极限理论在数学分析中地位与作用

极限理论在数学分析中地位与作用极限理论在数学分析中地位与作用/极限理论在数学分析中地位与作用极限理论在数学分析中地位及作用摘要极限理论是数学分析的基本理论，极限概念是极限理论的核心。作为微积分的基础，极限理论包括函数极限和数列极限。本文从连续、导数、定积分、以及级数的收敛性等方面求解极限，深入探索了极限问题所涉及的各个方面。首先从定义入手，找出函数极限及数列极限的联系，进而运用极限的性质、判定准则、柯西极限理论、迫敛性等方法求解不同类型的函数、数列极限。在极限定义的基础上,提供了又一种求解极限的方法，即无穷小量替换法求解极限。同时例举了几类特殊极限，对其求解计算，总结出一些重要规律及相关结论。这些结论奠定了极限理论在数学分析中的地位及作用，为后继的学习及研究极限提供更好的判别方法和更完整的理论体系，对数学分析具有重大意义。关键词：极限；数列；函数；定积分；判定准则ThestatusandroleofthelimittheoryinmathematicalanalysisABSTRACTLimittheoryisamathematicalanalysisofthebasictheory,theconceptoflimitisthecoreofthetheoryoflimit.,Thisarticlefromthecontinuousderivative,thedefiniteintegral,andtheconvergenceoftheseriessuchassolvingthelimit,thelimitprobleminvolvedinallaspectsofin-depthexploration..Firstofallstartfromthedefinition,findthelimitofafunctionwiththeserieslimitcontact,andthustheuseofthelimitsofnature,criteria,Cauchylimittheory,forcingconvergencemethodforsolvingdifferenttypesoffunction,sequencelimit.Solvingthelimitonthebasisofthelimitdefinedthatinfinitesimalsubstitutionmethodforsolvingthelimit.Whileexamplesofthetypesofspeciallimittogetthesolutioncalculated,summedupanumberofimportantlawsandrelevantconclusions.Theseconclusionsarelaidlimitthestatusandroleoftheoryinmathematicalanalysis,tobetterdiscriminationmethodandmorecompletetheoreticalsystemlimitforthesubsequentstudyandresearch,mathematicalanalysisisofgreatsignificance.Keywords:Thelimit,orderedseriesofnumbers,Function,Definiteintegral,Determinetheconditions目录1引言 42极限的思想渊源及发展史 52.1极限的思想及历史 52.1.1最早的无限分割思想 62.1.2.西方的穷竭法及中国的割圆术 62.1.3.斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化 93极限的相关理论 103.1极限概念的逐步形成 103.2极限概念的完善 103.2.1函数极限 123.2.2数列极限 153.3极限理论的确立 163.3.1波尔查诺的工作 163.3.2柯西的极限理论 173.3.3维尔斯特拉斯的静态理论 174数学分析中极限的作用 174.1函数的连续 194.2数列的收敛性 214.2.1唯一性 214.2.2有界性 224.3导数是特殊的极限 225极限的计算 245.1利用导数的定义 245.2利用初等函数的连续性 245.3数列极限 255.3.1利用函数极限求数列极限 255.3.2利用定积分求数列极限 255.4函数极限 265.4.1利用迫敛性求函数极限 265.4.2利用罗比达法则求函数极限 265.4.3利用泰勒级数展开式求函数极限 275.4.4利用中值定理求函数极限 275.4.5利用定积分的定义求函数极限 285.4.6利用等价无穷小替换求函数极限 285.4.7利用收敛级数的必要条件求函数极限 285.5利用级数收敛的必要条件求极限 285.6.