2023年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）

2023年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={刈-2＜尢＜3},8=2,则4。8=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.[1,2,3）

2.已知（3-2i）z=5+K则3=（）

A.1+iB.1-iC.3+2tD.2+3i

3.2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报.图1是2018-

2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比

重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1,图2,以下描述不正确的是（）

亿元图I2018-2022年国内生产总值及其増长速度％

I~|国内生产总值比上年増K,

11492371210207

1200000

<)865151013567

1000000919281

800000

600000

400000

200000

0

20182019202020212022

图1

%图22018-2022年三次产业増加债占国内生产总値比依

100

80

60

40

20

0

A.2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势

B.2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落

C.2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%

D.2020年第二产业增加值较2019年有所减少

4.已知函数/（乃=公05工一/-1有且只有1个零点，则实数a的值是（）

A.0B.1C.2

5.四边形40EH由如图所示三个全等的正方形拼接而成,令

Z.EAD=a,/.FAD~p,则tan(0—a)=()

417

CD

---

A.376

6.已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是

两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的最长棱的长度为（）

A.1£H!H

B.V2

C.V3

D.2

7.下列判断正确的是（）

A.若%>1,则％+六的最小值是5

B.若x<y,则；>:

“y

C.若x6（0,兀），贝！Js讥％+的最小值是

D.若x>y,则工2>y2

8.如图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中7是房

梁与该截面的交点，A,B分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直

于水平面的面）对称，测得柱子C1与C2之间的距离是旧厶（厶为测量单位），柱子C2与C3之间的距

离是26厶.如果把47,B7视作线段，记P1，P2,P3是4T的四等分点，Q1,Q2>Q3是B7的四

等分点，若BQ?=2L,则线段P3Q2的长度为（）

A.V7LB.V3LC.V5LD.2V2L

9.已知长方体ABCO-必当的为中，AB=2,BC=AAt=1,E为4当的中点，则下列判

断不正确的是（）

A.41c〃平面EBQ

B.点片到平面EBCi的距离是苧

C.BjD丄平面EBG

D.异面直线EC与BD所成角的余弦值为笔

10.已知双曲%-泊l(a>0,b>0)的左，右焦点分别为Fi，尸2，点P在双曲线的右支

上，/为△P&Fz的内心，记△PFJ，△PF2I,△/Fi6的面积分别为S「S2，S3,且满足&=52+学

则双曲线的离心率是()

A.V2B.V3C.2D.3

11.已知函数丫=短的图象在点P(a,b)(其中a<2)处的切线与圆心为Q(l,0)的圆相切，则圆

Q的最大面积是()

A.itB.27rC.37rD.4兀

12.已知函数/(%)=V3sin2cox4-2sina)xcosa)x—V3cos2a)x—l(a)>0),给出下列4个结论:

①/(%)的最小值是-3；

②若3=1,则f(X)在区间(一刍招)上单调递增；

③将y=s讥x的函数图象横坐标缩短为原来的?咅，再向右平移点个单位长度，再向下平移1个

单位长度，可得函数y=f(x)的图象，则3=2；

④若存在互不相同的%1，x2,x3G[0,n],使得/1Qi)+/(%2)+/。3)=3,则32,

其中所有正确结论的序号是()

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②

二、填空题(本大题共4小题，共分)

13.在AABC中，。是BC的中点，40=4,点P为40的中点，则而•(而+正)=—.

14.当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来

的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式k(t)=

心©)备，(其中k0为生物死亡之初体内的碳14含量，t为死亡时间(单位：年)，通过测定发现

某古生物遗体中碳14含量为则该生物的死亡时间大约是_年前.

15.已知抛物线C：y2=■的焦点为尸.过点(2Q)的直线,与抛物线分别交于力，B两点，则

\AF\+4|BF|的最小值为.

16.已知三棱锥4-BCD的四个面都是边长为2的正三角形，M是AABC外接圆。1上的一点，

P为线段01。上一点，P0]=存N是球心为P,半径为苧的球面上一点，则MN的最小值是一

三、解答题（本大题共7小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮

的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，在中国新能源

车的销量中更是一骑绝尘，占比约为30%.为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了

10000辆新能源车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间[5,35）（单位：万元）的概率，以及中国新能源

车的销售价格的众数；

（2）若从中国新能源车中随机地抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为X,求X的

分布列与数学期望.

18.（本小题12.0分）

已知数列｛an｝,｛bn｝9%=2,记Sn为数列｛%｝的前n项和,an=b1b2b3...bn.

条件①：｛等+兀｝是公差为2的等差数列；条件②：2+今=1・

从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

（1）求数列｛即｝的通项公式；

n

（2）若d=2-an,求数列｛4｝的前n项和

19.（本小题12.0分）

圆柱。1。2中，四边形DEFG为过轴OiG的截面，DG=4V2.DE=16,△ABC为底面圆01的

内接正三角形，AB//DE.

