2023-2024学年北京重点大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京重点大学附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列计算正确的是（）

A.「+VI=仁B.3c-=3C.=V_6D.H=2

2.在△ABC中，AB=AC=10,B。是4c边上的高，DC=2,则BD等于（）

A.2<l0

B.4

C.6

D.8

3.下列命题中错误的是（）

A.矩形的对角线相等B.对角线相等的四边形是矩形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.平行四边形的对边相等

4.下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）

5.若一次函数y=k%+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与尢轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断

正确的是（）

A.fc>0,b>0B./c>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

6.若关于x的一元二次方程/-2%4-m=0有一个根为0,则zn的值为（）

A.2B.1C.0D.-1

7.某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（）

A.平均数比16大

B.中位数比众数小

C.若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大

D.若年龄最大的选手离队，则方差将变小

8.如图，匀速地向该容器内注水（单位时间内注水体积相同），在注满水的过程中，满足容器

中水面的高度y与时间x之间函数关系的图象可能是（）

二、填空题(本大题共8小题，共16.0分)

9.若，在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

10.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,中间所夹三角形为直角三角

形，则字母4所代表的正方形的面积为.

11.如图，菱形ABCD中，AB=2,^BAD=60°,E是4B的中点，P是对角线4C上的

一个动点，则PE+PB的最小值是

12.如图，矩形04"的顶点8的坐标为(2,3),则4C=

13.如图，在AaBC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6.若△48。的周长为13,

则△ABC的周长为.

BDC

14.己知直线y=kx+b和直线y=-2x平行，且过点(0,-2),则此直线与％轴的交点坐标为

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABe为正方形，点4的坐标为

(3,0).若直线k：y=-x+瓦和直线%：y=-x+历(瓦*与)被正方形。ABC的

边所截得的线段长度相等，写出一组满足条件的人与电的值______.

16.某快递员负责为4,B,C,D,E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元,

某天5个小区需要取送快递数量如表

小区需送快递数量需取快递数量

A156

B105

C85

D47

E134

(1)如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条

件的方案(写出小区编号)；

(2)在(1)的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案(写出小区编号).

三、解答题(本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

计算：

(1)计算，12—3+|2-V-"3|:

(2)解方程式+4x+3=0.

18.(本小题8.0分)

已知：如图，E、F分另IJ是。48CD的边BC、AD上的点，且41=42.

求证：AE=CF.

19.（本小题8.0分）

已知关于x的一元二次方程/-4%+2m-1=0有两个不相等的实数根.

（1）求m的取值范围;

（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求小的值.

20.（本小题8.0分）

已知一次函数的图象经过做一2,4）,8（1,1）.

（1）求一次函数解析式;

（2）若正比例函数y=mx（m丰0）与线段ZB有公共点，直接写出m的取值范围.

21.（本小题8.0分）

如图，已知RtA/lBC中，ZC=90°,4。是角平分线，C。=15,BD=25,求4c的长.

R

22.（本小题8.0分）

为了解我国2022年第一季度25个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务

收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息.

a.排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9,437.0,270.3,187.7,104.0

b.其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：

20<%40<%60<x

快递业务收入X0<x<20

<40<60<80

频数61013

c.第一季度快递业务收入的数据在20<x<40这一组的是:20.2,20.4,22.4,24.2,26.1,26.5,28.5,34.4,

39.1,39.8

d.排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下:

前5位的地区其余20个地区全部25个地区

平均数306.829.9n

中位数270.3m28.5

根据以上信息，回答下列问题:

(1)表中m的值为：

(2)在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是(填写序号)；

①30

②85

③150

(3)根据(2)中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为亿元.

23.(本小题8.0分)

对于正数X,用符号[制表示x的整数部分，例如[0.1]=0,[2.5]=2,[3]=3.点4(a,b)在第一象限内，以4为

对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直,其中垂直于y轴的边长为a,垂直于%轴的边长为

[b]+l,那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点4的矩形域.例如：点(3,|)的矩形域是一个以(3,1)为对角线交

点，长为3,宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6.

