2023届河北省衡水市第十三中学高三年级上册质检三数学试题

2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期质检(三)数学试题

一、单选题

1.已知集合4=卜出42},8={小卜2卜则A「8=()

A.1x|-2<x<2|B.{x|04x<2}

C.{x|x42}D.(x|-2<x<2)

【答案】B

【分析】计算A={x|04x44},8={x|-2<x<2},再计算交集得到答案.

【详解】A={x|Vx<2(={x|0<x<4|,B={x|x|<2)={x|-2<x<2},

所以ACB={H()4X<2}.

故选：B

2.已知z-(l+i)=4,贝I"的虚部为()

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算运算求解.

【详解】因为z-(l+i)=4,所以z=±=2-2i,所以z的虚部为一2.

故选:A.

3.已知a=ln3,/?=k)go2J5,c=2u,则()

A.b<a<cB.a<c<b

C.a<h<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】利用“01分段法”确定正确答案.

J

【详解】因为a=ki3>lne=l,b=log02百<log021=0,c=2~'=^-€(0,1),

所以〃<C<4.

故选：D

4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知

四棱锥P—ABCD是阳马，上平面A3C£>,且EC=2PE，若AB=a,AC=b，AP=c，则。£=

()

A.-a——b+—cB—+2

333333

22r2,2

C.d——h+—cD.d-\--b——c

3333

【答案】C

【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.

1121

【详解】AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-（AC-AP）=-AP+-AC,

3333

AD^BC=AC-AB<

2222

所以DE=AE-AD=AB--AC+-AP=a--b+-c.

3333

故选：C

5.若直线3x+y—a=0是曲线y=；x2-41nx的一条切线，则实数（）

A.1B.-C.-D.-

2222

【答案】D

【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得“.

I44

【详解】因为>=：/一41旧，所以y==即工2+3工一4=0,

2xx

得x=l或x=Y（舍去），所以切点是（1,；）,代入3x+y-4=0,

17

得3+—a=0,a=—.

22

故选：D

6.抛物线C:y2=-i2x的焦点为F,尸为抛物线C上一动点,定点4-5,2）,则|%+归月的最小值

为（）

A.8B.6C.5D.9

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.

【详解】如图，

设抛物线C的准线为/,过户作PCJJ于C,过A作A8_L/于

因为IP用=|PC],所以当A,P,C三点共线时，

|R41+1PF|取得最小值，故|PA|+|尸尸|的最小值为|-51+5=8.

故选:A.

7.《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角

形的圆锥为直角圆锥.如图，△SAB、_SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，月.cosN8OC=§,则异

面直线&4与BC所成角的余弦值为（）

A.-B.迈C.逅D.1

3643

【答案】B

【分析】设AB=6,以点。为坐标原点，OB、0s所在直线分别为z轴，平面A8C内垂直于0B

的直线为无轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线SA与BC所成角的余弦值.

【详解】在圆锥5。中，SO,平面ABC,设48=6,以点。为坐标原点，OB、QS所在直线分

别为y、z轴，平面A8C内垂直于。8的直线为x轴建立空间直角坐标系，

因为cosNBOC=g,所以A（0,—3,0）、*0,3,0）、5（0,0,3）,C（-2及,1,0）,

54=（0,-3,-3）,BC=（-2>/2,-2,0）,

C4“SABC6V6

所以c°s<SA,BC>=ii-ir=7=广=,

加"网，陷372x2^6

所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为逅.

6

故选：B.

8.已知双曲线C:£-g=l（a>（U>0）的离心率为[，左、右焦点分别为RK，设过心的直线/与C的

ab3

右支相交于AB两点，若（KA+耳K）-（4A-6鸟）=0,8玛=，46，则4=（）

A.—3B.—\/2.C.—>/3D.-2

【答案】D

【分析】由（64+耳目・（64-6外）=0可得圈=|带=2c,由%=独名得2<0,此卜-九/

再结双曲线的定义表示出|A£|,怛娟，然后在aAG5和48中利用余弦定理列方程可求得结果.