⑴证明：CO2丄平面ABFG；

(2)求平面FCD与平面ABFG所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆E：圣+，=l(a>b>0)的离心率为苧，右焦点为F(l,0).

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知椭圆E的上顶点4在以点尸为圆心的圆外，过4作圆尸的两条切线％分别与久轴交于

点8,点C,小办分别与椭圆交于点P，点Q(都不同于点力)，记△ABC面积为Si，的面

积为S2,若卜爲求圆尸的方程.

21.(本小题12.0分)

已知Q>0,函数/(%)=e"—Q'2,^(%)=Inx.

(1)若0<Q端,求证:/(x)在R上是增函数；

(2)若存在a,使得/(x)>g(x)+b对于任意的x>0成立，求最大的整数b的值.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以无轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为p=2痘sin(9+》.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线2过点P(l,0),1与曲线C交于A,B两点，Q为弦48的中点，且寻黑方=:，求，的

斜率.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=|x-1|4-|x+3|.

(1)求不等式f(x)S6的解集；

(2)VxG[0,2],/(x)>a|2x+1|,求实数a的取值范围.

答案

I.【答案】c

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】4

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】A

13.【答案】8

14.【答案】17190

15.【答案】13

16.【答案】整

6

17.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可知:

销售价格位于区间［5,35)的概率为:(0.022+0.04+0.017)x10=0.79,

销售价格的众数为：(15+25)+2=20；

(2)根据题意可知X=0,1,2,3,

又P(X=0)=(1-0.3)3=0.343,

P(X=1)=或0.3x(1-0.3)2=0.441,

P(X=2)=《0.32x(1-0.3)=0.189,

P(X=3)=0.33=0.027,

・•・X的分布列为：

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E(X)=0x0.343+1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

【解析】(1)根据频率分布直方图得到概率为(0.022+0.04+0.017)X10,众数为(15+25)+2,

计算得到答案.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

本题考查频率分布直方图的相关知识，众数的概念，离散型随机变量的分布列与期望，属中档题.

18.【答案】解：(1)选条件①：｛等+n｝是公差为2的等差数列.

则?+几=?+1+2(n-1)=2n+3,

.G_九(九+3)

・・3n--2-'

n>2时，即=Sn-Sn-1=吗2-ST器2)=n+1,(n=1时也成立)，

-an=n+1.

若选条件②：,+,=1.

•・•an=b1b2b3

n>2时，言-=b,

an-ln

...£1+丄=1,

anan

an-=1'

数列是等差数列，公差为1，

•­an=2+n—l=n+l.

(2)由(1)可得：选①②都有斯=n+1.

nn

:.cn=2-an=(n+1)-2,

23n

•・•数歹U｛cn｝的前n项和7；=2x2+3x2+4x2+-+(n+1)-2,

27；=2x22+3x23+-+n-2M+(n+1)-2n+1,

相减可得-7；=2X2+(22+23+…+2n)-(n+1)-2n+1=2+2(；了)-(n+1)-2n+1，

n+1

化为：Tn=n-2.

［解析］(1)选条件①:利用通项公式可得争+n=2n+3,化简可得％,n>2时，即=S”一Sn^,

即可得出时.

若选条件②：根据an=儿b2b3…％，可得nN2时，誥=%，代入卷+今=1,化简利用等差

数列的通项公式即可得出时.

nn

(2)由(1)可得：选①②都有即=n+l,cn=2-an=(n+l)-2,利用错位相减法即可得出数

列｛%｝的前般项和

本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)连接CO1，并延长交4B于“，连接。2”，02C,

•・•△4BC为底面圆Oi的内接正三角形，

CHLAB,■：AB/IDE,：.CHIDE,

v四边形DEFG为过轴0i02的截面，

...。1。2丄DE,。1。2nCH=。「二OE丄平面67”。2，

•••DE//FG,FG丄平面CH。？，•••FG丄。。2，

•••DG-4V2>DE-16):.01C=8.0xH-4,CH-12,0x02=4>/2,

2

02C=01c2+。1@=96,02H2=01H2+。心=48,

222

.-.O2C+O2H+CH,02C1O2H,

v。2HnFG=02,

AC02丄平面4BFG；

(2)由(1)可知01。2,CH,DE两两垂直，如图建立空间直角坐标系Oi-xyz,

则C(0,8,0),F(8,0,472)，£>(-8,0,0),

・・.CP=（8,-8,4或），CD=（-8,-8,0），

设平面CFD的一个法向量为为=(%y,z),

则（记•CF=8%—8y+4或z=0

In-CD=-8x—8y=0令y=l,则％=—1,z=2A/2,

由(1)知平面ABFG的一个法向量为/？=(0,8,-472)，

针词酝715

则COS＜。2,>=

同I函~159

・•・平面F8与平面“BFG所成角的正弦值为小一(一斷=等

【解析】(1)连接。。1,并延长交4B于H,连接。2冃，。2。可得DE丄平面CHO2,进而可得FG丄CO2,

可证02c丄。2”，进而可证。。2丄平面力BFG；

(2)由(1)可知。1。2，CH,DE两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面FCD与平面4BFG的一个

法向量，利用向量法可求平面FCO与平面4BFG所成角的正弦值.

