2023-2024学年天津市高一年级下册第一次月考数学试题

2023-2024学年天津市高一下册第一次月考数学试题

一、单选题

1.若复数z=3-2i,则z的共趣复数三=()

A.—3+2iB.—3—2iC.—2+3iD.3+2i

【正确答案】D

【分析】根据共轨复数的概念即可求得答案.

【详解】由题意复数z=3-2i,可得z的共见复数三=3+2i，

故选：D

UUL

2.已知向量。4=(-1,2),08=(1,-1),则向量AB的坐标为()

A.(-2,3)B.(0,1)C.(-1,2)D.(2,-3)

【正确答案】D

【分析】由向量减法的坐标表示计算.

【详解】依题意得AB=OB-OA=(1,-1)-(-1,2)=(2,-3).

故选：D.

3.一艘船以40海里/小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东30。，0.5小时

后航行到B处，在8处看灯塔S在船的北偏东75。，则灯塔S与B之间的距离是()

A.5海里B.10海里

C.50海里D.10底海里

【正确答案】D

【分析】直接利用正弦定理即可求出.

如图所示，AB=40xl=20,

由于ZBSA=30可解得：ZBAS=45,

ARBS20BS

由正弦定理得：-------，即nn--------=-------

sin30sin45sin30

解得.8S=1O0

故选：D

解三角形的应用题的解题思路：

(I)画出符合题意的图形；

(2)把有关条件在图形中标出;

(3)解三角形即可.

4.设向量4=(1,1),6=(2,㈤,若2〃(4+*),则实数〃?的值为()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】首先求出a+26的坐标，再根据平面向量共线定理解答.

【详解】.a=(l,1),6=(2,相)，.,.”+26=(5,2相+1),因为a//(a+2b),所以2加+1-5=0,

解得m=2.

故选：B.

本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.

5.已知复数z满足(1-i)z=2i(其中i为虚数单位)，则|z卜()

A.72B.—C.；D.2

22

【正确答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由复数的除法法则2i可得2i(鬲l+岛i)=-…，#|=i——历-——，=技_

故选：A.

6.在“/WC中，若)=1,A=60。，..ABC的面积为G，则。=()

A.13B.V13C.2D.0

【正确答案】B

【分析】先用面积公式求出c,再用余弦定理求出。

【详解】在JWC中，b=\,A=60。，；,ABC的面积为G，

所以SABC=—^csin/l=—xlxcx—=5/3,^?^：c=4.

ABC222

由余弦定理得：

a2-b2+c2-2bccosA=l+16-4-13,

所以a=屈.

故选：B.

7.在_ABC中，。为AB的中点，E为CD的中点，设A8=a,AC=b，用a、人的线性组合

表示4E为（）

1c11,

A.—a+bB.—a+—bC,a+-bD.-a+

242224

【正确答案】B

【分析】由向量加法的几何意义即可求

AE^-lAD+ACX=，黑AB+4C^-AB+-AC^-a+-b

【详解】由已知得,2\）2颖4242

故选：B

8.己知忖=1,忖=2,a-b=y[2＞则向量a，b的夹角为()

【正确答案】B

【分析】设a与人的夹角为0,根据平面向量数量积的定义求出cos。，即可得解;

【详解】解：设a与。的夹角为。，因为忖=1,忖=2且0小=应，

所以4/=卜,6卜0$。=挺，即1X2XCOS0=3，

解得cos8=等，又。40,司，所以6=(.

故选：B

9.如图，在平面四边形ABCQ中，AB1BC,AD1CD,ZBAD=120,AB=AD=1,

若点E为边C£>上的动点，则BE的最小值为

【正确答案】A

【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，△38为等边三角形，把数量积4足BE

分拆，设DE=rDC(0Wl),数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知△A83为等腰三角形，而ABJ.8C,AO_L8,所以

△BCD为等边三角形，BD=6设DE=fDC(04fMl)

___23--____2

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

=3r2--r+-(0<r<l)

22

所以当”;1时，上式取最小值2£1，选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量

都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

二、填空题

10.i是虚数单位，复数.

1+21

【正确答案】4-i

【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

6+li(6+7z)(l-2z)20-5/

详解：由复数的运算法则得.不下忐一^=y=4—

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11.已知向量d=(3x—l,4)与6=(1,2)共线，则实数x的值为.

【正确答案】1

【分析】利用向量共线的坐标表示即得.

【详解】••,向量。=(3工-1,4)与6=(1,2)共线，

/.2(3x—1)—4x1=0,解得x=l.

故1.

12.已知向量0,b方向相反，且何=4,卜卜5,则°在b方向上的投影向量为.

【正确答案】

【分析】根据投影向量公式计算求解即可.

【详解】因为向量a,。方向相反，所以a,匕夹角。=兀，

所以a在6方向上的投影向量为麻。s喧=4x(_l)x3=g/

故答案为：yft

13.若AABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(。+与2-02=4,且C=60。，贝Uab

的值为.

4

【正确答案】y.

222

［分析］利用余弦定理可求得c=a+b-ab,根据(a+6)2-=4可得c?=T+y+2ab一4,

两式联立可整理出必.

