2023-2024学年山东省诸城高二年级上册期中模拟数学模拟试题（一）（含答案）

2023-2024学年山东省诸城高二上册期中模拟数学模拟试题（一）

一、单选题

1.已知a,b,c为三条不同的直线a,为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若af/b,bua,则B.若aua,bu。,a!lb,则。〃/7

C.若a〃Q，alia,则4D.若ac尸=“，6y=b,acy=c,a//b,

则bile

【正确答案】D

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析.

【详解】若a//。，bua,则“//a或aua,故A选项错误；

若aua,bu（3,a!lb,则a〃尸或a与夕相交，故B选项错误.

若a〃6，alia,则。〃力或au£,故C选项错误；

若arc/?=a,/3y=b,ar>y=c,a//b,则匕〃c,正确，

证明如下：allb,aR,buy,:.ally,

又aua,且ac/=c,.•///0，则b〃c,故D选项正确；

故选：D.

2.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（）

【正确答案】B

【分析】由对角线组成的面称为对角面，易得正方体的对角面是一个矩形，而球截面在矩形

正中间，与矩形的两条边相切，据此即可判断

【详解】由组合体的结构特征可知球与正方体的各切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆

与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合

故选：B

3.已知直线4：（机+2）x+（m+3）y-5=0和4:6x+（2机-l）y=5互相平行，则机=

559

A.4B.—C.4,—D.—1,——

222

【正确答案】B

由“4或44重合直线方程的系数关系，求出机，再代入直线方程验证，排除重合，即可求

解.

【详解】若“〃2或4,4重合，(机+2)(2〃?-1)一6(机+3)=0,

即2利2—3/一20=0,解得，〃=4或，〃=―/,

当加=4时，/,：6x+7y-5=0,l2:6x+ly-5=0,

《4重合，不合题意，舍去;

当77t=-g,/,:x-y+10=0,/2:x-y-^=0

止匕时“4.

故选:B.

本题考查直线的位置关系，要明确直线一般式方程与位置关系的充要条件，属于中档题.

4.经过A(0,2),8(1,0)两点的直线的方向向量为(1.&),则%的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

【正确答案】D

【分析】由两点的斜率公式计算即可.

【详解】解：由己知得&=找=—2.

0—1

故选：D

本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题.

5.平移直线x-y+l=0使其与圆(x-2)2+(y-l)2=l相切，则平移的最短距离为()

A.V2B.2-夜C.72-1D.6+1

【正确答案】C

设直线方程x-y+c=o,则圆心(2,1)到x-y+c=o的距离为卑

=1,求出c,再求平移

V2

的最短距离.

【详解】设直线方程x-y+c=o,

则圆心(2,1)到x-y+c=o的距离为

72

解得c=->

所以平移最短距离/*=0_1,

V2

故选：C

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线，直线到直线的距离公式，考查学生的计算能

力，比较基础.

6.已知圆G：厂+-2mx+-1=。和圆c2：*-+9=0恰有二条公共切线，

则(根-6)2+5-8)2的最小值为()

A.6B.36C.10D.而

【正确答案】B

【分析】由公切线条数得两圆外切，由此可得〃?，〃的关系，从而点。(丸〃)在以原点为圆心,

4为半径的圆上，记尸(6,8),由|PO|求得|「口的最小值，平方后即得结论.

【详解】圆Ci标准方程为机＞+y2=l,G(m0),半径为4=1,

圆G标准方程为f+(y-〃)2=9,G(0,〃)，半径为4=3,

两圆有三条公切线，则两圆外切，

所以=4m2=1+3=4,即病+”?=16,

点。(肛〃)在以原点为圆心,4为半径的圆上，记尸(6,8),

|P4=J(0—6尸+(0-8)2=10,所以|叫"面=1()-4=6,

所以(/"-6)2+(〃-8)2的最小值为6=36.

故选：B.

7.已知P,Q分别为圆M：(x-6)、(y-3)2=4与圆N：(x+4)2+(y-2)2=l上的动点，A为

x轴上的动点，则IAPI+IAQI的最小值是()

A.7B.8C.56-3D.5布-2

【正确答案】C

【分析】作圆N关于x轴对称的圆G,根据两边之差小于等于第三边，两边之和大于等于第

三边，转化为IMG|的长度可得.

