中考数学专题复习课件第24讲图形的性质等腰三角形专题练习

备战2024中考数学专题复习第24讲图形的性质——等腰三角形专题练习一．角平分线的性质二．线段垂直平分线的性质三．等腰三角形的性质四．等腰三角形的判定五．等腰三角形的判定与性质六．等边三角形的性质七．等边三角形的判定八．等边三角形的判定与性质一．角平分线的性质1.到三角形的三边距离相等的点是(____)A.三角形三条高的交点B.三角形三条内角平分线的交点C.三角形三条中线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点【解析】解：到三角形的三边距离相等的点是：三角形三条内角平分线的交点．故选：B．B

【解析】解：如图所示，过点F作FD⊥OB于D，∵OF平分∠AOB，FM⊥OA，FD⊥OB，∴FD=FN=3，A∴FN≥FD=3，∴四个选项中只有A选项符合题意，故选：A．___3.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连结OP并延长．若∠AOB=54°，则∠AOP的度数为(____)A.54°B.36°C.27°D.26°【解析】解：∵两把长方形直尺的宽度相同，C

4.如图，AO、BO分别平分∠CAB、∠CBA．点O到AB的距离OD=4，若△ABC的周长为28，则△ABC的面积为____．【解析】解：连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，___∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OE=OF=OD=4，∵△ABC的周长=AB+AC+BC=28，56

【解析】解：∵∠MCD是△ACM的外角，∴∠MCD＞∠MAC，①②④∵AM平分∠BAC，∴∠MAB=∠MAC，∴∠MCD＞∠MAB，因此①正确；如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q，∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，∴MN=MQ，MP=MQ，∴MN=MP，∴BM平分∠CBE，因此②正确；

6.如图，在△ABC中，BC=9cm,CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE=2cm.则△BCD的面积为____cm2．

97.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程)【解析】解：如图，点P为所作．___8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm,AD是∠CAB的平分线，求DC的长．

二．线段垂直平分线的性质9.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为(____)A.16B.13C.19D.10【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴DA=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，C∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19，故选：C．10.在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC=BC．下面找法正确的是(____)A.___以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求B.___以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求C.____D作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求D.____作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求【解析】解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故选项D正确，故选：D．11.如图，在△ABC中，AC=10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为(____)A.4B.6C.8D.10【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC=10．∴BC=△BDC的周长-(BD+CD)=18-10=8，C故选：C．12.如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△AEC的周长为10cm,AD=3cm,则△ABC的周长为______．

16cm13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=6，则AC=____．【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=6，∵∠B=15°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°．∴AE=2AC．故AC=3．314.如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=18cm,AB=10cm,则△ABD的周长为______．【解析】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵BC=18cm,AB=10cm,∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BC+CD=AB+BC=28cm.故答案为：28cm.28cm15.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm.(1)线段BC=______；(2)分别连接OA、OB、OC，若∠DOE=80°，则∠BAC=______．【解析】解：(1)∵OM是线段AB的垂直平分线，ON是线段AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∵△ADE的周长13cm,13cm100°∴DA+DE+EA=13cm,∴BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=13(cm)，故答案为：13cm；(2)如图，____∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠OMA=∠ONA=90°，∵∠DOE=80°，∴∠BAC=360°-90°-90°-80°=100°，故答案为：100°．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD=16cm,则BC的长为____cm.

817.在△ABC中，AC=6，BC=8，作AB的垂直平分线交AB、BC于点E、F，连结AF，则△AFC的周长为____．【解析】解：∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴△AFC的周长=AC+CF+AF=AC+CF+BF=AC+BC，∵AC=6，BC=8，∴△AFC的周长=6+8=14．故答案为：14．1418.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．(1)AB，AC，CE的长度有什么关系？(2)AB+BD与DE有什么关系？请说明理由．【解析】解：(1)AB=AC=CE，∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC；又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=EC，∴AB=AC=CE；(2)AB+BD=DE，理由是：∵AB=AC=CE，∵AC+CD=AB+BD，∴DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=EC+CD=DE．19.如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．(1)若△CDE的周长为4，求AB的长；(2)若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；(3)若∠ACB=a(90°＜a＜180°)，则∠DCE=___________．【解析】解：(1)∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4；2α-180°(2)∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°；(3)∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案为：2α-180°．20.已知，如图，AB平分∠CBD，AB平分∠CAD．求证：AB垂直平分CD．

