2022年浙江省宁波市北仑区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2022年浙江省宁波市北仑区中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在下列实数中，属于无理数的是A． B． C．2022 D．2．（4分）截止到3月底，我国60岁以上的老年人中有2.12亿人完成了新冠病毒疫苗的全程接种．其中2.12亿用科学记数法表示为A． B． C． D．3．（4分）下列计算正确的是A． B． C． D．4．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是A． B． C． D．5．（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A． B． C． D．6．（4分）北仑区某中学十位学生在体育中考中的中长跑项目成绩记录如表，则这些学生的中长跑成绩的中位数和众数分别为得分（分78910人数2341A．8和9 B．8.5和10 C．8.5和9 D．9和97．（4分）如图，在中，，，为上一点且，于，连结，则A． B． C． D．8．（4分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重两，燕重两，可列出方程组A． B． C． D．9．（4分）已知二次函数（其中是自变量），当时．随的增大而增大，且时，的最小值为，则的值为A．3 B． C． D．10．（4分）将矩形和矩形分割成5块图形（如图中①②③④⑤，并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形．若，，，那么矩形的面积为A．20 B．24 C．30 D．45二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）．12．（5分）分解因式：．13．（5分）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了人．14．（5分）如图，已知是一个水平放置圆锥的主视图，，，则圆锥的侧面积为．15．（5分）如图，在正六边形内取一点，作与边，相切，并经过点，已知的半径为，则正六边形的边长为．16．（5分）如图，在中，点在反比例函数上，延长至点，使得，点是直线与轴的交点．过点作交射线于点，连结，则的面积为．三、解答题（本大题共有8题，共80分）17．（8分）先化简，再求值：，其中．18．（8分）在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．要求①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹．（1）在图1中，在直线上找到一点，作，使得；（2）在图2中，在直线上找到一点，作，使得．19．（10分）某校社团活动开设的体育选修课，篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生选修其中的一门．学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？（3）该班的其中某4各同学，1人选修篮球（A），2人选修足球（B），1人选修排球（C）．若要从这4人中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率．20．（8分）我市准备在相距2千米的，两工厂间修一条笔直的公路，但在地北偏东方向、地北偏西方向的处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：，21．（10分）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒，，，组成，其中，，，分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设，菱形的面积为．（1）写出关于的函数关系式；（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？22．（10分）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）23．（12分）如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补．那么这两个三角形叫做互补三角形，如图1．是的中线，则和就是互补三角形．（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”①互补三角形一定不全等．命题②互补三角形的面积相等．命题（2）如图2，和为互补三角形，，，是的中线．求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，，三点共线，连结，，四边形为圆内接四边形，当时，求的值．24．（14分）【证明体验】（1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，，．求证：；【思考探究】（2）如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，，求的值；【拓展延伸】（3）如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值．

2022年浙江省宁波市北仑区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在下列实数中，属于无理数的是A． B． C．2022 D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．【解答】解：、2022是整数，是分数，这些都属于有理数；是无理数．故选：．【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．2．（4分）截止到3月底，我国60岁以上的老年人中有2.12亿人完成了新冠病毒疫苗的全程接种．其中2.12亿用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．【解答】解：2.12亿．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．3．（4分）下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】利用合并同类项法则计算、，同底数幂的乘法法则计算，积的乘方法则计算，根据计算结果得结论．【解答】解：，故计算正确；与不是同类项，不能加减，故计算错误；，故计算错误；，故计算错误．故选：．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键．4．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，故，解得：．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．5．（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6．（4分）北仑区某中学十位学生在体育中考中的中长跑项目成绩记录如表，则这些学生的中长跑成绩的中位数和众数分别为得分（分78910人数2341A．8和9 B．8.5和10 C．8.5和9 D．9和9【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：由表可知这10位学生成绩从小到大排列，排在第5、6的成绩为8分、9分，即中位数为，数据9出现次数最多，故众数为9．故选：．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．（4分）如图，在中，，，为上一点且，于，连结，则A． B． C． D．【分析】先根据及得到，从而得到，再在中，，设，则，，从而表示出，最后根据锐角三角函数的定义求出．【解答】解：，，，，在中，，设，则，，，．故选：．【点评】本题主要考查解直角三角形，涉及到平行线的判定，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数的定义等，解题关键是熟练使用相关概念进行推理．8．（4分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重两，燕重两，可列出方程组A． B． C． D．【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组．【解答】解：五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤两），，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，，即，，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（4分）已知二次函数（其中是自变量），当时．随的增大而增大，且时，的最小值为，则的值为A．3 B． C． D．【分析】由时．随的增大而增大可判断抛物线开口方向，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，进而求解．【解答】解：时．随的增大而增大，抛物线开口向下，即，，抛物线对称轴为直线．，时，为最小值，解得，故选：．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（4分）将矩形和矩形分割成5块图形（如图中①②③④⑤，并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形．