图1图2

根据上面的定义，回答下列问题:

(1)在图2所示的坐标系中画出点(2,今的矩形域，该矩形域的面积是

(2)点P(2,g),Q(a,今(a>0)的矩形域重叠部分面积为1,则a的值为

24.(本小题8.0分)

如图，ZiABC是等腰直角三角形，AACB=90°,AC=BC,D为4C延长线上一点，连接BD,将线段BD绕点

。逆时针旋转90。得到线段。E,过点E作EF14C于点F,连接4E.

(1)依题意补全图形：

(2)比较4F与CD的大小，并证明；

(3)连接BE,G为BE的中点，连接CG,用等式表示线段CD,CG,BC之间的数量关系，并证明.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】【分析】

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础

题型.根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案.

【解答】

解：4、吃与不是同类二次根式，不能合并，故4不符合题意；

B、原式=2，父，故B不符合题意；

C、原式=/石，故C符合题意；

D、原式=71,故。不符合题意.

故选：C.

2.【答案】C

【解析】解：rAB=AC=10,CD=2,

・•・AD=10—2=8,

•・•BD是AC边上的高，

・•・Z,BDA=90°,

由勾股定理得：BD=VAB2-AD2=V102-82=6，

故选C.

求出ZD,在RtaBDA中，根据勾股定理求出BD即可.

本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生能否正确运用勾股定理进行计算，注意：在直角三角形中，两

直角边的平方和等于斜边的平方.

3.【答案】B

【解析】解：4、矩形的对角线相等，正确；

8、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；

。、平行四边形的对边相等，正确；

故选：B.

根据矩形和平行四边形的判定与性质分别对每一项进行分析，即可得出答案.

此题考查了命题与定理，熟练掌握矩形和平行四边形的性质与判定是解本题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：4的图象存在一个x对应两个y的情况，y不是x的函数；

B的图象符合一个x有唯一的y对应；

C的图象是一次函数；

。的图象符合一个x有唯一的y对应.

故选：A.

根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的

个数.

此题主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,对于％的每一个取值，y都

有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量.

5.【答案】D

【解析】解：•••一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，

fc<0；

・•・图象与x轴的负半轴相交，

b<0.

故选：D.

先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据图象与y轴的负半轴相交判断出b的符号.

本题考查一次函数的图象与系数的关系，正确记一下几点是解题关键，y=kx+b的图象有四种情况：

①当%>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，为增函数；

②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，为增函数；

③当k<0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，为减函数；

④当k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，为减函数.

6.【答案】C

【解析】解：:关于工的一元二次方程/一2x+m=0有一个根为0,

m=0,

故选：C.

将x=。代入方程——2x+m=0,即可求解.

本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=0代入方程是解题的关键.

7.【答案】。

【解析】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、

15、15、15、15、15,16、16、16、17、17、18,

4、平均数为：X(2x13+6X14+8X15+3X16+2x17+18)=15<16,故选项表述错误，不符

合题意；

B、中位数为：二竺=15,众数为15,项表述错误，不符合题意；

C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；

。、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；

故选：D.

根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行判断.

本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握平均数、众数、中位数以及方差的意义是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，

故注水过程的水面的高度增加的速度是先慢后快，故选项3符合题意，

故选：B.

根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水水面的高度增加的速度是先慢后快.

本题主要考查函数图象的知识，解决本题的关键是根据y随x的变化情况判断相应的函数图象.

9.【答案】x>1

【解析】解：由题意可得，>0,

x—130,

%>1,

故答案为：x>1.

根据二次根式有意义的条件即可解得.

此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解.

10.【答案】64

【解析】解：设中间所夹三角形为直角三角形的三边长分别为a,b,c.如图,

由勾股定理得：a2=c2-b2.

・••两个较大正方形的面积分别为225,289,它们的边长分别为b,c,

：.b2=225,c2=289,

a2=289-225=64,

字母4所代表的正方形的面积为a?=64,

故答案为：64.