将数列的极限化为定积分 296结论 307参考文献 30致谢 311引言数学分析课程的极限理论是人类二十世纪的伟大发现，是人类智慧的丰碑。数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的，可以说，没有极限理论就没有微积分。数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有重要的概念,如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论,极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而,极限概念叙述冗长,概念中的符号关系复杂,不易理解。初入数学分析门扉的读者,都感觉极限概念不好捉摸,极限的精确定义不易理解。本文就极限思想的形成及发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念、极限的相关理论、极限的性质、计算等方面给予阐述。2极限的思想渊源及发展史2.1极限的思想及历史以希腊为代表的古代西方数学，为现代数学的发展奠定了一定的基础。早在公元前六世纪,希腊的毕达哥拉斯学派即认为数学不仅是解决现实问题的有力工具，更是认识宇宙自然的钥匙。其代表人物毕达哥拉斯Pythagoras,公元前572-497）认为：“数是万物的本质，宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐的体系”。“万物皆数”是毕氏学派信仰的原则。“数”，在希腊人的概念中指的是“正整数”，甚至对于这种形式并不看作分数，而是看作一个单一的实体。即希腊人认为，比仅是一个有序对而不是一个有理数，这种关于数的离散的概念，常被应用于几何量，如长度、面积和体积。特别地，毕氏学派相信任何两条线段都是可以公度的。即：它们都是某一公共长度单位的倍数。根据这样的假设，对于整数比和比的理论是不难推广的，尤其是运用于几何学中的比例关系，其结果可以证明的。由这一概念出发，希波克拉茨（Hippocrates,约公元前470—430）证明了两圆面积之比等于他们的直径平方之比。他所使用的证明方法，可能是使两圆之内接相似多边形的边数无限增加来“穷竭”两圆的面积，推出上述结果。这时，还未出现极限概念来作为本质上是无穷小的论证的依据。由于不可公度量的发现，例如正方形的边和对角线，二者不能分成长度相等的线段的整数倍。因此它们的长度之比不能等于两个整数之比。即不可公度量的发现意味着存在一些不能用数来度量的几何量。所以我们清晰的看到，在希腊，人们在数量观的概念上其本质是离散的！然而，存在不可公度的长度意味着几何量具有某种固有的、不可避免的连续的性质！正因如此，毕氏学派的整数比例理论在这里已无法应用，几何基础出现了危机。希腊学者欧多克斯（Eudoxus,公元前408—355）创造了几何量之比成比例的定义，使希腊数学从有理整数域向有理数域迈进了一大步。欧多克斯成功的关键是给出了一个适当的定义：定义设和是同类的一对几何量,和是另一对几何量(不一定及前对同类),如果当和成比例时,则有若给定任意两正整数和时,则下列关系之一成立:=1\*GB2⑴和或=2\*GB2⑵和或=3\*GB2⑶和可以看出,欧多克斯的几何量之比成比例的定义，只不过是不得不用一种繁琐的方式隐涵其有理数之比的显然的事实。而且还可看出，当给定两个不可公度的量及时，由定义实质上已将全体有理数划分为两个不想交的集合和.对于集合，式成立，即;对于集合,(3)式成立，即.这样把全体有理数划分为两个不相交的集合及，使得的每一个元素都小于中的每一个元素的这种分割方法，即十九世纪的所谓“狄德金分割”。不过当时欧多克斯并未意识到这一点，但他却以此为基础，较严格地证明了希波克拉茨关于圆的面积的命题的结果。中西方的极限思想为了后来极限的发展奠定了一定的基础。2.1.1最早的无限分割思想在我国古代,战国时代的《庄子.天下篇》中,有一尺之棰,日取其半,万世不竭的名言。意是所余部分总可一分为二,永远取不完。是公元前三世纪以前的事.