河南省南阳市2023-2024学年高三年级上册期中考试数学答案

2023年秋期高中三年级期中质量评估

数学参考答案

一.选择题：

CDBA

二.选择题：

三.填空题：

48

13.—或一14,-515.-2023

33

四.解答题：

17.解：(1)设等差数列｛4｝的公差为4,等比数列｛4｝的公比为q,

由S4=4s2可得4al+6d=4(2q+d),

即6d+4=4(d+2),解得d=2,

所以，%=%+(〃一l)d=1+2(〃-1)=2〃一1,

3a=3q=a5=9,:.q=3

则句=始1=31；

(2)a也=(2〃-

则7；=l•3°+3・31+5・32+…+(2〃—l)•3"T①，

可得37；=13+31+…+(2〃—3)3"+(2〃—1)3"②，

①—②得:—27；=l+2(3i+32+…+=(2〃—1｝3”

=(2-2n)-3"-2,

因此，T=(n-l)-3n+l

18.解：(1)f(x)=V3sin<yxcos<yx-sva'mx+

因为实数可，/满足|/(占)一/(%)=2时，%—的最小值为

27r

所以/(x)的最小正周期7="=上，解得。=1,

2co

所以/(x)=sin(2x+X],由2左%+工左万+2•(左EZ),得

I6J262

JT27r

/(x)的单调递减区间为左乃+—,左乃+——(左EZ)

63

(2)不等式[/(x)T+2acos12x+-2a-2<0对任意x£[-[■瑞1寸恒成立,

——cos22xH—+2acos2xH——2Q—1

I6I6

令，=cos2x+—,

I6

+2at—2a-1<0,tG(0,1)

＞匚士^恒成立

2a(/—1)<产+12a

t-1

«/\r+1加2+2加+22

令加二,一1£(-1,0),------二------------=m-\-----F2<-1

t-lmm

2ci..1,解得：aN—，

2

故实数。的取值范围是-g，+°°]

2S

19.解：(1)因为—^■+〃=2a“+l,即2S“+/=+〃①,

n

当〃22时，2S“_]+(〃—1)=2—1)%_]+(〃—1)②，

①-②得，2s1+”2_2S〃_]--1)=+〃-2)a“_]-,

即2%+2〃-1=2%-2(〃-1)%-+1，

即2(〃一1)%—2(〃一=2(〃一1),所以%-an_x=1,〃22且〃£>^*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得生=。1+2,。7=。1+6

又q,a3,%成等比数列，所以(4+2)2=%.(4+6),解得q=2,

所以=〃+1

・1

••-1-11

anan+l(“+1)("+2)n+\n+2

二数列J」一\的前2024项和为：

"+L

20.解：解析：(1)选择条件①：

由题意及正弦定理知(b+c)2=/+3A,

b1+021

a?=b?+c?—becosA=

2bc2

71

,**0<7T,•*-A——.

3

选择条件②：因为cos?]工+/]+cos/=*,所以si/Z+cos/=*,

uJ44

51

即l—cos9Z+cosZ=—,解得cos/=一，又0<4<»,

42

TT

所以

3

bc

(2)由一可得

sinBsinC

772

因为△ZBC是锐角三角形，由(1)知2=—,Z+3+C="得到B+C=—乃，

33

0<C<-

2yrjr1

故＜,解得一<C<一,所以一<b<2.

八2乃八万622

0<------C<—

32

21.解：⑴由题意知,/(1)=0,/,(X)=3X2-1,广⑴=3—1=2,

则y=/(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2(x—1),j=2x-2

设该切线与g(x)切于点(》2这(％))，g'(x)=2x,则g'(%2)=2X2=2,解得/二1,

则g(l)=l+a=2—2=0,解得a=—l；

(2)因为/'(x)=3/—1,则y=/(x)在点处的切线方程为y—(X；-

整理得y=(3x；-l)x-2心

设该切线与g(x)切于点(、2，g(x2))，g'(x)=2x,则8'(工2)=212，

则切线方程为y-(其+Q)=2X2(X-X2),整理得歹=2X2X-x1+a,

3432

贝43*2；1=2：2,整理得q=x；_2x：=(直一口-2X,=-X1-2X1--X1+-)

—21］=—x2+ci(22)424

g3i

令力(x)二—x4-2x3_~%2+“贝U=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1),

令/z'(x)〉O,解得一；<x<0或x〉1,

令〃'(%)<0,解得x<—；或0<x<1,

则x变化时，"(x),/z(x)的变化情况如下表：

(0,1)(1,+co)

X“1-301

—0+0—0+

5j_

/z(x)/-1/

274

则/z(x)的值域为［—1,+oo),故a的取值范围为［-1,+8)

22.解：(1)函数/(x)的定义域为(0,+00),函数g(x)的定义域为(-1,1)

函数g(x)=(l+x)ln(l+x)+(1-x)ln(l-x)在(一1,0)上单调递减，

在(0,1)上单调递增

证明：g(-x)=(l-x)ln(l-x)+(l+x)ln(1+x),g(-x)=g(x)

所以g(x)为(-1,1)上的偶函数.

g'(x)=ln(l+x)-ln(l-x)=InIn|-1...-j>0对VxG(0,1)恒成立.

1xIx1j

所以函数g(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增

(2)(证法一)要证明(〃+1)«(zz-l)«>n2,需证明——\I「〉1

nn-nn

一

n+\)«

即证明In>0,即

i+-

nn

由（1）可知即证g>0.

..•!€（0,1）且8（切在（0,1）单调递增，...8（，］〉8（0）=0

n\nJ

所以+1）"［（〃一I>1对〃£N*,n>l成立.

（证法二）要