2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学三诊试卷（文科）（含解析）

2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学三诊试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若集合M={x|log2X<4},N={x\2x>1],则MCN=（）

A.{x|0<x<8}B.{x|<x<8}C.{x|2<x<16}D.{x||<x<16}

2.某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名.从中抽取一个容量为60的

样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）

A.31,29B.32,28C.33,27D.34,26

3.已知meR,且嗤=l+2i,其中i是虚数单位，则-2”等于（）

A.5B.V-5C.V-2D.1

X

4.设p：log2x<0»q：2<2,则p是勺的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在△力BC所在平面内，。是BC延长线上一点且8。=4CD,E是4B的中点，设而=出前=

a则前=（）

A.+B.ja+jbC.一|方+：9D.-|a+|b

55446364

6.已知抛物线C：y2=2x的焦点是F,若点P是C上一点且横坐标为4,则|PF|的值是（）

9

A.2B.4C.D.5

7.设等比数列{斯}的前n项和为%.已知%+i=2Sn+n€N*,RIJS6=（）

A.yB.16C.30D.y

8.直线八rnx+y-m+1=0被圆C：（x+1/+（y-1）2=16所截得弦长的最小值为（）

A.4。B.3^2C.2y/~2D.<2

9.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin24+CasinB=0,b=2fc，

则：=（）

A色B.女C.ED.6

1353

10.在三棱锥P-4BC中，PA=PB=<6,平面PABJL平面4BC,PA1PB,AB1BC,

Z.BAC=30°,则PC=（）

A.V-6B.2V-6C.D.2/1^0

11.若点P是曲线y=Inx—/上任意一点，则点P到直线&x+y-4=0距离的最小值为（）

A.詈B.C.2A/~7D.4A/-7

21

12.实数x,y,z分别满足19、=20,20y=21,，。9警=元，则x,y,z的大小关系为（）

A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.y>x>z

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/（%）={#1?£一初”<1,则/■（/（-2））=_.

14.已知/（X）是定义域为R的奇函数，且当x<0时/'（x）=e,则/（仇2）=_.

15.在平面直角坐标系久Oy中，角a,0的终边分别与单位圆交于点4B,若直线的斜率

为g,则cos（a+/?）=___.

16.已知函数/（X）=2S0（3X+：）（3>0）,若f（x）在区间（今兀）上单调递增，则3的取值范

围是一•

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

2023年2月15日，四川省卫健委发布新版泗川省生育登记服务管理办法》，其中一条修订

内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件该修订内容在社会上引起了广泛的关注

和讨论.某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一

修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷.为了研究不同身份

与对政策态度的相关性，该小组将人群分为‘‘学生”、“教职工”、“家长”三种身份.被调

查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政策，但

是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”.研究结果如下表所示:

支持政策反对政策有条件地支持合计

学生305540

教职工20452590

家长158730

合计655837160

(1)为了研究校内人员身份(学生/教职工)与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和

“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组.试问，我们是否有99.5%的把握认为，校

内人员的身份(学生/教职工)和态度(比较支持/反对)有关？

(2)如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生4和学生B同时被选中的

概率.

2

参考公式：K2=------M也Q----------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>fc0)0.100.050.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

18.(本小题12.0分)

已知等差数列｛an｝的首项为1,公差d>0,其前n项和%满足S2s3=18.

(1)求公差d；

(2)是否存在正整数m,k使得ctm+am+2+am+4+…+am+2k=30.

19.(本小题12.0分)

如图⑴，己知边长为2的菱形4BCD中=60°,沿对角线BD将其翻折，使〃BC=90°,

设此时4c的中点为。，如图(2).

(1)求证：点。是点D在平面4BC上的射影；

(2)求点4到平面BCD的距离.

20.(本小题12.0分)

已知函数八为=空一1.

(1)求/(X)的单调区间；

(2)若/(x)>-a，nx对任意xe(1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为产，准线为过点F且斜率

大于。的直线交抛物线C于Z,B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线。4,

0B,，于点P,Q,N.

(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；

(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段Q。长为半径的圆内或圆上，求直线4B斜

率的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为忙=打叱“(9为参数)，以原点为极点，x

(y=2+Zstncp,

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)过点P(l,2)倾斜角为135。的直线I与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值.

23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|x-a|+|x+b|(a>0,6>0).

(1)当a=l,b=2时，解不等式f(x)<x+8；

(2)若函数f(x)的最小值是2,证明：£+总+总之|・

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：M={x|log2x<4]={x|0<x<16},N={x\x>今，

则MflN={x|；Wx<16}.

故选：D.

直接解出集合“，N,再求交集即可.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题.

根据分层抽样原理求出抽取的人数.