【详解】如图，作圆N关于x轴对称的圆G,则圆G:(x+4)2+(y+2)2=l.

所以|AP|+|A。以AM\-2+\AN\-\

=|AM|+|AG|_3N|MG|_3=J(6+4y+(3+2)2_3=5石-3,

当且仅当M,A,G三点共线时，等号成立.

则的最小值为5石-3,

故选：C.

8.如图，已知OE是正,43C的中位线，沿AO将一ABC折成直二面角8-AZJ-C,则翻折

后异面直线AB与OE所成角的余弦值为()

【正确答案】A

【分析】根据为正三角形，。为中点，所以折叠后ADJ.平面BDC,又二面角

3-4)-C为直二面角，以。为原点，分别以QB,DC,DA为x,y,z轴建立空间直角坐

ABDE

付\谪-求\解

标系,分别求得向量/仇外1由cosa=

【详解】因为ABC为正三角形，。为中点，所以折叠后AQJ.平面BDC,

又一面角3-AD-C为直一面角,

所以3Z)J_CD,

以。为原点，分别以。8,DC,D4为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

X

设正三角形的边长为：2,则力仪,0,囱），5（1,0,0）,C（0,1,0）,£0,1,^

AB，庞.=1,若

愀.囹3

异面直线AB与DE所成角acosa

阚.图4

故选：A

本题主要考查空间向量法求异面直线所成角，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

二、多选题

9.下列结论正确的是（）

A.若v直线/方向向量，/上平面a,则人（/leR）是平面a的一个法向量

B.坐标平面内过点几）的直线可以写成A（x—x°）+B（y—%）=0（A2+^w0）

C.直线/过点（-2,3）,且原点到/的距离是2,贝心的方程是5x+12y-26=0

D.设二次函数y=（x-2020）（x+2021）的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐

标轴的另一个交点的坐标为（0,1）

【正确答案】BD

【分析】当4=0时，2v=0.不能作为平面的法向量可判断A；设过点尸（见,%）的直线方程

一般式为凡+外+0=0（4+82=0）,可得C=-4xo-B），°,代入直线可判断B；直线/斜率

存在和不存在两种情况可判断C；求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点，再利用圆的标

准方程性质可判断D.

【详解】对于A,当；1=0时，2v=0.不能作为平面的法向量，故A错误;

对于B,设过点P(x。,%)的直线方程一般式为Ar+By+C=0(A2+B2*0),

可得Ar°+B)，o+C=O,即CM-ATO-B%,代入直线方程得Ar+8)，一/一冲。=0,

提取公因式得A(x-/)+B(y-%)=0(4+二0),故B正确；

对于C,当直线/斜率不存在时，即x=-2,检验原点到/的距离是2,所以符合；

当直线/斜率存在时，设为％,贝心方程为：y-3=&(x+2),即履-y+2Z+3=0,

利用原点到直线的距离d=g隼3=2,解得k=-盘，所以5x+12y-26=0,

故直线/的方程是x=—2或5x+12y—26=0,故C错误；

对于D,由题知，二次函数的图象与坐标轴的三个交点为(0,-2021x2020),(-2021,0),

(2020,0),设过这三个点的圆的方程为％2+歹+“+&+尸=0(。2+£2-4尸＞0),

令丫=0,/+以+尸=0的两根为2020,-2021,由韦达定理知F=-2021x2020,

令尤=0,y2+@+F=0的其中一个根为-2021x2020,所以另一个根为1,

即圆过点(0,1),故D正确.

故选：BD.

10.如图，A4垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A,B任一点，则

F列结论中氐颂的是

A.PBA.ACB.PC1BC

C.AC_L平面P8CD.平面尸ACJ■平面PBC

【正确答案】BD

【分析】由题意结合线面垂直的性质及平面几何知识可得E4,8C、AC1BC,再由线面

垂直的判定、性质可判断B,由面面垂直的判定可判断D；结合线面垂直的判定、性质可判

断A、C；即可得解.

