数学悖论与三次数学危机省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

数学悖论与三次数学危机“……古往今来，为数众多悖论为逻辑思想发展提供了食粮。”

——N·布尔巴基

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什么是悖论？笼统地说，是指这么推理过程：它看上去是合理，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律矛盾命题：由它真，能够推出它为假；由它假，则能够推出它为真。因为严格性被公认为是数学一个主要特点，所以假如数学中出现悖论会造成对数学可靠性怀疑。第2页

假如这一悖论包括面十分广泛话，这种冲击波会更为强烈，由此造成怀疑还会引发人们认识上普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接造成“数学危机”产生。按照西方习惯说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这么数学危机。

第3页希帕索斯悖论与第一次数学危机

希帕索斯悖论提出与勾股定理发觉亲密相关。所以，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨明珠之一。它在数学与人类实践活动中有着极其广泛应用，同时也是人类最早认识到平面几何定理之一。在我国，最早一部天文数学著作《周髀算经》中就已经有了关于这一定理初步认识。不过，在我国对于勾股定理证实却是较迟事情。一直到三国时期赵爽才用面积割补给出它第一个证实。

第4页在国外，最早给出这一定理证实是古希腊毕达哥拉斯。因而国外普通称之为“毕达哥拉斯定理”。而且听说毕达哥拉斯在完成这一定理证实后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。所以这一定理还又取得了一个带神秘色彩称号：“百牛定理”。第5页毕达哥拉斯第6页

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊著名数学家与哲学家。他曾创建了一个合政治、学术、宗教三位一体神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出著名命题“万物皆数”是该学派哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派数学信仰。然而，含有戏剧性是由毕达哥拉斯建立毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰“掘墓人”。第7页毕达哥拉斯定理提出后，其学派中一个组员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1正方形其对角线长度是多少呢？他发觉这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯发觉造成了数学史上第一个无理数√2诞生。小小√2出现，却在当初数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。第8页实际上，这一伟大发觉不不过对毕达哥拉斯学派致命打击。对于当初全部古希腊人观念这都是一个极大冲击。这一结论悖论性表现在它与常识冲突上：任何量，在任何准确度范围内都能够表示成有理数。这不但在希腊当初是人们普遍接收信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确！第9页

可是为我们经验所确信，完全符合常识论断竟然被小小√2存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬事！它简直把以前所知道事情根本推翻了。更糟糕是，面对这一荒谬人们竟然毫无方法。这就在当初直接造成了人们认识上危机，从而造成了西方数学史上一场大风波，史称“第一次数学危机”。

第10页欧多克第11页二百年后，大约在公元前370年，才华横溢欧多克索斯建立起一套完整百分比论。他本人著作已失传，他结果被保留在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯巧妙方法能够避开无理数这一“逻辑上丑闻”，并保留住与之相关一些结论，从而处理了由无理数出现而引发数学危机。但欧多克索斯处理方式，是借助几何方法，经过防止直接出现无理数而实现。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种处理方案下，对无理数使用只有在几何中是允许，正当，在代数中就是非法，不合逻辑。或者说无理数只被看成是附在几何量上单纯符号，而不被看成真正数。第12页一直到18世纪，当数学家证实了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中正当地位确实立，首先使人类对数认识从有理数拓展到实数，另首先也真正彻底、圆满地处理了第一次数学危机。

第13页贝克莱第14页贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机导源于微积分工具使用。伴伴随人们科学理论与实践认识提升，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发觉。这一工具一问世，就显示出它非凡威力。许许多多疑难问题利用这一工具后变得易如翻掌。不过不论是牛顿，还是莱布尼兹所创建微积分理论都是不严格。两人理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念无穷小量了解与利用却是混乱。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人反对与攻击。其中攻击最猛烈是英国大主教贝克莱。第15页

1734年，贝克莱以“渺小哲学家”之名出版了一本标题很长书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家论文，其中审查一下近代分析学对象、标准及论断是不是比宗教神秘、信仰关键点有更清楚表示，或更显著推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿理论进行了攻击。比如他指责牛顿，为计算比如说x2导数，先将x取一个不为0增量Δx，由(x+Δx)2-x2，得到2xΔx+(Δx2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最终突然令Δx=0，求得导数为2x。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确结果”。因为无穷小量在牛顿理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。所以，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量幽灵”。贝克莱攻击虽说出自维护神学目标，但却真正抓住了牛顿理论中缺点，是切中要害。