【详解】因为离心率为力5所以c£=5：,所以C=5/，

3a33

因为（KA+耳心）.（耳4_耳心）=0,

2।,2|UU«|pUl®.

所以,闻=忻勾,即|耳A卜「用=2c,

因为忻A|-|A&|=2a,所以|A用=2c_2a=ga_2a=ga,

因为8£,=2AE,,所以2<0,q=：一吊。、4,[A8|=|A周+忸周=—㈤，

所以|B用=24+,4卜24_九3〃，

周2T大周2防「+,砰_附「

由余弦定理得

2同函一2\AFt\\AB\

4c2+—a2-4c24c2+^a2(l->l)2-^2a-A--a

4=4

2-2c--a2-2c--a(l-A)

A754o

{E简得§(1-4)=1+§(1-2)~-(1-§4)~,

解得A——2,

故选：D

二、多选题

9.如图，在直三棱柱ABC-AB£中，AB=BC=AC=AA1；若8力，4。，则。可能为（）

A.A。的中点B.AC的中点

C.CC,的中点D.4?C的重心

【答案】BCD

【分析】设E,F分别为AC和CG的中点，证明A。，平面BER得。点在平面BE尸内，从而可得

正确选项.

【详解】设E,F分别为AC和CG的中点，因为ABC-A2£是直三棱柱，所以AAL平面ABC,BEu

平面ABC,所以AALBE,又因为A3=5C,E为AC的中点，所以BE_LAC,因为AAIAC=A,

AA，ACu平面AACq,所以BE,平面A4CG，而^Cu平面AACC一则BELAC，又因为

AC=AAi=CCl,4CGA是正方形，EF与正方形4CCA的对角线AG平行，所以又

EFBE=E,EF,BEu平面BEF,所以AC平面8EF,因为BD^AC,所以点。在平面BEF

内.

故选：BCD.

10.已知抛物线C:尤2=4y的焦点为尸，过点F的直线与抛物线C相交于AB两点，下列结论正确

的是（）

A.若A（4,4）,则|AF|=5

B.若E（2,3）,则|A£|+|AF|的最小值为5

C.以线段A3为直径的圆与直线y=-i相切

D.若AF=3FB，则直线A8的斜率为土后

【答案】AC

【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A；过点A作准线y=-l的垂线，垂足为根据抛物

线的定义结合图象即可判断B；设点AB的坐标分别为（丙,％）,（々,％），直线的方程为，=履+1,

联立方程，利用韦达定理求得用+%，为々，从而可得线段A8的中点坐标及长度，再求出中点到准线

的距离即可判断C；根据AF=3FB，可得（-玉』-y）=3（赴,必-1）,结合C选项即可判断D.

【详解】解：抛物线x?=4y的准线方程为y=-l,

对于A,由A（4,4）,得|AF|=4+1=5,故A正确；

对于B,过点A作准线y=-l的垂线，垂足为A,

则|AE|+|=|A目+|N4+1=4,

当且仅当A三点共线时，取等号，

所以|A目+|A尸|的最小值为4,故B错误；

对于C,设点AB的坐标分别为直线A8的方程为y=h+l,

联立方程卜二4二，消去y得/一4日-4=0,

y=kx+i

则办+%2=44,再%2=-4,y+%=4公+2,

则|4同=乂+%+2=4公+4,线段AB的中点为6（2%,2公+1）,

点G到直线V=-1的距离为d=2k2+2=^\AB\,

所以以A8为直径的圆与直线y=-l相切，故C正确；

对于D,因为4/=3尸8，所以（一玉,1一%）=3优，%-1），可得3占=-4，

%+%2=4%

由，=-4,

3X2=-x]

得「解得忆=±3，故D错误.

[-3考=-43

故选：AC.