本题考查线面垂直的证明，考查面面角的求法，属中档题.

'£_V2

20.【答案】解：(1)由已知得・二F,.-.[«=A：.E;(+y2=i.

c—丄3=12

222

ya=h+c

(2)由(1)知，点4(0,1),过点4作圆尸的切线，当其中一条斜率不存在时不合题意,

可设切线方程为y=kx+1,圆尸的半径为r(0<r<V2，且r丰1),

|k+l|_

得后:一二二(1-丫242+2fc+(1-r2)=0

设切线厶，%的斜率分别为的，k2,则心+心=一鼻，/CiB=1，

由，i：y=kyx+1,令y=0得％=一;；

、

y=kx+14kl

由得（2好+I）%2+4kIX=0,Xp-

y+y=12居+1'

同理Xc=/,XQ=一爲，

Si^\AB\\AC\sinAJ+k鳍11+"能I

S?一^\AP\\AQ\sinA兩热成।赤

4k湖+2品后）+1=4+2［（如+6）2-23統+1=1+2x（表丿=33；

16-16-16-16

13

或

2圆

r=F

2-2-

【解析】(1)根据椭圆的性质与离心率公式即可求解；

(2)设出切线方程，由点到直线的距离可以得出两条切线的斜率关系，易得点8,C的横坐标，再

由切线方程与椭圆联立，根据韦达定理求出P,Q的坐标，代入三角形面积公式化简即可求解.

本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与圆锥曲线的综合，考查方程思想与运算求解能力，

属于难题.

21.【答案】证明：(l)f'(x)=e*-2ax,令t(x)=e*—2a,

v0<2a<e,二令t(x)=ex-2a=0,解得x=ln2a,

*'•f'(x)=ex-2ax在(—8,，n2a)上单调递减，(万2a,+8)单调递增，

又「f'(，n2a)=2a—2a，n2a=2a(l—，n2a),2a>0,ln2a<1,

：.f'r)>f'(ln2a}=2a(l-Zn2a)>0,

即/(x)在R上是增函数，命题得证：

解：(2)存在a,使得e*-a/2+b对于VxeR成立，

等价于存在a，使得e*—7x—对于VxeR成立，

由于a/>o,原题意的必要条件是e、-Inx>b,对VxGR都成立，

设九(%)=e*—=靖一丄黄e1],使得e&=9,B[J—x=lnx,

XLX。00

・•・h(x)在(O,%o)是减函数，在(%o,+8)是增函数，其中靖。=亠，即一%0=仇孙,

x

：•九=九(X。)=e°-lnxQf

x

显然九(%)7n讥=e°-lnx0<h(l)=e<3,

x

由上图知,h(x)min=e°-lnxQ>2,

・••对V%ER,e"-"工>b都成立的最大整数b是2,

以下证明充分性，当b=2时，存在a,使得e"—Q/2)久+2恒成立，ex—ax2>Inx4-2<=>

竺一零二2>a,由上证明知竺岑二存在大于。的正的最小值，

XLXL

故存在大于0的a,使得竺号二2a恒成立，

XL

当b=3时，设3。)=丝等0,

v<p(l)=e—3<0,

故对Va>0,ex—ax2>Inx+3不恒成立，

二存在a,使得/'(x)>g(x)+b对于任意的xeR成立，

综上所述，最大的整数b的值是2.

【解析】(1)对函数求导，讨论单调性，证明最小值大于0即可；

(2)将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断

根的范围即可求解.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.

22.【答案】解：(1)由p=2V^sin(8+力得p2=2psin0+2pcos。，

•••p2=x2+y2>psind=y,pcosB=x,

：.x2+y2=2x+2y,即(x—I)2+(y—I)2=2,

所以曲线C的直角坐标方程为。-I)2+(y-I)2=2：

(2)易知直线l过点P(l,0),设直线倾斜角为a,

则直线I的参数方程为I；=ttia°Sa，«为参数)，

代入(％—I)2+(y—I)2=2得产—2tsina-1=0,易得4=4sin2a+4>0,

设A,B对应的参数分别为0,乃，则ti+t2=2sina,txt2=—1,

二用=I空I=向+切

IPQI