【数学】广东省揭阳市揭东区2023-2024学年高二年级上册期中试题（解析版）

广东省揭阳市揭东区2023-2024学年高二上学期

期中数学试题

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）

A=%2-x-2<04,8=\x\-2<x<0）

1.已知集合1IJ1।贝。AB=）

A.{x|-2<x<-1}B.1x|-l<x<0j

C.{无卜2<尤<2}D.1x|0<x<2j

【答案】C

【解析】X2-X-2=（X-2）（X+1）<0,解得—1〈尤<2,即4={x|-L<x<2},

所以AB=[x\-2<x<2}.

故选：C

2.已知复数z满足（2—i）z=4+3i,则z=（）

A.l+2iB.l-2i

C.-l+2iD.-l-2i

【答案】A

4+3i_（4+3i）（2+i）_5+10i_

【解析】z=

2-i（2-i）（2+i）5

故选：A.

3.已知直线/过点（—2,1）,且倾斜角是T，则直线/的方程是（）.

IC1

A.x+y+l=0B.y=

C.x+2=0D.y-l=o

【答案】c

【解析】由于直线/过点（—2,1）,且倾斜角是则直线/的方程为x=—2,即x+2=0.

故选：C.

4.在正方体ABCD—AiSCbDi中，已知下列各式：

①（AB+BC）+CC］；

③（AB+BBJ+B]G；

④（AV44）+4G.

uuu

其中运算的结果为向量AG的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①：（AB+BC）+CG=AC+CG=AG，故①正确;

②：（的+4口）+。。；=4〃+。。|=AC],故②正确；

③：（AB+34）+4C；=AB|+B1G=AG，故③正确；

④：（A4,+A4）+B©=AB,+Bg=AC,,故④正确.

所以4个式子的运算结果都是AG,

5.如图,在平行六面体ABC。—A4GR中，设45=0,4）=""=。，贝|]5〃=

A.a+b+cB.-a+b+c

C.a-b+cD.a+b-c

【答案】B

【解析】连接AR,如图所示:

BDX=AD]—AB=AA1+AD—AB=c+b—a-

故选：B

6.已知两个向量a=(2,-1,3),b-(4,m,n),且a//B，则m+〃的值为t)

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

4=22A=2

【解析】allb，二mXeR,使Z?=4a,得＜m=,解得：«机=一2,所以根+〃=4

n=32n=6

故选：C

7.设aeR,则是“直线依+y-l=O与直线x+ay+5=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线依+y—1=0与直线x+y+5=0平行，则4=/且“*1x(—1),解得

a=±1,

所以。=一1推得出直线依+y—1=0与直线x+ay+5=0平行，即充分性成立；

由直线依+y—1=0与直线x+ay+5=0平行推不出。=-1,即必要性不成立；

故“a=-1”是“直线公+yT=0与直线x+ay+5^0平行”的充分不必要条件.

故选：A

8.已知点A、5分别在二面角。一/—，的两个面a、尸上，ACLl,BDLI,C、D为

垂足，AC=BD=CD,若A3与/成60。角，则二面角。一/—，为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】如图：

在厂内，过8作3E//DC,且班=£)C,连接CE、AE,

由由则四边形。CEB为矩形，可得CE，/,CE=BD=CD,

ACLI,ACCE=C,AC,CEu平面ACE,

」.NACE为二面角。一/—，的平面角，且//平面ACE,

即BE，平面ACE,

AEu平面ACE,

则

设AC=BD=CD=a,则CE=BE=a,

又直线AB与7所成角为60，

ZABE=60，

得AE=#>BE=ga，

.夫人/…AC~+CE2-AE-1

•,在/\ACE中，cosNACE=-----------------------——,

2ACCE2

.•.NACE=120，故二面角。一/一，的大小为120.

故选：C

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得。分）

9.在空间直角坐标系。孙z中，已知点4（-4,3,—6）,则（）

A.Q4在x轴上的投影向量的坐标为（T,0,0）

B.。4在y轴上的投影向量的坐标为（0,3,0）

C.0A在z轴上的投影向量的坐标为（0,0,6）

D.点A在坐标平面。孙内的射影的坐标为（-4,3,0）

【答案】ABD

【解析】Q4在x轴上的投影向量的坐标为（-4,0,0）,Q4在y轴上的投影向量的坐标为

（0,3,0）,oA在z轴上的投影向量的坐标为（0,0,-6）,点A在坐标平面。町内的射影的坐

标为（-4,3,0）.

故选：ABD

10.直线/:二+'=1中，已知a>0,b>0.若/与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,

ab

则实数对（。8）可以是（）

A.（3,8）B.（1,9）C,（7,4）D,（5,3）

【答案】AC

【解析】因为a>0力>。，

所以直线/与坐标轴围成的三角形的面积为5,

2

则!防210,得aZ?N20,

2

结合选项可知，(3,8),(7,4)满足题意.

故选：AC.