11.已知动点P到原点。与42,0）的距离之比为2,动点P的轨迹记为C,直线/：3x-4y-3=0,则

下列结论中正确的是()

A.C的方程为卜—1+/4

B.动点尸到直线/的距离的取值范围为

C.直线/被C截得的弦长为立

3

D.C上存在三个点到直线/的距离为:

【答案】AD

【分析】根据两点之间距离公式和题意确定方程，结合圆心到直线的距离即可求解，圆的弦长公式

求法即可进一步求解.

【详解】设P(x,y),因为|POh2|P4],所以"I7=2j(x—2>+/，

所以C的方程为(x-|j+y2=为，故A正确；

因为圆心C(|,0)到直线/:3x-4y—3=()的距离d=|=l<r=g,

所以直线/与圆C相交，且弦长为2，gj-l=平，故C错误;

-7'

动点尸到直线/的距离的取值范围为。,§,故B错误，D正确.

故选：AD.

12.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为尸(力和。利),若g(x)-/(3-x)=2,

/'(x)=g'(xT)，且g(x+2)为奇函数，g⑴=1,则()

A.g(T)=g(3)B.〃2)+〃4)=T

2022

C.g(2022)=1D.Z“k)=-4043

k=\

【答案】ABD

【分析】根据析(x)=g'(x-D逆向思维得到/(x)+a=g(x-l)+b,代入/(x)=g(3-x)+2推出g(x)

的对称轴x=\,即可判断A选项；根据g(x+2)为奇函数推出对称中心(2,0),进一步得出

g(x+2)=—g(x),即g(x)的周期为4,即可判断C选项；由/(x)=g(3—x)—2是由g(x)的图像变

换而来，所以/(x)的周期也为4,进而判断B选项；再算出x=l,2,3,4时的函数值以及一个周期内

的值即可求解，判断D选项.

【详解】因为/'(x)=g'(x—1),所以“x)+a=g(x—l)+6.

因为g(x)-/(3-x)=2,所以g(x)=/(3-x)+2,

用3—x去替x,所以“x)=g(3—x)-2,所以g(3-x)-2+a=g(x-l)+b.

因为g(l)=l，取x=2代入得至i」g(l)_2+a=g(l)+b,na-2=b,

所以g(3-x)=g(x-l),用x+1换x,所以g(2-x)=g(x),

所以g(x)的图象关于直线x=l对称，所以g(-D=g(3),故A正确；

因为g(x+2)为奇函数，贝ijg(x+2)过(0,0),图像向右移动两个单位得到g(x)过(2,0),故g(x)图像

关于(2,0)对称,g⑵=0,所以g(x+2)=-g(—x+2),且于2)=0.

因为g(2—x)=g(x),所以g(x+2)=—g(x),则g(x)的周期T=4,

所以g(2022)=g(2)=0,故C错误；

因为〃x)=g(3-x)-2,/(x+4)=g(3-x-4)-2=g(3-x)-2=/(x),所以〃x)的周期也为4,

所以/(2)=g⑴-2=7,/(4)=^(-l)-2=g(3)-2=-g(l)-2=-3,

所以/(2)+/(4)=T,故B正确；

因为/(l)=g(2)-2=-2,〃2)=g⑴—2=-1,/(3)=g(0)-2=-2,/(4)=-3,

所以£〃&)=/(1)+/(2)+-+/(2022)=505X(_8)+/(1)+〃2)=-4043,故D正确.

*=!

故选：ABD.

三、填空题

13.若直线4:/nr+4y-6=0与直线4：2x+(m+2)y+3=0平行，则加=.

【答案】2

【分析】利用两直线平行求参数即可

【详解】因为4〃4，

所以加(m+2)-4X2=〃?2+2加一8=(加一2)(加+4)=0,

所以〃?=2或，w=Y.

当〃?=—4时，1\：2x—2y+3=0,4：2x—2y+3=0,

34重合;

当加=2时，4：x+2y-3=O,4:2x+4y+3=0,

4〃4,符合题意.

故答案为：2.

14.将函数〃x)=sin(2x+£|的图象向左或向右平移3(0＜9〈兀)个单位长度，得到函数g(x)的图

象，若g(x)是偶函数，则夕的一个取值可能为.