【解答】

解：根据分层抽样原理知,60x箫=33,60x藕=27,

所以抽取男生33人，女生27人.

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：由筌予=1+2i得(1+2i)(l+i)=m+33即-1+3i=m+3i,解得m=-4,

故|zn-2i|=|-l-2i|=V1+4=AT5.

故选：B.

利用复数乘法法则进行计算，得到徵=-1,再使用模长公式求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：log2%40，・•・0VX41，・•・P：0<%<1.

v2X<2,Ax<1,:・q：x<1.

则p是q的充分不必要条件.

故选：A.

利用对数与指数函数的单调性化简p，q，即可判断出结论.

本题考查了对数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为在△ABC所在平面内，。在BC延长线上，且BD=4CD,

所以前豆？，

又因为E是48的中点，

所以前=说+前=：南+'芯='而+—而一南）=£五+[@—五）=-|a+^K.

故选：C.

根据给定条件，借助平面向量的线性运算用血、而表示前即可判断作答.

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：••・抛物线C方程为：y2=2%,

・・・2p=2,，p=1,

又点P是C上一点且横坐标为4,

9

・•・根据抛物线定义可得：\PF\=xP+^=4+l2-

故选：C.

根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可求解.

本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由题得%+1=2Sn+；①,

Sn+2=2Sn+i+2®,

①一②，得%1+2=^an+l,即q=2,

则="1裂=(2n_1)

1-Z

代入①中，得(2"+1-1)%=2(2n-1)%+1,

所以由=

故S6若

故选：D.

根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解.

本题主要考查了等比数列的和与项的递推关系的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：直线八mx+y-m+l=O,即-1)+y+1=0,直线，过定点P(l,-1),

圆C的圆心为r=4,当PC11时，直线I被圆C截得的弦长最短.

因为|PC|=V(1+I)2+(-1-I)2=2<7,所以弦长的最小值为16-8=

故选：A.

确定直线过定点P(3,l),当PCJU时，直线I被圆C截得的弦长最短，计算即可.

本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】A

【解析】解：因为bsi/i24+y/~~2asinB=0，

由正弦定理得：2sEBs讥AcosA+y/~2sinAsinB=0,

因为sim4H0,sinBH0,

所以2cos4+V"7=0,

即cos4=-?，则sin/=

又因为b=2「c,

所以sinB=2y/~~2sinC,

所以sin(A+C)=22sinC,

贝iJsitL4cosc+cosAsinC=2yJ~~2sinCy

所以J^cosC一容s出C=2yT-2sinC»

所以cosC=SsinC,

又因为siMC+cos2c=1,

解得sinC=

6匚i“csEC1

所以£=再=可*,吃2=丁

故选：A.

先利用正弦定理将加讥2/+CasinB=0中的边化为角，变形整理可得cos4进而可得同

样的将b=2Cc中的边化角,结合^的正弦余弦值，可得sinC,最后通过冷鬻可求出结果.

本题考查正弦定理的应用，通过边化角求出角，考查了学生的计算能力，属于中档题.

io.【答案】c

_p

【解析】解：:P4=PB=PA1PB,

AB=2/3，1/

"AB1BC,ABAC=30°,BC

.・.BC=ABtan300=2,

•・•平面P4B1平面ABC,ABIBC,平面PABn平面4BC=/B,BCu平面/BC,

・•・BCJ_平面PAB,

・•・BC1PB,

：.PC=VPB2+BC2=

故选：c.

计算48,BC,利用勾股定理计算PC.

本题考查了线面位置关系的判断，属于中档题.

11.【答案】C

【解析】解：由、=加久-工2,得y'=：-2x(%>0),

令;-2%=—1,则(％-1)(2尤+1)=0,

,・,%>0,x=1,得y=-1,

即平行于直线％+y-4=0且与曲线y=Inx-/相切的切点坐标为(1,—1),

由点到直线的距离公式可得点P到直线x+y-4=0的距离的最小值d=口书4=2<2.

故选：C.

求出平行于直线x+y-4=0且与曲线y=Inx-/相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式

可得结论.

本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，考查化归与转化思想，

是基础题.

12.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查对数值大小的比较，构造函数，并利用导数研究构造函数的单调性是解本题的关键，

属于中档题.

由19%=20,20y=21,得x=logigZO,y=log2021,结合作差法和基本不等式公式，即可求得

x-y>0,即x>y,构造函数f(x)=等，结合导数研究构造函数的单调性，以及对数函数的公

式，即可求解.