11.已知直角坐标平面x0y内的两点4(8,—6)、8(2,2),贝U()

A.直线A5的一般式方程为4x+3y—14=0

B.线段A3的中垂线所在直线的方程为3x+4y-23=0

C.以向量A6为方向向量且过点P(2,—3)的直线/的方程为4x+3y+l=。

D.一束光线从点B射向》轴，反射后的光线过点A,则反射光线所在的直线方程为

4x+5y—2=0

【答案】ACD

-6-24

【解析】对于A,直线A5的斜率为-----=一，

8-23

4

所以直线A3的方程为y—2=—§(%—2),即4x+3y—14=0,故选项A正确；

对于B,由中点坐标公式可得，线段A3的中点坐标为(5,-2),

-6-243

又直线A5的斜率为------=一，所以线段A3的中垂线的斜率为一，

8-234

3

则线段A3的中垂线所在直线的方程y+2=[(x—5),即3x—4y—23=0.

故选项B错误；

4

对于C,由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线/的斜率为-一，

3

4

由直线的点斜式可知，直线/的方程为y+3=—§(%—2),即4x+3y+l=0,

故选项C正确；

对于D,8(2,2)关于y轴的对称点为9(—2,2),

所以直线AB'的斜率为22；)=-j,则直线AB'的方程为y-2=-1(x+2),

即反射光线所在的直线方程为4%+5y-2=。，故选项D正确.

故选：ACD.

12.已知正方体ABC。—4耳。1，的棱长为2,加为棱CC上的动点，平面a,下

面说法正确的是()

A.若N为。，中点，当AM+MN最小时，——=1--

cq2

B.直线AB与平面a所成角的正切值的取值范围为1,1

C.当点M与点G重合时，若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大

9

D.若点〃为CG的中点，平面a过点8,则平面a截正方体所得截面图形的面积为］

【答案】AD

【解析】对于A：将矩形ACGA与矩形展开成一个平面（如图所示）,

若A"+最小，则A、M、N三点共线,

„11UG、[MCAC2^/^[-

因为CC]//。r1r'l，所以——=——=--—=2-12,

DNAD2V2+2

即乎,G,

所以MC=2—

即黑=¥=1—故人正确;

对于B：当点M与点C重合时，连接A。、BD、AiB.AC,ACi,（如图所示）,

在正方体ABCDAiBiGDi中，CGJ_平面ABC。，BDu平面A8CD,所以BZ）J_CCi,

又因为BD_LAC,且ACnCG=C,所以B£）_L平面ACG,

又AGu平面ACC,所以BD_LAG,同理可证4OL4G,

因为41X18。=。，所以AG_L平面AS。,

易知一A3。是边长为2a的等边三角形，

o2

其面积为5*=剖2码=26，周长为2后x3=6万

设£、F、。、N,G,H分别是Aid,AiBi,BBi,BC,CD,DDi的中点,

易知六边形EFQNGH是边长为役的正六边形，且平面EFQNGH〃平面AiBD,

正六边形E/QVGH的周长为6夜，面积为6XY^X(JI)=36>

则△42。的面积小于正六边形EFQVGX的面积，它们的周长相等，即选项B错误；

对于C：以点O为坐标原点，DA,DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标

系，

贝IJA(2,0,0),B(2,2,0),设M(0,2,a)(0<a<2),

因为AM,平面所以A"是平面的一个法向量，

且AM=(—2,—2,a),AB=(0,2,0),

|cos<AM,AB>|=-/=/G

2Va2+8J/+8

所以直线AB与平面a所成角的正弦值的取值范围为,

32

则直线A2与平面a所成角的正切值的取值范围为］故C错误;

对于D,连接AC、BD,

£>i

E/

设平面。交棱4。于点E1,0,2),M(0,2,1),

所以AM=(-2,2,1),

因为AM_L平面a,OEu平面。，所以

即AM•£>£?=—2》+2=0，得匕=1,所以£(1,0,2),即点E是AZX的中点,

同理点厂是48的中点，贝/〃BQ且E母B。，

所以四边形EFBO是梯形，&BD=2垃，EF=垃，

设a=OE=（l,0,2）,〃=黑=（¥，¥，0），

则a2=5，。♦〃=，

2

所以梯形EFB。的高，即点E到直线2。的距离，为也2_5.〃）2=半,

所以梯形EFBD的面积为S=-x（V2+2&）x逑=2,故D正确；

222

故选：AD.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知x>0,）〉0,x+y=2,则孙的最大值为.

【答案】1

【解析】因为％>0,y>0

所以％+yN2JH

即2而W2,解得孙<1,当且仅当x=y=l时等号成立.

则xy的最大值为1.

故答案为：1.

14.己知空间a=（2,3,1）,6=（T,2,x）,a±b,则忖=.

【答案】28

【解析】由a/匕，且a=（2,3,l）,6=（—4,2,x）,则;）=_8+6+x=0，解得x=2,

故旧=J16+4+4=2'

故答案为：2屈.

15.如图，正三棱柱ABC-A4G中，AB=AAi,则AQ与平面台片C0所成角的正弦值

为.