.“人..f.兀/_(X5兀77r11兀、..__।117T57T77T1ITTI,.111rl__、

【答案】-(或石，五)(只需从丘，石，市五中写一个答案即可)

【分析】根据三角函数图象变换的知识求得g(x)的解析式，根据g(x)是偶函数列方程，化简求得夕

的表达式，进而求得9的可能取值.

【详解】由题意可知g(x)=sin2(x土+]=sin12x+5±2e；

因为g(x)是偶函数，所以m±2s=E+：Z:eZ,

所以±9=与+存火eZ.

因为0＜夕＜?t,

所以夕的取值可7E能Sir为7冗兰1Ij.r

12121212

故答案为：白(或(只需从粤中写一个答案即可)

1212121212121212

15.在AfiC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,6=6,8=30。，a2+c2=3^ac,则ABC

的面积为.

【答案】巫

2

【分析】由余弦定理及已知条件可得ac=66,再由三角形的面积公式即可得答案.

【详解】解：因为b=6,8=30。,

所以6=a~+c2—2izccos30°=a2+c2—~j3ac,

因为a?+c?=3上ac，

所以3乖iac—下>ac=36>

得ac=65/3，

"in*

故S

ABC22

故答案为：巫

2

四、双空题

16.设椭圆C的上顶点为50,1),且长轴长为2立，则椭圆C的标准方程为；过。任作

两条互相垂直的直线分别另交椭圆C于A,8两点，则直线A8过定点.

【答案】]+y2=l[o,-g)

【分析】设C:：+4■=1(〃>6>0),根据0(0,1)是椭圆C的上顶点，得到。=1,再根据长轴长为2&，

a-Z?

得到〃=0求解；设直线A3的方程为尸区+相，与椭圆方程联立，由D4Q8=0求解.

->>>

【详解】解:设C:与+与=l(a>b>0),

a~b~

因为。(0,1)是椭圆C的上顶点，所以。=1.

因为长轴长为2及，所以4=夜，

所以椭圆C的标准方程为W+V=l.

2

易知直线A3的斜率存在，设直线A8的方程为丫=h+加，4(药,%),3(七,必)，

y=kx+m,

由可得（1+2公卜2+4加a+2（/%2-1）=0,

x2+2y2=2,

4km

所以玉+x=-

2'石马=

1+2公1+2公

因为ZM=（X，X-1）,£）B=（x2,y2-l）,

所以DADB=X]X2+（X—1）（%-1）=玉工2+（烟+m-\）^kx2+加-1）,

=（左2+1）内工2+攵+w）+（机一I）2,

2（^2-l）（Jt2+l）-4/t2（w2-A/i）+（14-2Jt2）（/n-l）2

--=0'

1+2公

所以3M-2加-1=0,解得机=-§或m=1.

当机=1时，直线AB经过点0,不满足题意，

所以直线A3的方程为y=fcv-；,

故直线AB过定点（o,-£].

故答案为：'+>2=1,

五、解答题

17.已知数列｛%｝满足％=1,+

(1)求｛可｝的通项公式；

⑵若数列的前n项和为S”,求数列｛lgS,,)的前n项和T„.

【答案】(1)4=、)

Q)T.=??lg2-lg(n+l)

【分析】(1)根据累加法求解即可；

(2)由题知-一二],进而根据裂项求和得，=々，lgS“=lg2+[lg〃-lg(〃+l)],再求

和即可得答案.

【详解】(1)解：因为4+i=〃+1,

所以，当“22时，a2-a｝=2,a3-a2=3,a„-a„_t=n,

相加得4-4=2++〃，

、r1LL,、tn(n+l]

因为q=l,所以，”“=4+2++〃=l+2++〃=—^~二

因为4=1满足a“=当W,

所以，4=也型.

(2)解：因为，=2仕一一

a„\nn+\)

因为lgS“=lg：g=lg2+[lg"-lg(”+l)],

所以工,=/?lg2+(lgl-lg2)+(lg2-lg3)++[lgn-lg(n+l)]=nlg2-lg(n+l).

