12.3角的平分线的性质（原卷版）

12.3角的平分线的性质知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究题型一：角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。几何语言：∵OP是∠AOB的平分线,P是OP上任意一点,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是D,C(已知)∴PD=PC(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).【例题1】（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．变式训练【变式1-1】（2022·全国）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，平分，于点，，，则（

）A．28 B．21 C．14 D．7【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（

）A．24 B．27 C．32 D．36【变式1-4】（2020·湖北武汉·八年级期中）如图所示，在△ABD中，∠BAD＝40°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．(1)求证：点E到DA、DC的距离相等；(2)求∠BED的度数．【变式1-5】（2022·江西吉安·八年级期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若，求DE的长．【变式1-6】（2022·山东济南·七年级期中）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，BC=4cm．(1)若ED=2cm，则DC=______cm；(2)求证：BE=BC；(3)若△AED的周长是4cm，AC=3cm，求AB的长．【变式1-7】（2021·云南红河·八年级期末）如图，已知中，是的角平分线，于E点．(1)求的度数；(2)若，求．题型二：角平分线的判定定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言：∵PD=PC,PD⊥OA,PC⊥OB,垂足分别是D,C(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.【例题2】（2021·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：(1)AF＝DE(2)若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．变式训练【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．【变式2-2】2022·河北邯郸·八年级期末）如图，于E，于F，若．(1)求证：平分(2)判断与之间的等量关系．【变式2-3】（2022·河南洛阳·八年级期末）学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．题型三：角平分线性质的实际应用【例题3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（

）的交点．A．三条角平分线 B．三条中线C．三条高的交点 D．三条垂直平分线变式训练【变式3-1】（2021·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（

）A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．以上说法都不正确【变式3-2】（2022·全国·八年级）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个题型四：角平分线尺规作图【例题4】（2021·山东威海·七年级期中）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程（

）已知：钝角∠AOB．求作：∠AOB的角平分线．作法：①在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，交∠AOB内部的点C；③作射线OC．所以，射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．上述尺规作图的依据是（

）A．ASA B．SASC．AAS D．SSS变式训练【变式4-1】（2022·河北沧州·八年级期末）小明用尺规在△ABC上作图，并留下如图所示的痕迹，若AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，在中，请用尺规作图法求作射线，使它平分，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法）【变式4-3】（2022·河南洛阳·八年级期末）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由．【变式4-4】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，点在线段上，//，，．(1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若的平分线交于点，试证明：.请将以下推导过程补充完整．证明：∵AB//CE在和中（

）平分__________在和中．【变式4-5】（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，在中，请用尺规作图法求作射线，使它平分，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法）链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．【真题2】（2022·湖南郴州·中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．【真题3】（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2022·山东省郓城第一中学八年级阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？【拓展2】（2022·四川·巴中市教育科学研究所七年级期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线……，若，则为（

）°．A． B． C． D．【拓展3】（2022·黑