若，，，那么矩形的面积为A．20 B．24 C．30 D．45【分析】先判定，即可得出；设，则，再根据，即可得到，即，进而得到，，最后根据进行计算，即可得到矩形的面积．【解答】解：由题意知，，，，，，，，，设，则，，，，，即，解得，，，．故选：．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）1．【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答．【解答】解：．故答案为：1．【点评】本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．12．（5分）分解因式：．【分析】先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．【解答】解：，，．【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．13．（5分）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了10人．【分析】设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染中有人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染中有人被感染，第二轮传染中有人被感染，依题意得：，即，解得：，（不合题意，舍去），每轮传染中平均每个人传染了10人．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（5分）如图，已知是一个水平放置圆锥的主视图，，，则圆锥的侧面积为．【分析】利用三视图得到圆锥的母线长，根据余弦函数的定义求出底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算此圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥底面圆的半径，所以此圆锥的侧面积．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．15．（5分）如图，在正六边形内取一点，作与边，相切，并经过点，已知的半径为，则正六边形的边长为．【分析】根据对称性可得点以及正六边形的外接圆的圆心均在线段上，由切线的性质和锐角三角函数可求出，进而求出正六边形的外接圆半径，再根据正六边形的性质可求出答案．【解答】解：如图，连接，由对称性可知，点以及正六边形的外接圆的圆心均在线段上，设与、相切于点、，连接、、，则，六边形是正六边形，，由对称性可得，，在中，，，，，正六边形的外接圆半径，六边形是正六边形，△是正三角形，，即正六边形的边长为，故答案为：．【点评】本题考查切线的性质，正多边形与圆，掌握正六边形的对称性以及正六边形与圆的性质是正确解答的前提．16．（5分）如图，在中，点在反比例函数上，延长至点，使得，点是直线与轴的交点．过点作交射线于点，连结，则的面积为4.5．【分析】设，，证明，用表示，过作于，过作于，再证明，求得，最后根据三角形的面积公式求得结果便可．【解答】解：设，，则，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，，过作于，过作于，则，，，，即，，，，故答案为：4.5．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是数形结合，利用相似三角形求得．三、解答题（本大题共有8题，共80分）17．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】先通分算括号内的，再约分，化简后将的值代入．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式化简．18．（8分）在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．要求①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹．（1）在图1中，在直线上找到一点，作，使得；（2）在图2中，在直线上找到一点，作，使得．【分析】（1）构造等腰直角三角形解决问题即可；（2）取格点，，作直线交直线于点，连接，点即为所求．【解答】解：（1）如图1中，即为所求；（2）如图2中，即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19．（10分）某校社团活动开设的体育选修课，篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生选修其中的一门．学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？（3）该班的其中某4各同学，1人选修篮球（A），2人选修足球（B），1人选修排球（C）．若要从这4人中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率．【分析】（1）利用组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出组人数，然后计算出组人数后补全频数分布直方图；（2）用总人数乘以样本中项目人数所占比例即可；（3）利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）总人数（人，组的人数（人，所以组的人数（人，频数分布直方图为：（2）估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有（人；（3）列表如下：共有12种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数为4，所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．也考查了统计图．20．（8分）我市准备在相距2千米的，两工厂间修一条笔直的公路，但在地北偏东方向、地北偏西方向的处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：，【分析】根据题意，在中，，，千米，是否搬迁看点到的距离与0.6千米的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求点到的距离，作于点．【解答】解：过点作于，，千米，即千米，（千米）0.73千米千米．答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．【点评】考查了解直角三角形的应用方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高，原则上不破坏特殊角、、．21．（10分）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒，，，组成，其中，，，分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设，菱形的面积为．（1）写出关于的函数关系式；（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？【分析】（1）、、、分别是菱形四边的中点，得出，根据菱形面积公式求出关于的画数关系式；（2）求出的取值范围，整理，函数图象开口向下，自变量的取值在对称轴左侧，所以取最大值时，面积有最大值．【解答】解：（1）、为、中点，．同理：，，，四边形是菱形，．（2），，，，．又，当即为时面积最大，此时最大面积为．【点评】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判出取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值．22．（10分）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）【分析】（1）设乙种图书进阶每本元，则甲种图书进阶为每本元，由题意：用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；（2）设书店甲种图书进货本，总利润为元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出，再由新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．【解答】解：（1）设乙种图书进阶每本元，则甲种图书进阶为每本元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，则，答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；（2）设书店甲种图书进货本，总利润为元，由题意得：，，解得：，随的增大而增大，当最大时最大，当时，最大（元，此时，乙种图书进货本数为（本答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．23．（12分）如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补．那么这两个三角形叫做互补三角形，如图1．是的中线，则和就是互补三角形．（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”①互补三角形一定不全等．假