18.已知一ABC的顶点分别为A(-2,3),8(4,-5),C(l,4).

(1)求一4?C外接圆的方程；

(2)直线/：3》-4丫+28=0上有一动点尸，过点p作ABC外接圆的一条切线，切点为。，求|「。|的最

小值，并求点尸的坐标.

【答案】(l)x2+y2-2x+2y-23=0；

⑵|「@的最小值为2面，点尸的坐标为卜§

【分析】(I)设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可;

(2)设圆心为“，首先判断/与圆相离.根据已知条件，可得出-25，则当|P"I最

小时，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出|PQ|最小时P点的坐标.

【详解】(1)设_"C外接圆的方程为》2+/+6+4+尸=(),

(-2)2+32-2D+3E+F=0

代入&-2,3),8(4,-5),C(l,4),B]-f#-42+(-5)2+4D-5E+F=0,

l2+42+D+4E+F=0

13-2D+3E+F=0D=-2

即彳41+4£>-5E+F=0,解得E=2

17+£)+4E+F=0F=-23

所以ABC夕卜接圆的方程为M+V—2x+2y-23=0.

(2)由(1)知,"C外接圆可化为(x-l)2+(y+l)2=25,

圆心设为M(1,T),半径R=5.

|3xl-4x(-l)+28|35

设d为点M到直线/：3x—4y+28=。的距离，则〃—所以/与圆

行+㈠)-5

相离.

由已知，PQ是圆〃的一条切线，切点为Q,则PQLQM,

在.PQM中，有IPQ|=PMf一上=J|尸M］一25，所以要使|P0最小，只需最小.

当PM，/时，1PMi最小，即1PMlm山="=7,

\PQ\nm=yl\PM\^~25=2^.

设P(x,y),因为PM，/,可设直线PM方程为4x+3y+w=0,

又MQ-1),所以4xl+3x(-l)+〃z=0,所以机=-l.

所以，直线PM方程为4x+3y-l=0,又产在/上,

4x+3y-l=0

联立产"与/的方程,解得,即「-

3x-4y+28=05'5J

19.如图，在五面体A2CDE中，AO_L平面ABC,AD，BE,AD=AC=2BE=2,AB=BC=6

(1)求五面体ABCQE的体积；

(2)求二面角A-CE-。的正弦值.

【答案】（1）0

⑵述

3

【分析】（1）可将该五面体分割成多个简单几何体后进行体积求解.

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.

【详解】（I）因为">1.平面A8C,所以％诋=^x2=*.

LJ-3A323

因为A£（BE,4）（z平面BCE,BEu平面BCE,

V

所以AD〃平面BCE,所以%Lf—tBfCC-b.E=VA—UBLCt,E=E.—ADL2Lf—nAiBU.C=—3'

所以匕BOE=%-ABC+VR-HCE=,

（2）如图，取AC的中点。，连接08,因为A3=8C,所以03J_AC,作。〃AO.

以。为坐标原点，0B，0C的方向分别为x,），轴的正方向建立空间直角坐以标系，则A（0,-l,0）,

网应,0,0）,C（0,l,0）,0（0,-1,2）,£（V2,0,l）,CD=（0,-2,2）,C£=（^,-l,l）,AC=（0,2,0）.

,、m•CD=-2y,+2z,=0

设平面C£>E的法向量为m=（X],y,zJ,贝'

7r

\zn-CE=V2xl-yl+zl=0

令y=l,得，”=（0,1,1）.

设平面ACE的法向量为〃=（孙必，Z2），则〈r-

nCE=\/2X2-y2+z2=0

令工2=1，得〃=0,。,一夜）.

/\m-n-5/2G

因为8sM〃”同fWE,

所以sin〃〉=,

故二面角A-CE-。的正弦值为好.

3

20.如图，在长方体ABCD-ABCQI中，AB=AD=4,AA,=6.