【详解】因为必垂直于以A3为直径的圆所在的平面，所以B4_L8C,PAYAC,

又点C是圆周上异于A,B任一点，所以ACJBC,

对于A,若P8_LAC,则可得AC,平面P8C,则ACLPC,与尸A,AC矛盾，故A错误;

对于B、D,可知8c/平面PAC,所以PC_LBC,由3Cu平面PBC可得平面PAC_L平面

PBC,故B、D正确；

对于C,由AC与PC不垂直可得ACJ_平面PBC不成立，故C错误.

故选：BD.

本题考查了线面、面面垂直的判定与性质的应用，关键是熟练掌握性质定理和判定定理，属

于基础题.

11.以下四个命题表述正确的是()

A.若两条直线互相平行，则它们的斜率相等

B.已知圆C:f+y2=4,点p为直线:+]=1上一动点，过点P向圆c引两条切线出、PB,

A、B为切点,则直线AB经过定点(1,2)

C.曲线a:x2+y2+2x=0与曲线6：丁+产-4》-8丫+初=0恰有三条公切线，则加=4

D.圆x?+y2=4上存在4个点到直线/:》-〉+&=0的距离都等于1

【正确答案】BC

【分析】对于A:当两条直线互相平行，可能斜率不存在即可判断；

对于B:根据AB为切点，得出。OBVPB,由此判断A8在以。尸为直径的圆上，

以此求出公共弦A8的直线方程，找到定点.

对于C:两圆三条公切线，说明两圆外切，两圆心距离应该等于两圆半径之和.

对于D:判断直线与圆上各点距离两个方向的最远距离，两值大于1则有四个满足条件的点.

【详解】对于A:若两条直线平行，则斜率不存在或斜率相等，故A错误；

对于B:设点「(〃?,〃)，因为AB为切点，所以Q4LA4,OBVPB,连接0P,根据圆周角与

圆直径关系可知，A8两点在以0P为直径的圆上，圆的方程为x?+y2f-"，=0,两圆公共

弦AB所在直线方程为"a+〃y=4,

tnx+ny-A

联立方程加H।得4(_"1)+〃(>-2冗)=0,令产1,则)，=2

—+—=1

故B正确.

对于C:曲线G：(x+l)2+r=1-曲线G：(x-2y+(y-4)2=20-〃z,因为两圆有三条公切

线，所以两圆外切，故](1+2)2+(0+盯=J20-M+1,得/片4

故C正确.

对于D:直线x-y+2\[l=0与圆x?+>2=4相切，且x-y+2&=0与x-y+&=0距离为1,

因此圆V+y2=4上存在3个点到直线/：x-y+a=0的距离都等于1

故D错误.

故选:BC

12.如图四棱锥P-ABCD,平面平面ABC£>,侧面PAO是边长为2戊的正三角形,

底面ABC。为矩形，CO=26,点。是9的中点，则下列结论正确的是()

A.CQ_L平面皿>

B.PC与平面AQC所成角的余弦值为也

3

C.三棱锥B-ACQ的体积为60

D.四棱锥Q-ABCC外接球的内接正四面体的表面积为246

【正确答案】BD

【分析】取AD的中点。，8c的中点E,连接OE,OP,则由已知可得QPL平面ABCD,

而底面ABC£>为矩形，所以以0为坐标原点，分别以O2OE,OP所在的直线为x轴，y轴，

z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.

