2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高一年级上册册期末数学试题（含解析）

2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高一上册期末数学试题

一、单选题

1.下列判断中正确的是()

A.y=|sinx|是奇函数B.y=l+cos3x是偶函数

C.yusin^x-g是奇函数D.y=l-2tanx是偶函数

【正确答案】B

【分析】根据奇偶函数的定义依次判断每个选项即可.

【详解】对选项A：y=/(x)=|sinx],函数定义域为R,/(-x)=|sin(-力|=|sinx|=/(x),

函数为偶函数，错误；

对选项B：y=/(x)=l+cos3x,函数定义域为R,7'(-x)=l+cos(-3x)=l+cos3x=/(x),

函数为偶函数，正确；

对选项C：j/=/(x)=sin2x-p函数定义域为R,/(-x)=sin2(-x)-；=sin2x-；=/(x),

函数为偶函数，错误；

对选项D：夕=/(x)=l-2tanx,函数定义域为1x卜片;+%兀火eZ),

/(-x)=l-2tan(-x)=l+tanx,函数为非奇非偶函数,错误.

故选：D

2.使式子log⑵有意义的x的取值范围是()

A.x<\B.K<1且xwO

C.—<x<1,且XHOD.—<x<1

22

【正确答案】C

0<2x+1

【分析】要使式子有意义，则2x+lwl,解得答案.

1—x>0

0<2x+l

【详解】log⑦川(1一»有意义，则.2X+I",解得一g<x<i,且xwO.

1—x>0

故选：c

3.函数/(x)=x+」~7(xN有()

x-22

9Q

A.最大值二B.最小值-C.最大值4D.最小值4

22

【正确答案】D

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为所以X—2Z1,

22

所以y(x)=x+=(x—2)+2>2.(x-2)-—+2=4,

x-2x-2+x—2

当且仅当x-2=，即x=3时取等号,

x-2

所以函数〃x)=x+三有最小值4.

故选：D

4.在中，以下等式中错误的是()

A.sin4=sin(5+C)B.cosA=cos(B+C)

c.月B+CA.B+C

C.sin—=cos------D.cos—=sin——

2222

【正确答案】B

【分析】利用诱导公式在三角形中的应用分别对选项分析即可.

【详解】在“8C中，因为H+B+C=%

所以B+C=TI—A,

所以sin(S+C)=sin(7t-^)=sinA,

故A正确,

由cos(B+C)=cos(兀一/)二一cos4,

故B不正确,

故D正确,

故选：B.

5.以下有三个命题：

①“方程/(x)=0有实数解”是“函数y=/(x)有零点”的充要条件：

②“方程〃x)=0有实数解”是“函数＞=/(x)的图像与x轴有交点”的充要条件；

③“函数N=/(x)有零点”是“函数y=/(X)的图像与x轴有交点”的充要条件；

其中错误命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】A

【分析】根据函数的零点的定义判断即可.

【详解】解：函数的零点的定义：对于一般函数N=/(x),我们把使/(x)=0的实数x叫做函

数V=/(x)的零点，

这样，函数y=f(x)的零点就是方程〃x)=o的实数解，也就是函数y=/(x)图象与X轴的公

共点的横坐标.

所以方程/(X)=0有实数解。函数y=/(X)有零点o函数y=/(x)的图像与X轴有交点，

故命题①②③均正确.

故选：A

6.求函数/*)=J5sinx+cosx的最大值，可以有以下解法：

f(x)=2\sinxcos—+cosxsin—=2sinx+—.

I66)I6；

因此/(x)的最大值为2.

在以上解题过程中，用到的数学公式，蕴含的数学思想分别是()

A.两角和的正弦公式、特殊化思想

B.两角和的余弦公式、特殊化思想

C.两角和的正弦公式、化归思想

D.两角和的余弦公式、化归思想

【正确答案】C

【分析】根据辅助角公式的原理及正弦型函数最值的求法即可得解.

【详解】由/(x)=V5sinx+cosx=彳sinxcos^+cosxsin^)=2sin(x今/

用到的是两角和的正弦公式，

再根据sin(x+t)的最大值为1,可得/(X)的最大值为2,用到的是化归思想.