∴DB=BC，AD=AC，∴B、A都在DC的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．21.已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD=AB，连接BD交AC于点O．(1)如图1，求证：AC垂直平分BD；(2)如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN．求证：NB=NM．【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，∵CD∥AB，且CD=AB，∴CD=CA=BC，∠ACD=∠ACB=60°，∴BO=DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；(2)由(1)知AC垂直平分BD，∴NB=ND，∵ND=NM，∴NB=NM．三．等腰三角形的性质22.已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为(____)A.70°B.55°C.40°D.40°或70°【解析】解：当这个角是底角时，其顶角=40°；当这个角是顶角时，顶角=70°；故选：D．D23.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，若∠A=36°，则∠DBC的大小是(____)A.18°B.36°C.54°D.72°【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，A∴∠DBC=90°-72°=18°．故选：A．24.如果等腰三角形两边长是5cm和2cm,那么它的周长是(____)A.7cmB.9cmC.9cm或12cmD.12cm【解析】解：当三边是2cm,2cm,5cm时，不符合三角形的三边关系；当三角形的三边是5cm,5cm,2cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是5+5+2=12cm.故选：D．D25.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C为(____)____A.25°B.35°C.40°D.50°【解析】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，B

26.如图，AB=AC，AF=AE，∠B=25°，则∠C=(____)A.25°B.30°C.45°D.60°

A∴∠B=∠C=25°．故选：A．27.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD．若∠CAD=27°，则∠BAD的大小为(____)A.50°B.51°C.52°D.54°【解析】解：∵AB=AC，AD=BD，∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD，∴180°-2∠BAD=27°+∠BAD，B∴∠C=51°，故选：B．28.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是(____)A.等边对等角B.等角对等边C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一”【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，D故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．29.等腰三角形的三边长分别为m,4，9，则m的值是(____)A.4B.9C.4或9D.17【解析】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4时，∴等腰三角形的三边长分别为4，4，9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形；B当等腰三角形的腰长为9时，∴等腰三角形的三边长分别为4，9，9，∴m=9；综上所述：m的值是9，故选：B．30.如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数为(____)A.75°B.80°C.85°D.90°【解析】解：∵AB=BC，∴∠ACB=∠A=18°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，D∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD=36°，∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，∵CD=DE，∴∠CED=∠DCE=54°，∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°，∵DE=EF，∴∠EFD=∠EDF=72°，∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°．故选：D．31.如图所示，等腰三角形ABC的底边BC=4，高AD为8，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，交AB于点E，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为____．【解析】解：连接AD，__∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，10

32.如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90°，AB＜AC，设∠ABC=α，∠C=β，过点A的射线l交BC于点D，点E在AD延长线上，且BC=BE，∠E=∠C，请写出∠BAE、α和β满足的数量关系：____________．【解析】解：∠BAE、α和β满足的数量关系是：∠BAE=a+β，理由如下：在AE上截取HE=AC，连接BH，如图所示：∠BAE=a+β

∴AB=BH，∠HBE=∠ABC=α，∴∠BAE=∠BHA，∵∠BHA=∠HBE+∠E=α+β∴∠BAE=a+β．

故答案为：45；(2)过点D作DM⊥BC于点M，____∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DM⊥BC，∴AD=DM，∵∠C=45°，∠DMC=90°，∴DM=CM=AD，∵BC=BM+CM，∴BC=AB+DM，

34.在如图所示的△ABC中，若AB边上的点D使得AD=CD=BD，则∠ACB=_____．【解析】解：∵AD=CD=BD，∴∠A=∠ACD，∠DCB=∠B，∴∠ACD+∠DCB=∠A+∠B，∴∠ACB=∠A+∠B，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴∠ACB=90°，故答案为：90°．90°35.等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为____．【解析】解：当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，6，∵3+3=6，∴不能构成三角形；当6是腰长时，三角形的三边长分别为3，6，6，∵3+6=9＞6，∴能构成三角形，∴周长为：3+6+6=15，综上所述，三角形的周长为：15，故答案为：15．1536.若等腰三角形有两条边长分别为1和3，则其周长为____．【解析】解：①1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、3，∵1+1=2＜3，∴不能组成三角形；②1是底边时，三角形的三边分别为1、3、3，能组成三角形，周长=1+3+3=7，综上所述，三角形的周长为7．故答案为：7．737.等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是____________．【解析】解：①当这个角是顶角时，底角=(180°-70°)÷2=55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°；故答案为：55°或70°．55°或70°38.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中的全等三角形，并证明它们全等．【解析】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；∵D是BC的中点，∴BD=DC，AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)；∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AE为∠BAC的平分线，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，∴△ABE≌△ACE；∵△ABE≌△ACE，∴BE=CE，在△BDE和△CDE中，∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，∴△BDE≌△CDE．39.如图，在△ABC中，AB=AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．__________(1)如图(1)，若∠A=40°，则∠NMB=____度；(2)如图(2)，若∠A=70°，则∠NMB=____度；(3)如图(3)，若∠A=120°，则∠NMB=____度；(4)由(1)(2)(3)问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．203560

