高三数学理科四周导学案课时

导数及其第1用书(1)x1趋于x0，即Δx趋于0导数及其第1用书(1)x1趋于x0，即Δx趋于0yf′(x0)表示，记））1000xf′(x)＝＝．00 (2)f(x)在区间(a，b)上的每一x2.3.f(x)＝c(c为实数)，则f′(x)＝0；f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx；f(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0f(x)＝ex若f(x)＝logax，则 (a＞0且若f(x)＝logax，则 (a＞0且xln1(3)f（x）复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为曲线y＝f(x)“y＝f(x)P(x0，y0)处的切线是Pf′(x0)存在时，切线的斜k＝f′(x0)；曲y＝f(x)P(x0，y0)的切线，是指切线经P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．解析f′(x)＝4ax3＋2bx答案2．下列求导运算正确的是 2xlnD．(x2cosx 2xlnD．(x2cosx)′＝－2sin答案3．(2013·江西六校联考)曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0，1)处的切线与直线 2 3111答案4．(2011·山东)y＝x3＋11P(1，12)y(解析y′＝3x2，切点为P(1，12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为答案5．(2013·西安模拟)曲线y＝e2x在点(0，1)处的切线方程 y′＝(e2x)′＝2e2x，k＝y′|x＝0＝2·e0＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－0)×答案用书1】►y＝xx＝x0[审题视点]解题的关键是求出Δy、Δx，然后求出极限即可limΔx→0Δxx0＋Δx－x0解（x0＋Δx－x0）（x0＋Δx＋Δx（x0＋Δx＋x0 1（x0＋Δx－x0）（x0＋Δx＋Δx（x0＋Δx＋x0 1 x0＋Δx＋2011 ∴y′|x＝考向二A．sin B．1－sinC．1＋sinD．－1－sin(2)①y＝x2sin ③y＝(2x－3)5;[审题视点](1)先求f(x)的导函数，然后再把x＝1代入导函数的解析式运算导．(1)解析∵f(x)＝－cosx＋lnx，1答案(2)解①y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cos(2)解①y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cos yx′＝yu′·ux′＝2x＋5·(2x＋5)′＝2x＋5(1)(2)求复合函数的导数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始＋lnx)．A．－e ②y＝x－sin2cos (1)解析④y＝x1答案(2)解＝2（ex（exxx12＝x－2sin②y＝x－sin∴y′＝1－2cos1 5④y′＝(x＝x′· ＝2. 5④y′＝(x＝x′· ＝2.＝1＋x 考向三aln (2)已知曲 1[审题视点](1)f′(x)后，由f(1)＝1f′(1)＝－2(2) －lnx解 且过点，2故即11f′（1）＝－2，1432 3 3＋ 02＋03 3 —x0＋ 02＋03 3 —x0＋ 0—＋ 0∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求过某点的切线方程时需设出 sin 【训练3】(1)曲线y＝sinx＋cosx－2在点M4，0处的切线的斜率为 C．－D. 22(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直cosx（sinx＋cosx）－（cosx－sinx）sin(1)解析（sinx＋cos y′|x＝4π11答案(2)解∴抛物线在Q(2，－1)处的切线又∵P(1，1)，Q(2，－1)在抛物线又∵P(1，1)，Q(2，－1)在抛物线上联立①②③解方程组，得用书【命题研究】【真题探究】(13分)(2012·安徽)(1)求f(x)在[0，＋∞)(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为[教你审题](1)求出原函数的导函数，按照函数极值点是否在区间[0，＋∞)内的双重作用，找到关于参数a，b的方程组，求出a，b.[规范解答](1)f′(x)＝aex－aex，(2分f′(x)<0x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．(4分0<a<1时，－lna>0，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－lna)＝2＋b；(6分)1 (2)依题意f′(2)＝ae21ae2＝2ae2＝－(舍去)．(10分211a＝e2，代入原函数可得2＋21ae2＝2ae2＝－(舍去)．(10分211a＝e2，代入原函数可得2＋2＋b＝3a＝e2，b＝2.(13分1[阅卷老师手记]函数y＝f(x)在处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)；但要意：①y＝f(x)y＝f(x)P(x0，f(x0))第一步：设出切点坐标设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)解(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.5因此f(x)＝x3－2x2－3x＋1，从而f(13 从而有g′(x)＝(从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)x1＝0处取用书A基础演练(时间：30分 满分：55分三角形的面积为 y′＝－2e－2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为 1 S答案 构造函数F(x)＝f（x）x f（a） xab答案13(2013·a31 2 解析f(2)＝8＋8a＋a，令122－a2g′(a)>0a1g′(a)<00<a<1 22答案 3≤x2<10，显然满足该不解析依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<13π答案 3解析∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1x·x＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝3解析∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1x·x＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝答案 0答案(1，0)或三、解答题(25分(2)y＝ln(x＋解 ·＝222x＋(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线解(1)可判定点(2，－6)y＝f(x)y＝13x－32.(2)法设切点为000l过点000l过点000法二ly＝kx，切点为 0k＝x＝000又∵k＝f′(x0)＝3x00(3)∵切线与直线4x＋3f′(x0)＝3x20∴x0＝±1 或 y＝4x－18B能力突破(时间：30满分：45分1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N＋f2013(x)等于A．