【答案】&

4

【解析】取中点E,连接AE，GE,如下图所示:

正二棱柱ABC-A}B]Cl,AB=AA1,

则AE_L3C,

因为CG，平面ABC,

AEu平面ABC，所以CC]，AE

而CGcBC=C,则AE,平面34GC,

则ZAC]E即为AG与平面34CG所成角.

因为AB=A4],

当AC二网

所以sin/AGE=<^

1AQ立AC-4

故答案为：亚.

4

16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),8(-2,0),C(1,0),分别以

AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为一一,直线W的一般式方程为

【答案】①.(2,3)②.x+4y-14=0

【解析】分别过"、尸作y轴的垂线，垂足分别为M、N,

:四边形ACG/1为正方形，

Rt&AHM”RtxC4O,可得AM=OC,MH=OA,

VA(0,2),C(1,0),

MH=04=2,AM=OC=1,可得OM=OA+AM=3,

由此可得X坐标为(2,3),同理得到尸(-2,4),

4-31

直线FH的斜率为k=--=—

—2—24

可得直线”的方程为y-3=—工(x-2)，化简得x+4y—14=0.

4

故答案为：(2,3)；x+4y-14=0

四、解答题(共6小题，共70分)

17.在_ABC中，已知4(0,1),6(5,—2),C(3,5).

U)求边所在的直线方程;

(2)求.ABC的面积.

解：⑴8(5,-2),C(3,5),

y—(—2)x—5

边BC所在的直线方程为二:二,即7x+2y-31=0；

(2)设8到AC的距离为d,

则SABC=TA°M，

22

|AC|=A/(3-0)+(5-1)=5,

AC方程为：冷=汽即：4x—3y+3=0

5—13—0

|5X4-3X(-2)+3|29

a=----.----=——

也2+(-3)25

_1_2929

-ABC=5*5'7=耳.

18.已知〃，b,。分别为△A5C三个内角A,5,C的对边，c=6asinC-ccosA.

(1)求A；

(2)若。=2,AABC的面积为百，求人，c.

解：(1)由c=J^asinC-ccosA及正弦定理得J5sinAsinC-cosAsinC=sinC

由于sinCwO,所以sin[A—=

jr

又0<A<»,故4=一.

3

（2）AABC的面积S=gz?csinA=若,故bc=4,

ffil«2=Z?2+c2-2ZJCCOSA故。2+廿=8,解得6=c=2

19.如图，正四棱柱ABC。—44G2底面边长为2,侧棱长为3,E为的中点，F、

G分别为CG、上的点，且CF=2GD=2,求点C1到平面跳心的距离.

解：在长方体ABC。—44GR中，以。为原点，DA，DC、所在直线分别为x、

V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则矶1,2,0）、尸（0,2,2）、G（0,0,l）、C（O,2,3）,

EF=（-1,0,2）,GF=（0,2,1）,设平面所G的法向量为n=（羽y,z）,

n-EF=—x+2z=0.、

则｛.，取z=2,可得〃=（4T2）,

n-GF=2y+z=0

\n-C'F\22x/21

因为C'E=（0,0,-1）,所以，点C到面EFG的距离为d=''=.

\n\A/2121

20.为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”

全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组

别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图:

组数速度(千米/小时)参赛人数(单位：人)

少年组[6,8)300

成年组[8,10)600

专业组[10,12]b

频率

(1)求a,b的值；

(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计

算结果精确到0.01)；

(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，

求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.

解：(1)由频率分布直方图可知

0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1,

a=0.2.

少年组人数为300人，频率4=0.1+0.15=0.25,总人数”=口”=1200人，

0.25

/.Z?=1200-300-600=300.

a=0.2，b—300.

(2)平均速度

v=6.5x0.1+7.5x0.15+8.5x0.2+9.5x0.3+10.5x0.15+11.5x0.1=9.05-

估计本次大赛平均速度为9.05千米/小时.

(3)成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人.

设在成年组和专业组抽取的人数分布为x,»

„,6xy

贝|]---------=----=——.

600+300600300

；.x=4,y=2.

由分层抽样成年组中抽取4人，专业组中抽取2人.

设成年组中的4人分别用A,B,C,。表示；专业组中的2人分别为a,6表示.

从中抽取两人接受采访的所有结果为：

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab共15种.

接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：

AB,AC,AD,BC,BD,C£»共6种.

故接受采访的两人都来自成年组的概率为卷=弓.

21.如图，长方体ABC。—A4G2中，AD=A4j=l,AB=2,点E在棱AB上移

动.

(1)证明：D.E1A.D；

77

(2)AE等于何值时，二面角R—EC—。的大小为'.

解：(1)在如图所示的空间直角坐标系中，A0,1),£>(0,0,0),^(0,0,1),设

E(l,y,0)(ye[0,2])

则°2=a,y,—1),期=(1,0,1),所以〃足0=0,所以。山，4。；

(2)设〃=(〃,％坟)为平面RCE的一个法向量，

nCD[=0-2v+w=0u=(2-y)v

由｛得｛,所以｛

n-D、E=0u+yv-w=0w=2v

TT

因为二面角。一EC-。的大小为7,

7C(0,0,1)-(M,V,H>)2=收

所以cos：