利用正方形的面积公式与勾股定理解答即可.

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键.

11.【答案】C

【解析】解：作E点关于AC对称点E'点，连接E'B,E'B与AC的交点即是P点，写

••,菱形力BCD中，AB=2,/.BAD=60°,E是的中点，/

AE'=AE=BE=1,

.•.△4EE'为等边三角形，

•••4AEE'=60°,

•••乙E'EB=120°,

vBE=EE',

：.乙EE'B=30。，

•••Z.AE'B=90°,

BE'=VAB2-AE'2=R，

•••PE+PB=BE',

・•.PE+PB的最小值是：，?.

故答案为：＜3.

根据轴对称最短问题作法，首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出AAEE'为等边三角形，进而求出

PE+PB的最小值.

此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出P点从而利用菱形性质是解决问题的关

键.

12.【答案】7^3

【解析】解：连接0B,过B作BE1X轴于E,则NBEO=90。，

B的坐标为(2,3),

•1•BE=3,0E=2,

由勾股定理得：OB=VBE2+0E2=V32+22=「区，

•••四边形48co是矩形，

AC—0B—V13,

故答案为：V13.

连接。B,过B作BElx轴于E,根据点B的坐标求出BE=3,0E=2,根据勾股定理求出0B,根据矩形的

性质得出4C=0B,再代入求出答案即可.

本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等是解此题的关键.

13.【答案】19

【解析】解：「DE是4C的垂直平分线，

:.AD=DC,

•：AB+BD+AD=13,AC=6,

•••△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19.

故答案为：19.

由线段的垂直平分线的性质，可得AD=OC,从而可得答案.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

14.【答案】(一1,0)

【解析】解：r直线y=kx+b和直线y=-2x平行，

-k=-2

把（0,—2）代入y——2x+b得b——2,

直线解析式为y=-2x-2,

当y=0时，—2%—2=0,解得x=-1,

二直线y=-2x-0与x轴的交点坐标为（一1,0）.

故答案为（-1,0）.

先根据直线平行的问题得到k=-2,再把（0,-2）代入、=-2%+5求出心从而得到直线解析式，然后计算

函数值为0所对应的自变量的值即可得到直线与x轴的交点坐标.

本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所

组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同.

15.【答案】1.5与4.5（答案不唯一）

【解析】解：•••据直线k丫=一刀+瓦和直线5y=-乂+尻（瓦中尻）被正方形0ABe的边所截得的线段长

度相等，

二直线y=-x+瓦和直线%：y=-x+b2（bxH尻）关于直线ZC对称，

.・・满足条件的瓦与Z）2的值为1.5与4.5.

故答案为：1.5与4.5（答案不唯一）.

根据直线ky=-x+瓦和直线％：y=-X+b式瓦*多）被正方形04BC的边所截得的线段长度相等，可得

直线k：y=—%+瓦和直线％：y=-％+与（瓦K瓦）关于直线4c对称，依此写成一组满足条件的瓦与无的

值.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，关键是得到直线ky=-x+瓦

和直线％：y=-x+b2（b1丰期）关于直线4C对称.

16.【答案】ABCS^ABEB^ACES^ADE；ABE

【解析】解：（1）如果是4BC三个小区，需送：15+10+8=33〉30,需取：6+5+5=16>15,符合

要求；

如果是ZBE三个小区，需送：15+8+13=38>30,需取：6+5+4=15,符合要求；

如果是ACE三个小区，需送：15+8+13=36>30,需取：6+5+4=15,符合要求；

如果是ADE三个小区，需送：15+4+13=32>30,需取：6+7+4=17>15,符合要求：

故答案为：4BC或ABE或4CE或4DE；

（2）若选ABC,收益为：33+16x2=65（元）；

若选48E,收益为：38+15x2=68元）；

若选ACE,收益为：36+15x2=66元）；

若选AOE,收益为：32+17x2=66(元)；

68>66>65,

故答案为：ABE.

