2023-2024学年陕西省宝鸡市陈仓区高二年级下册开学考试数学（理）试题（含答案）

2023-2024学年陕西省宝鸡市陈仓区高二下册开学考试数学(理)

试题

一、单选题

1.有下列四个命题：

①“若xy=\,则互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若，为1,则/-2工+〃?=0有实数解”的逆否命题；

④“若AB=B,则8”的逆否命题.

其中真命题为()

A.①②B.②③C.④D.①@③

【正确答案】D

【分析】写出命题①的逆命题，再判断真假；

写出命题②的否命题，再判断真假；

判断出命题③是真命题，得到③的逆否命题也是真命题；

判断出命题④是假命题，得到④的逆否命题也是假命题.

【详解】①的逆命题为：”若x,y互为倒数，则冲=1”,显然是真命题；

②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形“，为是真命题；

命题③：当"4,1时，△=4-4〃?N0,则2%+%=0有实数解，

故③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；

命题④：若AB=B,则8=A,故④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.

故选:D.

2.命题“Vxw(0,g,sinxVx”的否定是()

A.Vxe(0,—),sinx>xB.Vxe(0,—),sinx>x

22

C.3xe(0,—),sinx<xD.Hxe(0,—),sinx>x

22

【正确答案】D

【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.

【详解】命题“Vxe(0,g,sinxMx”为全称命题，

按照改量词否结论的法则,

所以否定为：3xe（0,y）,sinx>x,

故选：D

127r

3.已知creR则“cosa=--"是"夕=2%乃+—MeZ”的（）

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】由题意可知a=2Qr士菖/€2,再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】因为cosa=-g,解得a=2Z万士号,ZEZ,

工"cosa=-《”是"a=2k7i+孕，女£Z”的必要不充分条件.

23

故选：B.

4.椭圆工+4=1与双曲线二一片=1有相同的焦点，则4的值是（）

4矿a2

A.1B.1或-2C.1或gD.1

【正确答案】D

【分析】根据椭圆和双曲线方程形式，利用焦点相同，列式求。的值.

【详解】由条件可知，a>0,双曲线的焦点在x轴，所以椭圆的焦点也在x轴，

所以4—〃=a+2,解得：。=1或a=—2（舍）

故选：D

5.已知命题VxeR,x2-x+l<0;命题Q：BxeR,x2>x3,则下列命题中为真命题

的是（）

A.P八qB.「p人qc.pdfD.-P八f

【正确答案】B

分别判断两个命题P，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

【详解】对于命题P,取X=1时，1<0不成立，故命题P为假命题，

对于命题q,x=-1时，（-if>（-I），成立，故命题q为真命题，

所以。人4为假命题，力八夕为真命题，，人F为假命题，-P八F为假命题，

故选：B

本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p,q的真假是解决本题的关键.

Q

6.若。=（1,42）,Z7=（2,-l,2）,且〃，。的夹角的余弦值为则丸等于（）

22

A.2B.—2C.—2或石D.2或一

【正确答案】C

【分析】根据cos（“，6）=筐i=£,解得即可得出答案.

【详解】解：因为停=（1,42）,t=（2,-l,2）,

ab2-2+48

H=硼=诟

2

解得：2=-2或不.

故选：C.

7.如图所示，在空间直角坐标系中8c=2,原点。是BC的中点，点A的坐标是

点。在平面yOz上，且NBDC=90,/£）CB=30,则向量0£＞的坐标为（）

f01名

B.'3T

C.「5亍。J

【正确答案】B

【分析】过点八作DE,8c轴交BC于点E,根据已知条件算出三角形BDC的边，利用直

角三角形的性质及题中所给条件计算出OE,DE的长度即可解决问题.

【详解】过点。作。8c交BC于点E,如图所示:

因为8C=2,ZBDC=90,ZDCB=30,

所以在Rt_BE>C中有:

得|BO|=1、加卜省,

在RtZVJEC中,

有|。目=「£>卜皿30=等

所以IOE|=|031-1BE|=|031-1BD卜cos60°=1-'

22

所以点。的坐标为（0,-g,

又。为原点，所以。0=（0,

2

故选：B.

8.如图，空间四边形OU5c中，0A="，OB=b，0C=c，且OM=2M4,BNNC,

则MN等于（)

L+L+111,1

A.—cB.—a+—b——c

332222

二J+Lr12,1

C.D.—a——b+—c

322232

【正确答案】C

【分析】根据空间向量的线性表示，用04、0B和0C表示出MN即可.

【详解】由题意知，MN=MA+AC+CN

=-OA+（OC-OA\+-CB

3''2

=――QA+OC+—（O8-OC）

32、>

=--OA^-OB+-OC

322

21I

=——a+-bf+—c

322

故选：C.