第16页数学史上把贝克莱问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论能够表述为“无穷小量终究是否为0”问题：就无穷小量在当初实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题提出在当初数学界引发了一定混乱，由此造成了第二次数学危机产生。第17页牛顿莱布尼兹第18页针对贝克莱攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图经过完善自己理论来处理，但都没有取得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。首先微积分在应用中大获成功，另首先其本身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分取舍上到底何去何从呢？

第19页“向前进，向前进，你就会取得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前号角，在此号角鼓舞下，十八世纪数学家们开始不顾基础不严格，论证不严密，而是更多依赖于直观去开创新数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。第20页经过一个多世纪漫漫征程，几代数学家，包含达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成欧拉等人努力，数量惊人前所未有处女地被开垦出来，微积分理论取得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙，不严密工作也造成谬误越来越多局面，不谐和音刺耳开始震动了数学家们神经。第21页柯西第22页到十九世纪，批判、系统化和严密论证必要时期降临了。使分析基础严密化工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本含有划时代意义书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷运算化为一系列不等式推导。第23页这就是所谓极限概念“算术化”。以后，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善我们当前所使用“ε-δ”方法。另外，在柯西努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数和等概念也建立在了较坚实基础上。不过，在当初情况下，因为实数严格理论未建立起来，所以柯西极限理论还不可能完善。

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柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整实数体系。魏尔斯特拉斯理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟道路，建立起来严谨极限理论与实数理论，完成了分析学逻辑奠基工作。第25页数学分析无矛盾性问题归纳为实数论无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟大厦建在了牢靠可靠基础之上。重建微积分学基础，这项主要而困难工作就这么经过许多出色学者努力而胜利完成了。微积分学坚实牢靠基础建立，结束了数学中暂时混乱局面，同时也宣告了第二次数学危机彻底处理。第26页罗素悖论与第三次数学危机

第27页康托尔第28页十九世纪下半叶，康托尔创建了著名集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人猛烈攻击。但很快这一开创性结果就为广大数学家所接收了，而且取得广泛而高度赞誉。数学家们发觉，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为当代数学基石。“一切数学结果可建立在集合论基础上”这一发觉使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们能够建造整个数学大厦……今天，我们能够说绝正确严格性已经到达了……”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界消息传出：集合论是有漏洞！这就是英国数学家罗素提出著名罗素悖论。

第29页罗素结构了一个集合S：S由一切不是本身元素集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？依据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。所以，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义。但对这个看似合理问题回答却会陷入两难境地。假如S属于S，依据S定义，S就不属于S；反之，假如S不属于S，一样依据定义，S就属于S。不论怎样都是矛盾。第30页罗素第31页其实，在罗素之前集合论中就已经发觉了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发觉了最大基数悖论。不过，因为这两个悖论都包括集合中许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引发大注意。罗素悖论则不一样。它非常浅显易懂，而且所包括只是集合论中最基本东西。所以，罗素悖论一提出就在当初数学界与逻辑学界内引发了极大震动。第32页如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论信后难过地说：“一个科学家所碰到最不合心意事莫过于是在他工作即将结束时，其基础瓦解了。罗素先生一封信恰好把我置于这个境地。”戴德金也所以推迟了他《什么是数本质和作用》一文再版。能够说，这一悖论就象在平静数学水面上投下了一块巨石，而它所引发巨大反响则造成了第三次数学危机。

第33页危机产生后，数学家纷纷提出自己处理方案。人们希望能够经过对康托尔集合论进行改造，经过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新标准。“这些标准必须足够狭窄，以确保排除一切矛盾；另首先又必须充分辽阔，使康托尔集合论中一切有价值内容得以保留下来。”1908年，策梅罗在自已这一标准基础上提出第一个公理化集合论体系，以后经其它数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上填补了康托尔朴素集合论缺点。第34页除ZF系统外，集合论公理系统还有各种，如诺伊曼等人提出NBG系统等。公理化集合系统建立，成功排除了集合论中出现悖论，从而比较圆满地处理了第三次数学危机。但在另首先，罗素悖论对数学而言有着更为深刻影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切需要姿态摆到数学家面前，造成了数学家对数学基础研究。而这方面深入发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了当代数学史上著名三大数学流派，而各派工作又都促进了数学大发展等等。

第35页以上简单介绍了数学史上因为数学悖论而造成三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推进数学发展中巨大作用。有些人说：“提出问题就是处理问题二分之一”，而数学悖论提出正是让数学家无法回避问题。它对数学家说：“处理我，不然我将吞掉你体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出那样：“必须认可，在这些悖论