(1)根据条件通过计算进行选择；通过计算，再比较大小求解.

本题考查了列代数式，掌握有理数的运算是解题的关键.

17.【答案】解：(1)原式=2-\/~3—3x+2-3

=2口-C+2-C

=2；

(2)分解因式得：(%+l)(x+3)=0

所以x+1=。或x+3=0

解得：%!=-1>%2=-3.

【解析】(1)原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值；

(2)方程利用因式分解法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解

法是解本题的关键.

18.【答案】证明：♦.•四边形ABCD是平行四边形，

•.AD//BC,

•••/-DAE=Z1,

•••Z.1-Z2,

•1•/.DAE=Z.2,

.-.AE//CF,

■：AF//EC,

•••四边形AEC尸是平行四边形，

AE=CF.

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，难度适中.证明出AE〃CF是解题的关键.

先由平行四边形的对边平行得出4D〃BC,再根据平行线的性质得到ZCAE=Z1,而41=42,于是NZME=

42,根据平行线的判定得到4E〃CF,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形4ECF是平行

四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到4E=CF.

19.【答案】解：(1)・・・依题意，得4=16—4(2m一1)>0.

/5

・•・m<

即Tn的取值范围是m

(2)•••山为正整数，

m=1或2,

当m=1时，方程为M-4x+1=0的根久=2+C不是整数；

当m=2时，方程为/—4x+3=0的根Xi=1,&=3,都是整数.

综上所述，m=2.

【解析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和小的范围是解此题的关键.

(1)根据题意得出4>0,代入求出zn的值即可；

(2)求出m=1或2,代入后求出方程的解，即可得出答案.

20.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b,

将4,B两点坐标代入函数解析式得，

(-2k+b=4

lk+b=l)

解得仁丁，

所以一次函数解析式为y=—无+2.

(2)将4点坐标代入y=mx得,

m=—2,

将B点坐标代入y=mx得,

m=1,

又正比例函数y=mx的图象与线段48有公共点，

所以m>1或m<-2.

【解析】(1)用待定系数法即可解决问题.

(2)分别求出正比例函数图象经过点A和点8时6的值即可解决问题.

本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键.

21.【答案】解：过点。作于E,

•・・AD是角平分线，ZC=90°,DE1AB,/

・・.DE=CD=15,

B

E

在中，BE=VBD2-DE2=20,

在RtZMCD和RtZkAED中，

(DC=DE

tAD=AD>

・•・Rt△ACDmRt△AED^HQ,

:.AC=AE,

在长△ABC中，AC2+BC2=AB2,即4c2+40?=(AC+20)2,

解得AC=30.

【解析】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题

的关键.

过点。作。E14B于E,根据角平分线的性质求出OE,根据勾股定理求出BE,证明4C=4E,根据勾股定理

列式计算即可得到答案.

22.【答案】(1)25.15；

⑵②；

(3)340.

【解析】解：(1)将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为

24.2；26.1=25.15,即中位数m=25.15,

故答案为：25.15；

306.8x5+29.9x20

(2"=—^20——nr

故答案为：②;

(3)85x4=340(亿元),

故答案为：340.

(1)根据中位数的定义进行计算即可;

(2)由平均数的计算法则进行计算即可;

(3)利用(2)中的结果进行计算即可.

本题考查频数分布表，平均数、中位数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的定义及计算方法是正确

解答的前提.

23.【答案】8^<m<|

【解析】解:(1)点(2,今的矩形域如图所示:

y

7

6

4

3

2

该该矩形域的面积是8.

因为点P(2[),Q(Q,今(a>0)的矩形域重叠部分面积为1,且平行于y轴的边长均为4,

所以点P(2[),Q(a，)(a>0)的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于y轴的边长为4,平行于％轴的边长

①当0<a<2时，a+J=l+"解得a=g；

②当a>2时，a-2=3-p解得a=号.

242

所以a的值为J或4.

OL

(1)点(2,今的矩形域的定义，求出矩形边长分别为2,4,画出图形即可解决问题;

(2)