22

9.已知抛物线C/：V=2pMp>0）与椭圆C2：餐+2=l（a>h>0）共焦点，。与C2在第

CTh~

一象限内交于尸点，椭圆的左右焦点分别为斗心，且2鸟，耳且，则椭圆的离心率为（）

A.73-1B.72-1C.4-2石D,3-2a

【正确答案】B

.2f2V

【分析】根据尸心，斗鸟得到P（C,巴），然后将点P代入抛物线方程得到2pc=—h,根据

a

共焦点得到P=2c,最后联立求离心率即可.

【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得P（c,⑥）在抛物线上，故2pc=（Q],且p=2c,

aJ

»4,2

；・4c2=—=>2c=—=>a2-c2=2ac=>e2+2e-\=0=e=0-l.

优a

故选：B.

10.己知椭圆C:，■+£=l（a>6>O）,四点„）,£（o,省），6，l,*），dl,-*）中恰

有三点在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为（）

A.上+片=1B.£+亡=1C.£+片=1D.£+$=1

43938363

【正确答案】D

在椭圆上,{1，j不在椭圆

【分析】根据椭圆的对称性可知月

匕P2（0,6）在椭圆上，代入椭圆方程求出即可.

【详解】根据椭圆的对称性可知勺T乎卜功,一奇）在椭圆上,41,3

不在椭圆

2

匕鸟（0,⑹在椭圆上

将g(o,q,A代入椭圆方程得:

椭圆C的标准方程为♦+?=

故选:D.

11.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周

2

率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆4+

p-=l(a>Z?>0)的右焦点

a

为尸（3,0）,过/作直线/交椭圆于A、8两点，若弦A3中点坐标为（2,-1）,则椭圆的面积为

()

A.36扬rB.18缶C.907tD.6及兀

【正确答案】C

【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程及--黄^|T＞再结合C=4/2一匕2

即可求解出a、b,进而求出面积.

¥=1

+

b、,两式作差得:

【详解】设A（XQJ,网孙％），则有，

+

a2

即心上&=_》玉X*

玉一马y+乃a'

弦中点坐标为（2.-D，则』,

-ry..>_0-(-1)_,2b~.22

又♦k——--——1,••1=---x--，••a=2b，

3-2-1a2

又•：c=\ja2-b2=3，；•可见军得a=3>/2，b=3,

故椭圆的面积为aljR=90Tl.

故选：C

12.如图，在正方体ABCD-AAGA中，E是棱8上的动点.则下列结论不正确的是（）

A.RE//平面A48A

B.±ADX

C.直线4E与BQ所成角的范围为（f，W）

42

jr

D.二面角的大小为今

【正确答案】C

【分析】由平面C。。。//平面A48A,QEu平面CD。©,即可判断4；建立空间直角坐

标系计算£8「曲即可判断选项B：求|cosG4£，4A）|的范围即可判断选项C；先找出二面

角的平面角为NQAA即可判断选项D,进而可得正确选项.

【详解】对于选项A：因为平面CC£>C〃平面AgBA,〃Eu平面CDDC，

所以〃E//平面Ag/M,故选项A正确;

如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则A(1,O,O),£(0,/M,0),0</M<1,

D,(0,0,1),A(1,0,1),对于选项8：瓯=(1,1-犯1),=(-1,0,1),

因为EB「AR=(1,1-祖,1>(一1,0,1)=-1+0+1=0,所以E3JA。，即

故选项B正确；

对于选项C：AE=(-l,m,0),S,D,=(-1,-1,0),设直线AE与8Q所成角为6,

则cos6=|cos(A£,BQ)|=(户,

+xV2

当,〃=o时最大等于YZ,此时。最小为】，

24

当帆=1时COS。最小等于0,此时。最大为所以，

即直线AE与8a所成角的范围为py,故选项C不正确；

对于选项。：二面角E-AM-A即二面角。-AB-A,

因为。4_LA4，A41_LAg，

DAU平面EA[B],AAu平面AABx,

所以NOA4即为二面角的平面角，

TTTT

在正方形ADRA中，/%%=£，所以二面角E—A4—A的大小为J,

44

故选项。正确，

故选：C.

二、填空题

13.已知空间向量a=(3,2,4),。=(义一2,2,8),“〃b，则a-b=

【正确答案】-58

【分析】运用空间向量共线的坐标运算与数量积的坐标运算可得结果.