【解答】

解:由1/=20,20y=21,得X=logi920,y=log2021,

x-y=log1920-log2021

lg20lg21lg220-Z^21-lgl9

=lgl9—lg20=均19.均20

2lg21lg1922

lg20-(^)lg20-(lgC21xl9))2

lgl9-lg20-lgl9-lg20

/20-(喈始=

1gl9也20―

・•・x>y,

设/(%)=竽，%w(o,+8),

求导可得，(。)=等，

当％E(e,+8)时，f(x)<0,/(%)在W(e,+8)单调递减,

故/(20)</(19),即等〉瞽，20万19>19仇20,

故192。>2019,

20

・•・1919>20，

20、】

**,通〉,。。1920=Xf

又1=缁瑞造

・,•Z>X,

综上所述，z>x>y.

故选：C.

13.【答案】4

【解析】解：因为〃乂)=[：上乎|一曾"<1，

[2,x>1

所以/(-2)=1+iog2(2-(-2))=1+log24=3,

所以/。(-2))=/(3)=23T=22=4.

故答案为：4.

根据分段函数的解析式先求/'(-2),进而求解即可.

本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题.

14.【答案】一；

x

【解析】解：根据题意，当xv0时，/(%)=ef

而72>0,则一仇2<0,所以/(］《)=elnl=i,

由/(x)是奇函数，则f(2n2)=-f(-Zn2)=-/(Ini)=-；；

故答案为:-

根据题意，由函数的解析式求出/(-加2)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

15.【答案】一卷

I"

【解析】解：由题意可得4(cosa,si?ia),B(cosS，sin0),,

所以七B二器鬻=摄,

不妨设4(一LO),A\°\7—'

则Q=7T,

令乙BAO=仇

则tcmJ=g,

所以sin。=cosd=当^^，

Q14.

所以cos£=cos20=而一元=寸

所以COS(a+0)=COS(7T+S)=-cos/?=-"

故答案为：—看.

根据三角函数的概念表示点的坐标A,B,利用同角的三角函数的基本关系式求角的三角函数值,

再利用二倍角公式及诱导公式即可化简求值.

本题考查了任意角的三角函数的定义，同角的三角函数的基本关系式，二倍角公式及诱导公式在

三角函数求值中的应用，属于中档题.

16.【答案】(0中

【解析】解：/（X）在G，兀）是增函数，S,，

乙ZZ

兀,兀CC

，5Z工一（JL），•**0<to<2,

-r-jTE7T7Tc7TA7T

又彳L<X<7T,4・,・彳<3%4+彳<2〃4+彳，令t=3%4+r

则f（x）=sint在tG©,2"+》的函数图像如下：

yt

0aVtZir+At

所以欲使得f（x）是增函数，则必须.<t<舞者当<t<271+1，

对于今<t<p即今<3X+：转,0<3X号,o<3W

对于函数y=，，在Xe&兀）时的值域是（得），0<34，

对于即<t<27T+p即期<<k）x+<2?r+v-<o><—,

2424444x%

对于函数丫=附在xeG，兀）时的值域是6,|）,即3?|,与0<3W2矛盾，无解;

故答案为：（。，勺.

先由正弦函数的周期性求出3的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出3的具体范围.

本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

17.【答案】解：根据题目所给数据得到如下2x2的列联表:

比较支持反对政策合计

学生35540

教职工454590

合计8050130

130x（35x45-5x45）2

2

K-40x90x80x50~16.45>7.879,

故有99.5%的把握认为校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关.

（2）从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，其中学生4和学生8同时被选中的概率g=

C5

3

10

【解析】(1)根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K2,对照题目中的表格，得出统计结论；

(2)利用古典概型概率公式即可求解.

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.

18.【答案】解：(1)根据题意,等差数列｛%｝的首项为1,前n项和又满足S2s3=18,

则有S2s3=(2%+d)(3%+3d)=(2+d)(3+3d)=18,解可得d=1或-4,

又由d>0,则d=1；

(2)根据题意，假设存在正整数?n,k使得+即1+2+a»n+4---am+2k=30,

由(1)的结论，ax=1>d=1,则an=n,

aa

则有+m+2+m+4+—dm+2fc=Tn+m+2+m+4+---...+m+2k=30,变形可得(m+

k)(k+1)=30,

存在k=1,m=14或k=2.m=8或k=4.m=2时符合题意.

【解析】(1)根据题意，由等差数列前律项和公式可得S2s3=(2%+d)(3ax+3d)=(2+d)(3+

3d)=18,解可得答案；

(2)根据题意，求出数列的通项公式，由此可得的n+Clm+2+即1+4+…+即1+2上=根+6+2+

m+4+-...+m+2k=30,变形可得(m+k)(k+1)=30,据此分析可得答案.

本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.