40.如图，△ABC中，AB=AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE．【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD∥CB，∴∠B=∠EAD，∠C=∠CAD，∴∠EAD=∠CAD，∴AD平分∠CAE．41.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，AD=BD，AC=DC．求∠BAC的度数．【解析】解：设∠B=α，∵AB=AC，∴∠B=∠C=α，∵AD=BD，∴∠B=∠BAD=α，∴∠CDA=∠B+∠BAD=2α，∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=2α，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=3α，在△CAD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°，∴α+2α+2α=180°，解得：α=36°，∴∠BAC=3α=3×36°=108°．42.【问题背景】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC=2∠C，BD=CD．【问题探究】(1)若∠A=∠DEC，试说明AB=EC；(2)若AB=BD，求∠A的度数．【解析】解：(1)∵BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C，∴∠ABD=∠C，

43.如图，在△ABC中，AB=BD=AC，点D恰好落在线段AC的垂直平分线上，求∠B的度数．【解析】解：∵点D恰好落在线段AC的垂直平分线上，∴AD=CD，∴∠C=∠DAC，∵∠BDA=∠C+∠DAC，∴∠BDA=2∠C，∵AB=BD=AC，∴∠BAD=∠BDA，∠B=∠C，∴∠BAD=∠BDA=2∠B，∵∠BAD+∠BDA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．44.已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，过BC边上一点D作DE∥AC交AB于点E，且AE=DE，求证：AD⊥BC．【解析】证明：∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD，∵AE=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAD=∠CAD，∵AB=AC，∴AD⊥BC．四．等腰三角形的判定45.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得△ABC为等腰三角形的格点C有(____)个．A.7B.8C.9D.10【解析】解：①以AB为腰的等腰三角形：以点B为圆心，AB为半径作圆形成的等腰三角形有5个，B以点A为圆心，AB为半径作圆形成的等腰三角形有3个；②以AB为底边的格点C不存在．故使得△ABC为等腰三角形的格点C有8个．故选：B．46.如图，直线AB∥CD，若∠1=60°，∠2=30°，求证：△FCE是等腰三角形．【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠DFE=∠1=60°，∵∠DFE=∠2+∠E，∠DFE=60°，∠2=30°，∴∠2=∠E，∴CF=EF，∴△FCE是等腰三角形．五．等腰三角形的判定与性质47.如图，△ABC中，AB=7cm,BC=5cm,AC=6cm,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB，AB于点D，E，则△ADE的周长为(____)A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，A∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=DO，同理OE=EC，∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=7+6=13cm.故选：A．48.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周长是18，则AB+AC=(____)A.9B.12C.15D.18【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠MBO=∠OBC，D∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∴∠MBO=∠MOB，∴MO=MB，同理ON=NC，∴OM+ON=MB+NC，∴MN=MB+NC，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC，∵△AMN的周长是18，∴AB+AC=18，故选：D．49.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB=12，AC=8，BC=13，则△AEF的周长是(____)A.15B.18C.20D.22【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，C∴∠ABD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB，同理可证得DF=FC，∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=20，即△AEF的周长为20，故选：C．

【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC=45°，B∴∠DCB=45°，∴△BDH为等腰直角三角形，∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．故①正确；连接CG．___∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC，∴BG=CG，在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG，∵CE=AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC(ASA)．∴BF=AC；DF=AD．∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故③正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA)．

51.如图，AC平分∠BAD，AB∥CD，BC=4，∠BAD=30°，∠B=90°，则CD的长为____．【解析】解：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，8_______∵CD∥AB，∠B=90°，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=4，在Rt△ADE中，∠BAD=30°，∴AD=2DE=2×4=8，∴CD=8．故答案为：8．52.如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．求证：OC=OD．【解析】证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∴∠C=∠D，∴OC=OD．53.如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．【解析】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，∴∠1=∠3，∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴DB=DO，同理可得EO=CE，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC=15，而BC的长为6，∴AB+AC=9，∴△ADE的周长为9．54.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．求证：AE=DE．

∵∠B=72°，∠DCB=36°，∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE．六．等边三角形的性质55.等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，AD=AE，∠EDC=15°，则线段CD的长为____．【解析】