【详解】解：取A£)的中点。，8c的中点E,连接OE,O尸，

因为三角形PAO为等边三角形，所以OP_L4),

因为平面Q4D_L平面ABC。，所以QP_L平面ABCD,

因为4OLOE,所以两两垂直，

所以，如下图，以0为坐标原点，分别以O2OE,。尸所在的直线为X轴，y轴，Z轴,

建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),。(遥,0,0),4-逐,0,0),

P(0,0,3&),C(访2Go),B(-«,2G,O),

因为点。是P。的中点，所以。(2,0,当)，

平面PAD的一个法向量为机=(0,1,0),

QC=(^-,2y/3,-^),显然俄与QC不共线，

所以CQ与平面抬。不垂直，所以A不正确；

PC=(疯2收-3&),AQ=(乎,0,岑),AC=(2跖2"0),

设平面AQC的法向量为〃=(x,y,z),则

■C3瓜3&八

n-AQ=---x+----z=0

*22,

〃.AC=2"x+=0

令x=\,贝ijy=-V2,z=-G,

所以〃=-G），

设PC与平面AQC所成角为夕，

ruun

.nnPC2V61

则milSin0==-7==-,

|H||PC|6m3

所以cos0=2也，所以B正确；

3

三棱锥8-ACQ的体积为

VR-ACQ=^Q-ABC=；S.k；OP

=-xlx2>/3x2V6xlx3x/2=6,

322

所以C不正确：

设四棱锥Q-ABCD外接球的球心为M（0,瓜a）,则MQ=MD,

所以怦［+（可+卜_■、㈣2+（厨卡/，

7

解得a=0,即M(0,百,())为矩形ABC。对角线的交点，

所以四棱锥。-A3。外接球的半径为3,

设四棱锥Q-A8CD外接球的内接正四面体的棱长为x,

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线,

故正方体的棱长为立x,所以3(9/=6\得£=24,

2I2)

所以正四面体的表面积为4x3^=246，所以D正确.

4

故选：BD

此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能

力，属于较难题.

三、填空题

13.点尸(一5,7)至！|直线12x+5y—1=0的反巨离为.

【正确答案】2

【分析】根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.

,、|12x(-5)+5x7-l|

【详解】点P(-5,7)到直线12x+5y-1=0的距离为"=1~涪予~1=2.

故答案为.2

本题考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.

14.一棱长为4的正四面体木块如图所示，P是棱山的中点，过点P将木块锯开，使截面

PFED平行于棱和AC,则截面P、D、E、FPEED的面积为.

V

D

【正确答案】4

利用线面平行的判定定理可得四边形P庄D为所求的截面，易知四边形PFED是边长为2的

正方形，即可求得截面的面积.

在平面VAC内作直线尸EV/AC,交VC于点£),

在平面VBA内作直线PF//VB,交A8于点F,

过点。作直线小〃VB,交BC于点E,

所以PF/DE,

所以P、D、E、尸四点共面，且面尸FED与直线W3和AC都平行，

因为正四面体中VB_LAC,所以

所以四边形灯如是边长为2的正方形，所以面积为2x2=4

故4

本题主要考查了线面平行的判定和实际应用，关键是作出截面，属于基础题.

15.：=(1』,1)是平面厅的一个法向量，如果直线m与平面尸垂直，则直线用的单位方向向

旦T

里八-------

【正确答案】忤享用或卜当,4,/)

【分析】根据题意可知直线机的单位方向向量与：=(1,1,1)共线，进而求出答案.

【详解】由题意，直线用的单位方向向量为因为直线，”与平面尸垂直，所以

b//a)所以设b=>la="(1,1,1)，于是|人|="|J/+/+F=石|4|=1?

3

7373量且迫且

所以b=或6=I33r3

16.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重

心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被

后人称为三角形的欧拉线.已知,AfiC的顶点A（4,0）,8（0,2）,C（0,-3）,则一.4?C欧拉线的方

程为.

【正确答案】2x-y—3=0

【分析】根据一A3C的顶点为4（4,0）,8（0,2）,C（0,-3）,求得重心坐标，结合外心的性质设

一ABC的外心W的坐标，由IW4RWCI求得坐标，然后写出欧拉线方程.

【详解】因为,ABC的顶点为A（4,0）,B（0,2）,C（0,-3）,

所以重心呜

因为线段BC的垂直平分线方程为y=-g,

所以可设一ABC的外心为卬-£|,

贝lj|皿4RWC|,即J（a_4）2+（-；-oJ=卜+1齐］,

解得“W，

5_J_

所以W4~2

11

一一+-

所以该三角形的欧拉线方程为=32

45

4

化简可得，2x-y-3=0.