【详解】(«+/?)'-c2=4..c2=(a+b)~-4=a2+b2+2ab-4

由余弦定理可知：c2=a2+h2-2abcosC=a2+h2-2abcos60=a2+b2-ab

:.a2+h2+2ah-4=a2+h2-ab,艮12ab-4=-ab

解得：=|4

本题正确结果：!4

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，关键是能够利用C，2构造出方程，属于基础题.

14.在AABC中，角A,在C所对的边分别为a,b,c,若“sinA-/?sin8=\^csin8,

sinC=26sin8,则人=______

【正确答案】g

6

利用正弦定理将角化边，将〃,。用匕表示出来，用余弦定理，即可求得A.

【详解】因为asinA-bsin3=\/Jcsin3,故可得/一6=Jibe；

因为sinC=2GsinB,故可得c=2J%;

综合即可求得a==

由余弦定理可得cosA=1+°2-。2=立

2bc2

又因为Ae（O/）,故可得A=£.

6

故答案为.—

6

本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题.

15.已知向量°,8满足|2a+*l,且G（a-/7）=1,则卜』的取值范围为.

………「Vi3-iVn+i

［正确答案］-,-

由|2。+。|=1和〃・（〃-。）=1,求得42和a必的值,以及石2的取值范围，再求3一万）2的取值范

围，即可得出3-切的取值范围.

【详解】解：由|2々+。|=1,

得4/+4〃”+〃2=［,①

又。・（〃一/?）=1,

得a2-a*b=1,②

2

由®®得/=：（5-6），a.h=^-3-b）,

OO

且|a叫”|a||b|,

即13+户\2(5-从冈5|,

OVO

9/-346+9,,0,

17-4万次产17+4V13

9双9

所以(〃-=〃_2a^b+b2=-(5-b2)--(-3-b2)-^-b2=-b2+—,

8488

所以此誓誉2+葭出等，

所以|a-b|的取值范围是［造।匚，书里］.

故回,巫斗

本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力.

三、解答题

16.已知复数z=(l+i)〃-3而+2i-l.

(1)当实数机为何值时，复数z为纯虚数；

(2)当实数巾为何值时，复数z表示的点位于第四象限.

【正确答案】⑴，"=-1

⑵〃?e(1,2)

【分析】(1)由己知结合复数为纯虚数的条件可建立关于〃，的方程及不等式，求出，"的值;

(2)结合复数的几何意义可建立关于〃?的不等式组，再求出m的取值范围.

【详解】(1)复数z=(l+i)加2-3汕+4-1=(〃?2-1)+(疗-3〃?+2］

复数Z为纯虚数，｛2Jc八，解得，〃=-1

m2-3m+2^0

时，z为纯虚数.

(2)复数z表示的点位于第四象限，可得〈，，、八，解得1〈机＜2,

疗-3〃?+2＜0

当1＜加＜2时，复数z在复平面内对应的点在第四象限，

••.〃?的取值范围为(1,2)

17.已知。=(i,2),Z>=(-3,1)

⑴求。-2%;

(2)设“，(的夹角为求cos。的值;

⑶若向量a+她与a-姐互相垂直，求人的值

【正确答案】(1)(7,0)；

⑵-g

10

⑶士也

2

【分析】(1)利用线性运算的坐标表示即可求解；

(2)利用向量夹角的坐标表示即可求解；

(3)求出向量a+奶与的坐标，利用坐标表示(。+秋)・(〃-奶)=0即可求解.

【详解】⑴因为:=。,2),6=(-3,1),所以“一»=(1,2)-2(—3,1)=(7,0).

(2)因为，

八a-hlx(-3)+2xl-1V2

所以=及质=一价

(3)由1=(1,2),b=(—3,1)可得a+奶=(1,2)+%(-3/)=(1-3匕2+&),

因为向量a+M与a-种互相垂直，

所以(“+妨)•("人)=(1-3&)(l+3%)+(2+k)(2_%)=0,

即2/=1,解得.&=土近

2

18.在中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且满足后acosC-csinA=0.

(1)求角C的大小；

(2)已知b=6,ABC的面积为66，求边长c的值.

【正确答案】(i)c=T；

(2)c=2>/7.

【分析】(1)由正弦定理将岛cosC-csinA=0边角互化，化简可求出角。的大小；

(2)根据三角形面积公式及余弦定理即得.

【详解】(1)在.ABC中，由正弦定理得：>/3sinAcosC-sinCsinA=0

因为OVAVTI,所以sinA>0,

从而百cosC=sinC,又cosCwO,

所以tanC=百，又0<C<兀，

所以c=5；

(2)在ABC中，S^ABC=^x6«xsiny=673,得a=4,

由余弦定理得：c2=62+42-2X6X4COS1=28.

所以c=2".

TT1

19.如图，在_ABC中，ZBAC=-,。为AB中点，尸为CO上一点，且满足4P=r4C+]AB,

ABC的面积为迈，

2

⑴求f的值；

(2)求|AP|的最小值.

【正确答案】(1)/=；

⑵0

【分析】(1)利用CP，。三点共线，可设。2=根。。，推出AP=