19.【答案】(1)证明：连接DO,DA=DC,。为AC的中点，二。。14C,

设菱形4BCC的边长为2,

又•.,乙4BC=90。，AC=2<2,连接B0，则80=S，

又•.•O4=DC=2,AC=2y/~2,DA2+DC2=AC2,^DA1DC,

可得D。=

XvBD=2,DO2+OB2=DB2,可得DO1.OB,

X/lCClOF=0,4Cu平面ABC,OBu平面4BC,二D。_L平面ABC,

点。是点。在平面ABC上的射影；

(2)解：设点4到平面BC。的距离为h,

由菱形ABC。的边长为2,H^DAB=60°,

则48co的面积为gBCxDCxsin60。=；x2x2x/=口,

则以-BCD=：SA8CD/I=?/I，AABC的面积为：BCX48=：X2X2=2,

由(1)知，0。_L平面力BC,DO=O,

•■•^D-ABC=1XSA48cXDO=1x2XV-2=

由匕-BCD=%>-48C，得?/1=今2，•■­h=

即点4到平面BCD的距离为亨.

【解析】(1)连接。。，B0,利用勾股定理证明D。_L0B,再证明。01平面ABC,即可得证；

(2)利用等体积法求解即可.

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体

的体积，是中档题.

1_A—ITJY

20.【答案】解：(1)函数/(x)的定义域为(0,l)U(l,+8),,,

(x-l)z

设g(x)=1-则7(x)=爰,

当％6(0,1),“(%)>0,g(%)为增函数,

当工£(L+8),g'(x)<0,g(x)为减函数，

所以g(%)有最大值g(i)=0，

所以g(%)vO,所以/'(%)<0,

所以/(%)的单调递减区间是(0,1)，(1,+8),无单调递增区间.

(2)不等式/(%)>-amx对xe(1,+8)恒成立，则(-一叶1)警-x+1>0,

X~1

当％G(L+8)时，只需(ax—a+l)Znx—%+1>0,

设H(x)=(ax-a+l)Znx—x+1,xG(1,+8)且"(1)=0,

H'(%)=alnx++Q—1,H'(l)=0,

“"(x)=g"，xe(L+8),

①当a<0时，H"(x)<0,H'(x)递减，则H'(©<H'(l)=0,故HQ)递减，

所以H(x)<H(l)=0,故aWO不满足.

②当0<a<3时，1>1,故当xe(1,；-1)时，”"(x)=<0,

则H'(x)递减，H'(x)<H'(l)=0,

故当x1)时，“(X)递减，

所以H(x)<H(l)=0,故0<a<:不满足，

③当a2g时，x6(l,+oo),Hz,(x)>0,则H'(x)递增，H'(x)>H'(l)=0,

故H(x)递增，所以H(x)>H(l)=0,满足题意，

综上，不等式f(x)>-ahix对任意久G(1,+8)恒成立时，a2

所以a的取值范围为由+8).

【解析】(1)函数/(乃的定义域为(0,1)U(1,+8),/Q)=去关，判断尸(%)的正负，进而得到/(x)

的单调区间.

(2)不等式/"(X)>—a，nx对无e(1,+8)恒成立，则(©-a+l华-x+120,当XQ+8)时，只需

X—1

(ax-a+l)lnx—x+1>0,然后求出a的取值范围即可.

本题考查导数的综合应用，考查了转化思想、分讨论思想的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)|PM|=|QN|.

证明：设4(J,yi)，8([,、2)，乃>。>及，

则M班著，丐%,N(-l,号孙F(l,0),

由于A,F,B三点共线，则才\整理得丫1%=-4,

---1----1

—41-14

IOA：y=p，则P(噌，空)，同理可得Q(岑士空),

则1PMi=华一宇=雪,侬|=个+1=甯，

所以|PM|=|QN|,即证;

(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段Q。长为半径的圆内或圆上，即|0<21>\PQ\

|0Q|2|QN|'

惜"号*学化简得

则《

[(*)2+(华产2(空产

又因为外力=-4,则及==_V_2,

kAB==-J-=2y/~2

d-d当+为,

44

则直线48斜率的取值范围为｛2。｝.

【解析】本题考查了直线抛物线的综合应用，考查了学生的运算能力，属于较难题.

(1)设招,yj，B落旷2)，%>0>力，M(华I华)，N(—l,空)，F(1,O),由于4F,B三

点共线可得:=-4,设a：y=尹，可求出P点的坐标，同理可得Q点的坐标，分别求出|PM|,

|QN|的长度,即可得出|PM|=|QM；

(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段Q0长为半径的圆内或圆上即；[俗，

代入即可求出y1=2<2,y2=一，9，~王及一2V2,即可求出43斜率.

T~

22.【答案】解(1)依题意，曲线C的普通方程为/+⑶_2)2=4,

即/+丫2—4y=0,i^x2+y2=4y,故p=4sin0,

故所求极坐标方程为p=4s讥①

x=l-9

(2)设直线，的参数方程为一+枭