（1）求C1到平面AB。的距离；

（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）等

⑵*

【分析】Q）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得BG与平面A8。的法向量，进而利用空间向

量法求得点G到平面\BD的距离;

（2）结合（1）中结论，求得AC的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得结

果.

【详解】（1）根据题意，以点A为原点，建立空间直角坐标系，如图,

则A（0,0,0）,A（0,0,6）,3（4,0,0）,0（0,4,0）,C（4,4,0）,G（4,4,6）,

则BC；=（0,4,6）,A8=（4,0,-6）,50=（Y,4,0）,

-n=-6z=0

设平面48。的一个法向量为“=（为%2）,贝卜

BD•n=-4x+4y=0

令x=3,则y=3,z=2,故〃=（3,3,2）,

所以G到平面A皿的距离为〒11岛2+121=后24=置12>/22

平面A3。的一个法向量为〃=（3,3,2）,

设直线AC与平面A3。所成角为，，

则sin^cos国小禽=/⑶;2|=粤

所以直线4c与平面AB。所成角的正弦值为砰.

丫22

21.已知椭圆C:三+2=15>6>0）的长轴长为4夜，且点尸（2,1）在椭圆C上.

crb

（1）求椭圆C的方程.

⑵设0为坐标原点，过点。,0）«>0）的直线/（斜率不为0）交椭圆C于不同的两点A8（异于点尸）,

直线PAF8分别与直线x=T交于M,N两点，MN的中点为Q,是否存在实数：，使直线PQ的斜率

为定值？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

22

【答案】⑴工+工=1

82

⑵f=4

【分析】（1）由题可得a=2正，再将点P（2,l）的坐标代入椭圆方程可求出廿=2,从而可求出椭圆

方程；

（2）由题意设直线/为了=冲+，，&阳,y）,8（七,当），将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系

数的关系，然后分别表示出直线AP,研的方程，表示出点M,N的坐标，从而可表示出点。的坐标,

则可表示出原2,化简可得结果.

22

【详解】（1）因为椭圆C:「+4=l（a>b>0）的长轴长为4人,

ab

所以2〃=4A/2，得〃=2>/2，

所以椭圆为目+

8

o2i2

因为椭圆过点*2,1）,所以%=得6?=2,

所以椭圆方程为《+上=1;

82

（2）由题意设直线/为x=my+f,4（占,%）,8（孙女），

x=my+t

由,Jy2，得522+4);/+2必)+"一8=0，

—+—=1

182

A=4m212-4-4)(?-8)>0,W2^2-?+8>0，

mi-2mlr2-8

则X+必=2^/，M%=-

m+4m+4

因为即4=上二，所以直线AP为y-i=上=(x-2),

当X=T时，y=l+2iz1(-/-2)=l-(y'-1)(^+2),

所以M(T,1-(XT)(；2)],

I-^1-2)

因为际8=所以直线成为>T==7(%-2),

x2-2x2-2

当X=T时，y=l+H.)=l一…;+2),

x2-2x2—2

所以

IX2~2J

因为MN的中点为Q,

所以QR』一针黑一记黑］,

、2（x,-2）2（X2—2）,

（乂―l）（r+2）（%-1）«+2）

所以心2（x.2）2（々-2）

PQ—2+t

若即°为定值,则怎°与加无关,

7-4=0

所以＜1=4-2/,解得f=4,

三一2"2＞

所以当f=4时，直线尸。的斜率为定值.

2•）

22.已知双曲线C:5-工=1（。＞0）的上、下顶点分别为为虚轴的一个顶点，且

（1）求C的方程；

⑵直线/与双曲线C交于不同于8的E,尸两点，若以EF为直径的圆经过点8,且8G_L防于点G,

证明：存在定点H,使|G〃|为定值.

22

【答案】⑴二-工=1

45

⑵证明见解析

【分析】（1）不妨设M（6,0）,求出MA、MB的坐标，根据M4.M3=1可得答案；

（2）设£（5,弘）,尸（天,冉），当直线/的斜率存在时，设其方程为y=H+，"，与双曲线方程联立，由

韦达定理求出西+々，为々，