故选：c.

7.已知［+则f+H的值是()

A.47B.45C.50D.35

【正确答案】A

【分析】将f+xT=3两边平方可以求出x+xT的值，然后再平方一次可得答案.

【详解】因A为十人一7J，

(|£\2

所以+x2=x+x-l+2=9,

\/

所以x+%T=7,

所以+=/+工-2+2=49,

所以/+r2=47,

故选：A.

8.已知集合〃={»»=3一'/>1},N==log3x,0<x<1},则AfcN=()

A.{y\0<y<^}B.{^|0<^<l}c.{引:<y<l}D.0

【正确答案】D

【分析】确定M="卜<"9，N={H"0},再计算交集得到答案.

【详解】A/=伊卜=3，x>l}=>卜<了<；},Af={y|y=log3x,0<x<l}={j|y<0),

则McN=0.

故选：D

9.已知。=2%6=40-7,c=log3&,则a,9c的大小关系为()

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<hD.c<h<a

【正确答案】C

【分析】利用指数函数>=2、与对数函数y=log3X的性质即可比较”，b,。的大小.

,307,4

【详解】vc=/<?g38<2<a=2<Z>=4=2,

:.c<a<b.

故选：c.

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

10.若不等式16履2+8米-3<0对一切实数X都成立，则实数人的取值范围是（）

A.一3〈左<0B.-3<Z:<0C.-3<A:<0D.%<—3或左之0

【正确答案】C

［16A<0

【分析】考虑k=0和两种情况，得到s”，八，解得答案.

［（8〃）+12x16〃<0

【详解】当4=0时，16履之+8米-3=-3<0恒成立，满足；

,16%<0

当左。0时，需满足〈/07\2，解得-3<女<0.

（8左）+12x164<0

综上所述：-3<^<0,

故选：C

二、填空题

risina+cosa

11.已知tana=3,则sin"2c°sa

【正确答案】4

【分析】将齐次式弦化切即可求解

sina+cosa

sma+cosacosatana+1-3+1二

【详解】由

sina-2cosdzsina-2cosatan«-23-2

cosa

故4.

12.已知函数y=〃x）的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表:

X123456

y10020-58-60-200

则函数y="X）在区间［1,6］上的零点至少有个.

【正确答案】3

【分析】计算〃2）./（3）<0,/（4）-/（3）<0,/（4）-/（5）<0,根据零点存在定理得到答

案.

【详解】根据表格知:

/（2）-/（3）=-100<0,/（4）-/（3）=-40<0,/（4）,/（5）=-480<0,

故函数至少在区间（2,3）,（3,4）,（4,5）上有1个零点，故至少有3个零点.

故3

13.若。>0且awl,则函数y=a、“+2的图象恒过的定点坐标是.

【正确答案】（-1,3）

【分析】由x+l=0,求出x的值，再代入函数解析式即可得出定点坐标.

【详解】由x+l=0,可得x=-l,此时y=a0+2=3,

因此，函数y=“向+2的图像恒过的定点坐标是（-1,3）.

故答案为.（-1,3）

14.若3"=6,b=log,6,则上+：=.

ab

【正确答案】1

【分析】将3"=6转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得.

【详解】因为3"=6,所以a=log36

所以=噫3+log62=噫6=1.

ablog,6log,6

故1

【分析】根据图像取y=2cos（ox+s）,T弋=式，。=2,代入点坐标计算得到答案.

【详解】根据图像取y=2cos(ox+e),|7'=^E-y=y

T=—=n,co=2,

CO

y=/(x)=2cos(2x+夕)，/(w)=2cosfy-+J=0,

27r7T7T7T

取——+夕=—+2kn,keZ,cp=——+2kit,kGZ,取女=0,(p

3266；

则尸/(x)=2可2崂.

故夕=2cos(2x—1

45

16.已知力都是锐角，sincr=-,cos(cr+/7)=—,则cos/7

【正确答案】笑

65

【分析】根据cos£=cos[(a+〃)一a]=cos(a+夕)cosa+sin(a+〃)sina求解即可.

