.

21.设■为等差数列｛4｝的前〃项和,已知牝=9,$5=25.

(1)求数列｛4｝的通项公式：

,1

⑵记——,3为数列｛4｝的前〃项和，求北的取值范围.

【正确答案】a)a,=2〃_l(〃wN，)

⑵[I)

【分析】(1)利用等差数列通项公式及前〃项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即

可;

(2)先求出数列物,｝的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出Z,的

取值范围.

【详解】(1)等差数列｛%｝中，£=25,

q+4d=9

_5x4,_

5%H———d—25

解得％=1,d=2,

an=wN*j.

(2)•••b”=-----

1

:・b〃=伽-1)(2〃+1)-X2〃-12〃+l)

n_1

由于2〃+l-1为递增数列,

ZH---

n

,I___n__—___1__<_1

n=1时，取得最小值—,且2〃+112，

3N0+—

n

则夫T,<g，

故Z,的取值范围为.

22.已知函数/(》)=111》+；加-(4+l)M“eR).

(1)当。=2时，求函数夕=/(x)的极值；

(2)求当a>0时,函数片f{x}在区间口,e］上的最小值。(a)；

(3)若关于x的方程/(x)=有两个不同实根X”修，求实数。的取值范围并证明:

芭•马>e~.

【正确答案】(1)极大值为-In2-：，极小值为-2

4

1+—tze2-(«+l)e,0<a<—

2e

(2)Q(〃)=<-Ina——--一1,—<a<1

lae

--a-\.a>1

2

(3)-l<^z<--l,证明见解析

e

【分析】(1)求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果

(2)由函数/(》)的定义域是(0,+8),分为1<-<e和四种情况，进行

aaa

分类讨论即可求出结果；

时，/(力=:加有

(3)根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当

e2

lnX］X2_%］+x2

两个不同实根为"2，满足Ini,=(4+1)芭，lnx2=(tz+l)x2,两式化简得到也已x2-x,,

再

不妨设玉<%，利用分析证明法和换元法即可证明结果.

【详解】(1)当。=2时，函数/(x)=111%+一一3%(%>0).

f\x)=L+2x-3=(2J)(XT),

XX

令八x)=0,得x=］或x=g

当xe(0,g)时，/'(x)>0,/(x)在(0,；)上单调递增，

当xe(g,l)时，/'(x)<0,/(x)在(；,1)上单调递减，

当XW(1,E)时，/'(X)>O,/(工)在(1,+8)上单调递增,

则/(X)在x=：处取得极大值，在x=1处取得极小值.

极大值为/(；)=-ln2_：,极小值为/⑴=2

(2)函数/(x)的定义域是U，e］,

Ia(x」)(x-l)

f(x)=-+ox-(«+1)=-----------------(tz>0)'

XX

当。〉0时，令/'(x)=0有两个解，x=\^x=-.

a

当即22e时，/(x)K0,.•・/(X)在［1©上单调递减，

ea

・•・/(X)在［ie上的最小值是/(e)=l+|«e2-(a+l)e,

当