故答案为.2x-y-3=0

四、解答题

17.在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y-2=0上，③圆截V轴所得弦长为8且圆心E的

坐标为整数：这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.

已知圆E经过点A(-l,2),8(6,3)且_____；

(1)求圆E的方程；

(2)已知直线/经过点(-2,2),直线/与圆E相交所得的弦长为8,求直线/的方程.

【正确答案】(1)(x-3y+(y+l『=25；(2)y=2或15x+8y+14=0

(1)设圆的方程为/+丁+0\+6+尸=0,根据待定系数法求解圆的方程即可；

(2)设圆心到直线的距离为d,则由(1)得d=3,易知直线的斜率存在，故设其方程为

y-2=Z(x+2),进而结合点到直线的距离公式解方程得出=0,k=-1,故直线/的方程

O

为y=2或15x+8y+14=0

【详解】解：选条件①，

(1)设圆的方程为/+/眩+F=0,

'5-D+2E+尸=0

依题意有，45+6O+3E+尸=0,

25+3D+4E+F=0

解得£>=-6,E=2,尸=-15,

所以圆的方程为V+y2-6x+2y-15=0,

即圆E的标准方程为.(x-37+(y+lf=25

(2)设圆心到直线的距离为d,

则弦长L=2J户-d2=8=5/25-6/2=4=d=3，

当直线的斜率不存在时，d=5w3,所以直线的斜率存在，

设其方程为y-2=Z(x+2),即a-y+2A+2=0,

|3%+1+2%+2|15

d=^~~/,1=3,解得&=0,k=_=,

ylk2+l8

所以所求直线的方程为>=2或15x+8y+14=0.

选条件②，

(1)设圆的方程为产+产+6+或+产=0,

因为圆E经过点A(-l,2),8(6,3),且圆心在直线x+y-2=0上

5-D+2E+F=Q

依题意有J45+6D+3E+尸=0,

解得。=-6,E=2,尸=一15,

所以圆E的方程为(x-3y+(y+l)2=25.

(2)设圆心到直线的距离为d,

则弦长L=2A/,-cl?=8=<25-/=4=d=3，

当直线的斜率不存在时，d=5w3,所以直线的斜率存在,

设其方程为y—2=R(X+2),即kx-y+2k+2=0,

”刃=3,解得左=。，k=~,

所以所求直线的方程为y=2或15x+8y+14=o.

选条件③，

设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O,

由圆E经过点A/D、%,3、),故[[455-+D6+02+E3+“F=0=。,

又因为圆截y轴所得弦长为8,

故方程>2+的+尸=0的两个实数根九%的差的绝对值为8.

所以M—对=J(y+%)2-4%必=VE2-4F=8,HP£2-4F=64

5-D+2E+F=0

解方程组卜5+6O+3E+F=0,

£2-4F=64

得£)=—6,E=2,F=—15^D=,E=--,F=,

49749

由于圆心E的坐标为整数，

故圆E的方程为(x-3)2+()，+1)。=25

(2)设圆心到直线的距离为d,

则弦长L==8=^/25^=4=d=3，

当直线的斜率不存在时，1=5力3,所以直线的斜率存在,

设其方程为y-2=%(x+2),即依-y+2L+2=0,

,|3左+1+2%+2|“,15

d=1/,匕3,解得人0,k=-—,

所以所求直线的方程为丫=2或15x+8y+14=0.

本题考查待定系数法求圆的方程，圆的弦长问题，考查运算求解能力.本题解题的关键在于

利用弦长/,半径厂与圆心到直线的距离d之间的关系/=2户不求解.此外，本题的解题

过程中，还容易出现忽视直线斜率不存在的讨论而导致解题不严谨的问题出现，需要格外注

意.

18.如图，六面体48C。“砂G中，四边形ABC£＞为菱形，AE,BF,CG,。，都垂直于平

ABCD.若D4=QH=OB=4,AE=CG=3.

(1)求证：EGA.DF；

(2)求BE与平面EFG4所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)撞.

