数系的扩充和复数的概念课件高一下学期数学人教A版(1)3

7.1.1数系的扩充和复数的概念数系的演变过程引入问题1我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系，回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？数系的扩充都是为了解决生产生活中的问题追问：分别解决了什么实际问题和数学问题？从社会实践来看计数的需要引入了自然数自然数集刻画相反意义的量整数集有理数集无理数集引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线的问题引入了无理数引入复数概念的产生1545年，卡尔丹引入复数的平方根1637年，笛卡尔给出“虚数”的名称1777年，欧拉首次使用符合i表示-1的平方根；1831年，高斯主张用a+bi表示复数……引入问题2你能借助下列方程，从解方程的角度加以说明吗？

（1）

方程

x＋4＝3在自然数范围的解

（2）

方程2x＝5在整数范围内的解

（3）

方程x2＝7在有理数范围内的解

（4）

方程x2+1=0在实数范围内的解探究1

我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？

提示

为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使i2＝－1.经过扩充后，我们仍希望加法与乘法满足交换律结合律。依次设想，我们（1）把实数b与i相乘，结果记作bi（2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi我们发现所有的实数与i都可以写成a+bi(a，b∈R)的形式，于是我们就得到了复数的概念。1.定义：形如__________

(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，__________所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.2.表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.知识梳理a＋bi全体复数复数概念例1√已知复数z1＝3＋2i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于A.－3

B.3

C.－1 D.1复数z1＝3＋2i的实部为3，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝3，解得a＝－3.若复数2＋bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为训练1√复数2＋bi的实部为2，虚部为b，由题意知2＋b＝0，所以b＝－2.2.复数的分类探究2

复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？提示

b＝0.探究3

如何利用集合关系表示实数集R和复数集C?提示

R

C.知识梳理1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数虚数a＝02.集合表示：例2－13.复数相等的概念探究4

复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝1＋2i，那么a，b的值分别是什么？设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔________________.特别地，a＋bi＝0⇔____________.（即如果两个复数实部与虚部分别相等，那么就说这两个复数相等a＝c且b＝da＝b＝0相等复数提示

a＝1，b＝2.例3方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.2由(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，思考两个实数能否比较大小，那么复数可以比较大小吗？例4

若复数z＝a＋bi＞0，则a,b满足什么条件？

若复数z＝a＋bi＞0，则a,b满足a>0,b=0？拓展提高若复数z＝（m+1