sinB．－sinC．cosD．－cos解析f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosf4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2＝cos答案(解析f′(x)＝x，g′(x)＝x2f(x)＝12＋mm1 3 ＝3x＋nnh(x)＝2x－3x＋m－n答案Ca 设k＝y′|x＝t＝3t2－a①解之得：t＝0 248上涨的速度 元/月解析∵y＝2上涨的速度 元/月解析∵y＝2＝＝2由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y′|t＝10答案三、解答题(25分b(1)解方程7x－4y－12＝0可化为x＝2时，y＝1 2a－＝3于是 (2)证明P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋3333 ＝ 1x)00xxx000x为定值，此定值为6.6．(13分)(2012·辽宁)x为定值，此定值为6.6．(13分)(2012·辽宁)f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b3x在(0，0)(1)a，b的值9x(1)解y＝f(x)过(0，0)3 1 3x＝20(2)证明x>0时，2（x＋1）·1故x＋1<2＋1.h(x)＝f(x)x＋6x2＋ 2（x＋1） x＋6）2＝<－.（因此g(x)在(0，2)内是递减函数，0<x<2时，f(x)<9x新设计·高考总复习》光盘中内容第2 导数在研究函数中的应用书第2 导数在研究函数中的应用书x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极(2)若函数f(x)在[a，b]f(a)为函数的最小值，f(b)(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b](ab)(ab)(ab)(ab)考点自测()∞，0)x∈(0，2)时，f′(x)<0f(x)x∈(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x∈(2，＋∞)上单调递增，结合选项可知，应选C.答案122．(2012·辽宁)y＝2x－lnx的单调递减区间为112解析y＝2x－ln＝xx答案答案A．x＝1f(x)x＝1f(x)x＝－1f(x)x＝－1f(x)解析答案4．(2013·潍坊期末)f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]最大值是1 解析1的最大值是e－1.D.答案 解析f′(x)＝3x2＋2x＋mf′(x)≥0，得m≥－3x2－2x，令 1答 用书考向 利用导数研究函数的单调性′a考向 利用导数研究函数的单调性′a设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数[审题视点]对于(2)f′(x)>0f′(x)<0(f′(x)＝0解方程，列表)可求；(3)由f′(x)≥0转化为不等式恒成立问题．解2(2)由(1)f′(x)＝3x2－2x－1＝3x1(x－1)，列表如下 1g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)x1111＋0－0＋(或递减)(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0[或应注意参数的取值是f(或递减)(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0[或应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．1解f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞).＝x1[1，＋∞)上恒成立1求实a，b的值求函数f(x)的极值1[审题视点](1)由f′(x)的图像关于x＝－2对称，求得a，b值(2)求f′(x)，判断函数f(x)的单调区间，再确定函数f(x)的(1)因为a f′(1)＝a f′(1)＝06＋2a＋b＝0b＝－12.(2)由(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1f′(x)＝6x2＋当x∈(－2，1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2，1)上为减函数；数．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21；x＝1处取得极小值f(1)＝－6.(1)(2)3－a 343f(x)极小 ＝－－a 2x0 2a ＋0－0＋3＝f43 ＝－－a2aa3 3＝f43 ＝－－a2aa3 【例3】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为2f(x)的解析式；[审题视点](1)构建方f′(1)＝3，f′2＝0，求(2)列出f′(x)与f(x)解4(2)由(1)2x223 1＋0－0＋4x22a 0－0＋0－3af(x)＝解(1)函数的定义域为22aa a＝－g(a)＝f(2)＝a33用书值a四审g(x)后，应分a＝0，a＝1，0<a<1分类求最[规范解答(1)f(0)＝1，f(1)＝0c＝1a＋b＝－1，(1分a>0y＝ax2＋(a－1)x－af(x)符合条件；(4分)(2)得最大值得最大值g(1)＝e.(9分)(iii)当0<a<1时，由g′(x)＝0，得 1① 1② 时取得最大值 1则当3<a≤e＋1时，g(x)x＝0当<a<1时，g(x)x＝1g(1)＝(1－a)e.(14分[阅卷老师手记](1)本题的难点是分类讨论，考生在分类时易出现不全面，不2解(1)解(1)∵f′(x)是偶函数1f′(x)＝0x＝±2f(x)f(－23)＝4f(x)f(23)＝－4(2)∵f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数12∴一元二次方程4x＋(a＋1)x＋4a＋1＝0用书A基础演练(时间：30分 满分：55分x2－2(－23，22(2＋0－0＋((x∈(－∞，c)时，f′(x)>0x∈(c，e)时，f′(x)<0；当是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.答案 (2解析(1，＋∞)上恒成立，所以答案解析f′(x)＝3x2－6xf′(x)＝0x＝0∴f(x)max＝f(x)极大值答案围是解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案B5．若函数f(x)＝x＋1在x＝1处取极值，则 解析∴x＝1x2＋2x－a＝0答案6．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围 解析f′(x)＝ex－2.x＜ln2时，f′(x)＜0；当x＞ln2时，f′(x)＞0.∴f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln∴2－2ln2＋a≤0，∴a≤2ln答案(－∞，2ln三、解答题(25分(2，f(2))处的切线与x轴平n(2)f(x)的单调增解(1)f′(x)＝3mx2＋2nx，f′(2)＝0，∴3m＋n＝0当m<0时，解得0<x<2，函数f(x)的单调增区间是(0，2)．2a，b解241解得f′（1）＝0， (2)由(1)2x∈(1，2]时，f′(x)＞0.B能力突破(时间：30满分：45分 1解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－xf′(x)＝0x＝113题意得1解析f(x