25

【分析】(1)证明：连接AC,EG,由已知条件，利用平行四边形的判定与性质得到EGAC,

进而得到EGVBF,利用线面垂直的判定定理得到EG上平面BDHF,进而得到

结论；

(2)设ACnBZ)=O,EGCHF=P,由已知条件，利用线面垂直的性质定理和面面平行的判

定定理得到平面A£»HE平面BCGF,利用面面平行的性质定理得到四〃FG,同理可得：

EF//HG,得到四边形EFGH为平行四边形，得到「为EG的中点,从而可得OP_L平面ABCD,

进而可以判定OA,OB,OP两两垂直，依此建立空间直角坐标系。-孙z,进而利用空间向

量计算求解即得.

【详解】(1)证明：连接AC,EG,FH,

由4ECG,AE=CG,可知四边形AEGC为平行四边形.

所以EGAC,而AC_LBO,ACLBF,

所以EG_LBO,EGA.BF,

因为BDCBF=B,所以EG_L平面BDHF,

又OFu平面3OHF,所以EG_LZ)F.

(2)设A(TIBO=O,EGCHF=P,

由己知可得：AE,8F都垂直于平面438,BF,

又：四边形ABC。为菱形，.1A。BC,.•.平面AD//E，平面BCGF,

所以E”〃FG,同理可得：EF//HG,所以四边形EFGH为平行四边形,

所以P为EG的中点，。为AC的中点，所以。尸AE,OP=AE,

从而OP_L平面力BCD,

又。4_LO8,所以。A,OB,OP两两垂直，由平面几何知识，得BF=2.

如图，建立空间直角坐标系。-孙z,

则8(020),EQ也,0,3),F(0,2,2),尸(0,0,3),

所以BE=(2右，-2,3),PE=Q60,0),PF=(0,2,-1).

设平面EFGH的法向量为”=(x,y,z),

n-PE=0x=0

可得

n-PF=02y—z=Qf

令y=L则z=2,所以〃=(0,1,2).

\BE-n\

4A/5

设BE与平面EFGH所成角为仇贝hin6=

\BE\-\n\

本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面平行的判定与性质，考查利用空间向量求线面角

问题，属中档题，关键是根据已知条件，利用有关定理进行论证后建立适当的空间直角坐标

系，进而解决问题.

19.已知圆C：》2+/一4》-4'-28=0及直线/.(，”+l)x+(mT))>=6机GR)

(1)求证：不论小取什么实数，直线/与圆C总相交；

(2)求直线/被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)最短长度为2后，x+y-6=0

【分析】(1)依据题意可知直线过定点，根据定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系.

(2)计算|CM|的长度以及生“,然后依据弦长公式和直线的点斜式可得结果.

【详解】(1)证明：把直线/的方程改写成(x—y)+m(x+y—6)=0.

[x+y-6=0[x=3

由方程组，解得Q.

[x-y=01y=3

•••直线/过定点M(3,3).

圆C的方程可写成(x—2y+(y-2)2=36.

.•.圆C的圆心为C(2,2),半径为6,

定点M(3,3)到圆心C(2,2)的距离为J(3-2尸+(3-2)2=^<6,

.•.点M(3,3)在圆C内.

•••过点”(3,3)的直线/总与圆C相交，

即不论，〃取什么实数，直线/与圆C总相交.

(2)当直线/过定点M(3,3)且垂直于过点M的半径时，

/被圆C截得的弦长|AB|最短.(如图)

二直线AB的方程为y-3=-l(x-3),

即x+y-6=0.

故直线/被圆C截得的弦长的最短长度为2A,

止匕时直线/的方程为x+y-6=o.

20.如图，四边形PCBM是直角梯形，ZPCB=90°,PM〃BC,PM=1,BC=2.又AC=1,

ZACB=120°,AB±PC,直线AM与直线PC所成的角为60。.

(1)求证：PCIAC；

(2)求二面角M-AC-B的余弦值;

(3)求点B到平面MAC的距离.

V21独I

【正确答案】(1)详见解析；(2)7；(3)

【详解】方法1：(1)证明：VPCVBC,PCLAB,，PCJ■平面ABC,PCLAC.

(2)取的中点N,连MN.YPMgN,：.MN£PC,：.MNL平-面ABC.