还较早一点,古希腊的安提丰(Antiphon,公元前五世纪)提出了通过边数不断加倍的方法,用圆的内接正多边形面积去接近圆的面积.但当时仅仅是一种设想,并未付诸计算。然,这归结于圆可以无限分割。当注意,无限分割是一种数学抽象,是一个哲学概念,它被排斥于感觉经验王国之外,因为感官能力为感觉下限所限。表示:远在两千多年以前,人类智慧已意识到连续量无最小区间可言。2.1.2.西方的穷竭法及中国的割圆术对安提丰的思想作出重大发展的是欧多克斯(Eudoxus,公元前408-前355)。提出如下著名原理:对于两个不等的量,若从较大量减去大于其半的量,再从所余量减去大于其半的量,重复这一步骤,则所余量必小于原来较小的量,这就是现代所谓阿基米德公设的前身。公设的现代表述是已知任二正数,总存在自然数,使得,可证这两种表述是等价的.由欧多克斯提出,欧几里德(Euclid,约公元前330-前275)发扬光大并广为应用,阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)继续作出重大贡献的这种方法(17世纪时被人称为穷竭法),其理论基础就是阿基米德公设,在论证过程中最后运用双重归谬法。下举一例以明之.为证两圆面积及它们直径的平方成正比(欧几里德,卷2),用穷竭法的证明如下:设大小圆面积分别是和,其直径分别是和.若比例式不成立,则存在,使,其中为另一个比小(或大)的园的面积.若,则可在面积为的圆内作一面积为的内接多边形,使(根据阿基米德公设,可使).在面积为A的圆内作出及上述多边形相似的内接多边形,设其面积为.则有.因,故导出这不合理.同理可证会导致矛盾。难看出,在上面的证明过程中,除用到相似多边形的面积比等于对应线段之平方比这一性质外,就是用阿基米德公设及双重归谬法。在逻辑上是十分严密的。述问题的功绩在于证明了圆的面积,其中为常数。基米德本人运用穷竭法,从圆的内接和外切正6边形算起,直到内接及外切正96边形,证明了已精确到小数点后两位。竭法的基本思路标志着极限概念的轮廓已在古希腊问世。如,设一园半径为,面积为.当时,其内接正边形面积(在实际计算时,常取=4或=6).在边数加倍的过程中,从到所增面积->(A-),图1这由图1即可看出:阴影部分的面积大于弓形面积之半。基米德公设就是在这种启发下得到,并成为穷竭法的理论基础。实上,在边数断加倍的过程中,会出现一个圆的内接正多边形面积序列:,,,...,…按照阿基米德公设,对任>0,当n充分大时,有看来,穷竭法及今天的极限法只相差那么一层障碍,一旦捅破这层障碍,就及今天的极限法一致了。古希腊数学家用穷竭法,并不象我们现在取极限那样,真正进行到无穷,得一无穷序列。们的心目中,总有一个剩余量,他们理解的无穷,是边数加倍的过程可以无休止地进行下去。们的实际工作只进行了有限步,他们并未掌握如何从有限过渡到无穷.正因为如此,为了逻辑的严谨,他们每次不得不使用繁冗的双重归谬法穷竭法的基本思路是无限接近。在公元三世纪,我国三国时期的数学家刘徽,基于庄子的无限分割思想,独立地采用了类似穷竭法的思维进行了伟大的实践(当时欧几里德、阿基米德的思想并未传入我国)他在九章算术的注文中,提出了割圆术,其算法是:先在圆内作内接正6边形,再继续作出内接正12边形,内接正24边形……刘徽指出:“割之弥细,所失弥少。之又割,以至于不可割,则及圆合体,而无所失矣。谓“割之弥细,所失弥少”,这及阿基米德公设实质上是一回事。刘徽求出圆的内接正3072边形(3072)的面积,导出圆周率为,化成小数是3.1416,这比阿基米德的计算精确得多。后来,南北朝的天文学家、数学家祖冲之(429-500),又用刘徽的割圆术把算到小数点后7位,即3.1415926<<3.1415927及古希腊相比,他们在当时有一套逻辑上严密的算法穷竭法,刘、祖在理论上不及他们。在实践中,我国数学家走在更前面。国的古典数学名著《九章算术》,诞生在公元一世纪前,这表示当时在数学方面,我们祖先并不落后.值得深思的是:几乎同一时代,不同民族(中国、古希腊等)在计算圆的面积时,各自独立地运用同一类型的方法——用圆的内接多边形接近圆,这在认识论上不是偶然的。国所以能被称之为文明古国,这也是有力的证明。竭法中涉及的无限有所谓潜无限之称。如亚里士多德(Aristotle,公元前384-前322)所言:任一给定的量(指正的)在变小的方向上总要被超越,……而在扩大的方向上则总能设想一个比指定的数更大的数,……因此这种无限是潜在的,包含在正在成为的过程中。竭法的本质已由亚里士多德概括,可惜当时尚未出现变量的概念。