【详解】；a=(3,2,2),fe=(2-2,2,8),allb

,存在实数，使得a=仍，

3=32)卜一

/.-2=M=，]

t-----

2=8r2

二a=(3,2,-4),b=(-6,-4,8)

a-b=3x(-6)+2x(-4)+(-4)x8=-58

故答案为.-58

14.“a=£”是“sina=sin£”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、”既

不充分也不必要''中的一个)

【正确答案】充分不必要

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】若。=尸，贝!]sina=sin/7,

当a=0,£=2兀时,则sina=sin尸,

所以“a=#”是“sina=sin£”的充分不必要条件.

故充分不必要.

15.如图，把椭圆《+£=1的长轴A8八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部

169

分于6，4，L,4七个点，尸是椭圆的一个焦点，则|眩|+怛可+限司++忸/I的值为

【正确答案】28

【详解】设椭圆的另一个焦点为尸’由椭圆的几何性质可知:

12HHeF?,|.•.仍尸下^川|阜也|阜2a,同理可得

忸川+山尸卜优尸|+|《尸卜出刊+怩下|=2出耳=%,且a=4,故

|子|+|乙川+|6丹++|?百=7a=28，故答案为28.

16.如图，在棱长为2的正方体ABC。-AMCQ中，M,N分别是棱4片，AR的中点,

点E在80上，点F在B。上，且BE=CF,点P在线段CM上运动，给出下列四个结论:

①当点E是80中点时，直线所〃平面。CG。；

②直线4鼻到平面CMN的距离是巫:

2

③存在点P,使得少叫=90。；

④,PC。面积的最小值是侦.

6

其中所有正确结论的序号是.

【正确答案】①③

【分析】对①，由线面平行的判定定理进行判断即可;

对②，证B\D、U平面CMN,则直线BR到平面CMN的距离等于点D,到平面CMN的距离,

由等体积法%』加=VD「CMN列式即可求；

对③，设=(?e[0,l]),可得P(f+l,2f,-2f+2),由向量垂直的坐标表示，存在点

P使NB、PD,=90。等价于Pg.PR=0有解；

对④，由点到直线距离求尸到。。的距离"，则△面积为讨论最小值即可

【详解】对①，如下图所示：因为E是8。中点，BE=CF,

所以点尸是BC的中点，连接8G，显然〃也是8G的交点，连接。G，

所以EF//QD,而EF（Z平面。CC|R,OQu平面。CCQ,所以直线EF//平面。CQ。，

①对；

小N6

/二wz

Bc

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M（l,0,2）,C（2,2,0）,4（2,0,2）,D,（0,2,2）,

对②，M,N分别是棱的中点，.•.8QMN,BQ<Z平面CMN,MNu平面CMN,

故BQJ/平面OWN,

故直线BR到平面CMN的距离等于点。到平面CMN的距离，设为〃，

=xxlxlx2=

MN=6,CN=CM=3,VC-MND,1（|lp

V17IZ_1717

S.CMN=-xV2x~，yn=1Z-

由匕'-MMO,=V[*_CMN得力=，②错;

对③，设MP=/-MC=f(l,2,—2)(re[0,1]),则P(f+l,2f,-2f+2),则尸丹2f,2/),

PD、=(-/-1,2-2r,2/),

由NB，PR=90。即PB「PR=(1-/)(-/-l)+(-2/)(2-2r)+2/-2/=9/2-4/-1=0Wr=2士屈

由f=普40/］,故存在点p,使得“叩=90。，③对；

对④，由③得P（f+12,-2f+2）到。。的投影为（0,2,-2，+2）,故P到。2的距离

16

d=gl『+(2-2f)2=+一

5

△产鹤面积为S=5-2O+y（止［。,1］）,由二次函数性质，当f时,

S取得最小值为逑，④错.

5

故①©

关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键.

三、解答题

17.已知集合尸=卜|号Nl1,非空集合5={乂1-〃”*41+〃?}.

(1)当机=2时，求PUS；

(2)若xwP是xcS的必要条件，求实数团的取值范围.

【正确答案]⑴{乂一2<X43}

⑵[0,1]

【分析】(1)先求解集合「中不等式，再结合并集运算求解即可;

(2)转化题干条件为51尸，列出不等式组，求解即可.

【详解】(1)由」;21，可得上;20,

f(x+2)(x-2)<0,

叫X+2H0,

所以P={._2<x42}.

又当机=2时，

S'=1x|-l<x<3},

所以PuS={x|-2<x〈3}.

(2)由xeP是xeS的必要条件，知非空集合SqP,

又P={M-2<x42},

1-/n<1+m,

所以《1-〃2>-2,

14-7ZZ<2,

所以OWmWl,

即所求m的取值范围是［()』.

18.已知空间三点4-2,0,2),8(-1,1,2),C(一3,0,4),设”=A8，h=AC.

(I)若同=6,cHBC，求c：

(2)求a,方夹角的余弦值.