作N”_LAC,交PC的延长线于E,连接AM.

由三垂线定理得NE二NMHV为二面角M-AC-8的平面角.

♦.•直线4W与直线尸C所成的角为60°,

.,.在R/AA/W7V中，ZAMN=60n.

在AACN中，AN=7AC2+CN2-2AC-CN'COS1200;瓜

在RtAAMN中，MN=AN・cot/AMN=J^cot60°=1.

在RtANCH中,NH=CN・sin/NCH=lXsin60。=除

在RfAMNH中,：乂住而西而^平，•・•cos/MHN=^X|^

故二面角M-AC-B的余弦值为返I

7

（3）作W翘：1发曜于N.；M4C平面MAC,APC1BC,二M4C平面MAC,

点N到平面MAC的距离为

NEJN^H=VS.

MH7

・・•点N是线段8C的中点,

•••点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为纪近.

7

方法2：(1)证明：VPC±BC,PCA.AB,，PC_L平面ABC,APCVAC.

(2)在平面ABC内，过B作8c的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示.

设尸（0,0,z）,则

年（0,0,Z）.证（0>1，Z）-哼4°）=（-率TZ）

cos60°=|cos<AM>赤>1=11J/鼠、、

'：IAM|,|CP|A/3+z2,|zI,

z2得..AM=(-享日,1)

且2>0,;WZ2+3

n*AM=0

设平面MAC的一个法向量为1=,­,.?,则由.

npCA=0

V3I“T3（-冬-1,1）

得［尸-1n-

得2

平面ABC的一个法向量为而二(0,0,1).cos<n.而>=

ln|-|CP|了

显然，二面角〃一AC-B为锐二面角，二二面角M—AC—B的余弦值为返.

7

(3)点8到平面MAC的距离d=|电二‘nI_2-\/21

InI

21.已知圆M的方程为V+(y-2)2=l,直线/的方程为x-3y=O,点P在直线/上，过点

P作圆M的切线物，PB,切点为A,B.

（1）若NAPB=60,试求点尸的坐标;

（2）求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；

（3）求证：经过4,P,M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

【正确答案】（1）（0,0）或修|）;⑵四边形以MB面积的最小值为等，P的坐标为O

（3）见解析.

【分析】⑴设尸（3肛机），连接MP,分析易得MP=2M4=2,即有（3%）?+（〃?-2）2=4,解

可得，"的值，即可得答案；

（2）根据题意，分析易得S四边^^=25/加=用44/>=4/>,又由

AP2=MP2-MA2=MP2-\，当MP最小时，即直线MP与直线/垂直时，四边形布MB面

积最小，设出P的坐标，则有=4=-3,解可得〃的值，进而分析的最小值，求出四

3/1-0

边形面积，即可得答案；

⑶根据题意，分析可得：过A,P,M三点的圆为以MP为直径的圆，设尸的坐标为（3m,m）,

用机表示过A,P,M三点的圆为/+9-2^-利（3》+丫-2）=0,结合直线与圆位置关系，

分析可得答案.

【详解】（1）根据题意，点P在直线/上，

设P（3〃4»7）,连接MP,

因为圆M的方程为/+（丫-2）2=1,

所以圆心M（0,2）,半径r=l.

因为过点P作圆M的切线业1、PB,切点为A、B；

则有PBA.MB,且M4=Affi=r=l,

易得,APMtBPM,

又由乙4尸8=60,即NAPM=30,

则MP=2M4=2,

即有(3%)2+(〃L2)2=4,

2

解可得：机=0或%=e，

即P的坐标为

（2）根据题意，、APM==BPM,则S四边形哂p=25APM=MAAP=AP,

又由4产=MP2-M4?=MP2-1，

当MP最小时，即直线MP与直线/垂直时，四边形出"8面积最小，

设此时P的坐标为（3〃,〃）；有44=-3,解可得〃=：,

3〃一。5

即P的坐标为d）;

此时Mp==也，则四边形pAMB面积的最小值为《Mp2—1=叵；

V1+955

（3）根据题意，w是圆