312

【详解】因为,所以2+尸£(0,九)，cosa=~^sin(cr+/7)=—,

所以cosp=cos[(a+夕)-a]=cos(a+〃)cosa+sin(a+〃)sina

5312463

=—X—H-------X—=——

13513565

,,63

故石

三、解答题

17.用符号“V”与表示下列含有量词的命题，并判断真假.

(1)对任意实数m,方程£一3+1=0有实根;

(2)存在实数%,使得2:,♦==；

须)-ZX()-rJ4

(3)存在实数〃，使得(1+1%)”等于(I-1%)"的10倍.

【正确答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】用存在量词符号与全称量词符号分别表示命题(1)(2)(3),并判断真假.

【详解】⑴V/»eR,方程x2-mx+l=0有实根；

由△=(一用)~-4<0=>-2</??<2,

此时方程工2一〃7X+1=0无实根，

故该命题为假命题.

13

(2)3x0eR,使得2.「二大

x0-2x0+34

13)

3x

由二—―=To-6xo+5=O,

x0-2x04-34

A=(-6)2-4X3X5=-24<0,无实数解，

13

故不存在与eR,使得-1-----=-,

x0-2x0+34

因此该命题为假命题.

(3)m〃wR,使得(1+1%)"等于(1-1%)"的10倍.

因为(1+1%)"=10(1-1%)”01.01"=10x0.99",

1.0110=>〃怆黑=1=R=10go10

即i

K9999

所以丸£R,使得（1+1%）”等于的10倍，

因此该命题为真命题.

18.用“五点法”画出函数N=3sin（；x-g）在一个周期（7=4兀）内的图像.

【分析】取特殊点计算填入表格，再画出图像得到答案.

【详解】列表:

27r5兀8兀IE1471

XTTT"T

171n3兀

-x----071271

232T

y010-i0

19.(1)设〃x)=e'+e7,g(x)=eJt-e-x.求证：[/(x)]2-[g(x)f=4.

(2)已知sin(a+4)=1，sin(a-=-.求证：sinacos=7cosasin.

34

【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据指数基的运算法则计算可得；

(2)利用两角和(差)的正弦公式得到方程组求出sinacos/?、cosasin2,即可得解.

【详解】解：(1)因为/(刈=>+b,g(x)=ex-e-\

所以"a)F-tg(x)]2=c+9y一©—所y

=e2x+2+e-2x-(e2x-2+e-2v)

=4,

所以[/(切2-[g(X)F=4.

(2)因为sin(a+/?)=；,所以sinacosp+cosasinp=；①,

因为sin(a-£)=！，所以sinacos£-cosasing=」②，

44

7

①+②得sinacosy3=—,

71

把sinacos£=三代入①得cosasiny?=—,

所以sinacos夕=7cosasin/.

20.已知函数/(x)=cos(2x+；)(xeR).

(1)求〃x)的最小正周期；

(2)求"X)在区间-三JT卷TT上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)兀

(2)最大值是1,最小值是一也上区

【分析】(1)根据余弦型函数的周期公式计算可得;

⑵由x的取值范围求出2x+：的取值范围，再利用余弦函数的性质，结合诱导公式与两

角差的余弦公式计算可得.

【详解】(1)函数/(x)=cos(2x+：)(xeR),

所以/(x)的最小正周期T=T27r=兀.

根据余弦函数的图象及性质可知/(X)max=1，

、11兀7T717in.兀.兀亚+灰

/Wmin=cos—=-cos=-cos—cos---sin—sin—=--------

3~434344

&+寂

7T7T

所以/(X)在区间上的最大值是1,最小值是-

~~4--

21.已知函数/(x)=Gsinxcosx+cos2x-；

(1)求函数/*)的单调递减区间;

(2)将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变.再将所得图象向

右平移g个单位，得到函数g(x)的图象，当xwpK时，求函数g(x)的取值范围.

【正确答案】(1)1航+看,桁+引水€2

(2)