【正确答案】(l)c=(Y,-2,4)或c=(4,2,T)；

⑵.巫

10

【分析】(1)根据已知条件，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解;

(2)根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)8(-1,1,2),C(—3,0,4),则8c=(-2,-1,2),

C//8C，；•可设c=〃-2,—1,2),义工。，

年|=6,7(-22)2+(-2)2+(2/1)2=6，解得;1=±2,

c=(-4,-2,4)或c=(4,2,-4)；

(2)A(-2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),

a=AB-(1,1,0)>b-AC-(—1,0,2),

19.已知抛物线C:V=2Px(p>0)上一点P(3,w)到焦点F的距离为4.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过焦点尸的直线/与抛物线C交于不同的两点A,8,。为坐标原点，设直线。4,。8的斜

率分别为％,k2,求证：用修为定值.

【正确答案】⑴9=4x.

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据抛物线的定义即可求得P=2,即得答案;

(2)设出直线方程，联立抛物线方程，消去x,设&玉,,),8(七,必)，可得%当=-4,结合

点在抛物线方程上化简％他，即可证明结论.

【详解】(1)由抛物线。：尸=2后5>0)方程可得焦点为(5,0),准线方程为犬=-5,

因为点P(3,⑼到焦点F距离为4,由抛物线的性质可知p(3,〃?)到焦点的距离等于到准线的

距离，

即3+^=4,解得p=2,

故抛物线方程为.V=4x

(2)证明：因为直线/过焦点尸(1,0),与抛物线C交于不同的两点A,8,

所以设直线/方程为x=，”y+l,

与抛物线方程V=4%联立即।,消去x得丁-4*4=0,

[y=4x

A=16/H2+32>0，设4(芭，弘)，8(尤2，，2)，

所以乂%=-4，由于勺="，&=&

X\X2

_x必一y%_16一

所k以k一如㈤「一―

即占玲为定值.

20.命题p：11VXG[1,21,x2+x-a>0'»命题q：uGR,x2+3x+2-a=0，'.

(1)当p为假命题时，求实数。的取值范围；

(2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.

【正确答案】⑴

4

⑵

【分析】(1)根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案;

(2)利用分类讨论的解题思想，可得答案.

2

【详解】(1)由p为假命题，则可为真命题，即大目1,2］,x+x-a<0,

令/(x)+X—。,开口向上，则△=l+4a>(),解得

(2)由(1)可知，当p为真命题时，。4-w；当p为假命题时，a>――-

当q为真命题时，A=9-4(2-«)>0,解得当q为假命题时，

当p为真命题，4为假命题时，”-；；当?为假命题，q为真命题时，”>-；；

则P和q中有且只有一个是真命题时，

21.在四棱锥尸—ABCE中，AB//CE,AB1BC,AB=4,BC=0CE=3,PA_L平面

ABCE,PE与平面ABCE所成角60,又AMLPE于M,ANLPB于N.

P

⑴证明：/>8_L平面AMN；

(2)求二面角尸-AM-N的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵叵

7

［分析］(1)利用空间向量的坐标运算,根据A"_LPE求出点〃的坐标，进而可得尸8，AM,

利用线面垂直的判定定理即可证明；(2)利用空间向量的坐标运算求解面面夹角的余弦值.

【详解】(1)过A作AF〃BC,AF=BC,则四边形ABCF为矩形，

以ARAB,4P分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

AE=\lAF2+FE2=2>因为PE与平面ABCE所成角60,

所以/PE4=60,所以tan60=二=百,所以PA=2g,

AE

P(0,0,2^),5(0,4,0),£(73,1,0),涉=(61,一2@,

设AM=AP+2PE=(0,0,273)+(^2,Z,-2>^Z)=(石4,42月一2&),

所以AM=(>/3Z,2,2yli-2向),即M(G/l,42G-2&),

3

因为AW_1_尸石，所以AM•尸石=34+4+12/1—12=0,解得力=:，

4

所以AM=(¥，；,*),又因为PB=(0,4,-2百)，

所以PB-AM=0+3-3=0，BPPBA.AM,

又因为4N_LP3,AMAN=A,A〃,ANu平面AMN,

所以P8_L平面AMM

(2)由(1)可知依J_平面AMW,

则BP=(0,-4,2>/3)为平面AMN的一个法向量.

BE=JBC：+a=26,所以BE?+A炉=/152,即跖_1_/1£,

又因为PAJL平面A3CE,8《<=平面45。邑所以24,8《，

又因为R4AE=A,PAAEu平面APE,

所以BEJ.平面APE,

则BE=(73,-3,0)为平面APE的一个法向量.

UHUU1____

/黑吃、丝―12V21

刑