早引入变量一词的是14世纪英国的苏依塞斯(Suissth,Richard).2.1.3.斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化在欧几里德后的漫长月中,穷竭法几乎原地踏步。少在两个方面,人们对穷竭法望而生畏:一是每次务必使用的双重归谬法;二是其方法是几何的:直观性强,但不便于计算。竭法在逻辑上无懈可击,但用起来十分繁琐。题在于最后使用的双重归谬法可否除去?荷兰的西蒙斯杰文(Stevin,Simon,1548-1620)在这方面做了大胆的设想。注重实际,不甚注重数学上的严格性.他接受阿基米德典型证明的直接部分,而不在每个情况下都加上形式归谬法.斯杰文大胆断言:如果两个量的差在连续细分到一定程度后能小于任何已知的量,则二者必无差异。是他甩掉了后面的形式归谬法,尽管斯杰文并未在理论上证明他的断言。的做法是牺牲了古希腊数学的某种严格性而代之以算法的简便易行。在古代希腊,代数学是几何化的。如,欧几里德《几何原本》中的定理,是用几何形式叙述算术问题的。到17世纪,费尔马(Fermat.Pierrede,1601-1665)和笛卡尔(Descartes,Rene,1596-1650)翻了这个案。们用代数方法研究几何问题,于是产生了一门崭新的数学分支解析几何。们用方程表示曲线,使几何学代数化。代数及几何这一对矛盾中,其主要矛盾的转化,标志着数学的重大进步.在解析几何中,方程中的字母被理解为相互依赖的变数。是,变量进入数学,客观世界的运动、变化的观念进入数学.变数的引入,创造了一种崭新的数学方法——解析方法.正是在这种气候下,英国的约翰.瓦里斯(Wallis,John,1616-1703)成功地运用解析方法,他力图使算术完全脱离几何表示。第一次用算术方法证明了欧几里德《几何原本》第五卷的25个定理,他发现算术运算比几何运算简单得多。斯杰文一样,他没有过多地为数学的严格性操心。在算术化的基础上,瓦里斯最早引入变量极限的概念。说:“变量的极限这是变量所能如此逼近的一个常数,使得他们的差能够小于任何给定的量。这种定义迄今沿用作为极限定义的通俗的定性表达方式。惜瓦里斯的工作仅仅限于提出这一概念而已。斯杰文对穷竭法大胆的扬弃,瓦里斯的算术化及极限定义的提出,为极限发展成为一个实用方向做了重要的奠基工作。3极限的相关理论3.1极限概念的逐步形成牛顿和莱布尼兹创立了微积分学,尽管他们在微积分基本公式的建立及计算方法上表现出成绩斐然,但关于极限理论及方法相当粗浅,几乎停留在前一辈的水平上。比如,牛顿(Newton,Jsaac,1642-1727)在《曲线求积术》中,求的流数时,给一个无穷小增量“o”(它是非零的数)。二项式定理展开,从中减去以求得的增量的比(用“o”作除数时,它也是非零的数)。后让的增量“o”消失,这样得出增量的最终比(当舍弃含“o”的各项时,将“o”视为真正的零)。这个问题上,牛顿陷入了严重的逻辑困难,当然遭到猛烈的攻击。734年在名为《分析学家》的小册子中,英国大主教贝克莱(Berkeley,George1685-1753)攻击牛顿违反了同一律,说牛顿的流数是“逝去的鬼魂”,导致了数学史上的第二次数学危机。此可见,牛顿并未认识到无穷小增量只不过是一个极限为零的变量。顿的处理方法,关键是没有指出“让的增量“o”消失”的过程只能是极限过程。自从瓦里斯用变量观点给出极限的定义以后,对无穷小本质的认识逐渐明确了.李昂纳德.欧拉(Euler,Leonhard1707-1783)认为“无限小”或“消逝的量”只不过是一个趋于零的量。国的达朗贝尔(DAlembert,JeanLeRond,1717-1783)指出:无限大和无限小,表示无限制地大和无限制地小(应理解为量的绝对值)。认为微分学的基础应建立在极限概念上。幸的是,他的解释大部分还是几何形式的。综上所述,从牛顿、莱布尼兹到欧拉,到达朗贝尔,他们的极限理论并不比瓦里斯前进多少,基本上停留在描述性的定义上,这样又延续了近两个世纪之久。3.2极限概念的完善在数学分析中极限有两个定义，一个是数列极限的定义另一个是函数极限的定义。数列极限的定义是：设有数列{}，是常数。若对任意，总存在正数，对任意正数，有││＜ε，则称数列{}的极限是.逻辑符号可表示如下：，，，有.而函数极限的定义又要分两种情况：（1）当自变量时，函数极限的定义为：设函数在区间（）有定义，是常数。若，，，有，则称函数（当时）的极限为.（2）当自变量时，函数极限的定义为：设函数在邻域有定义，是常数若，，：，有，则称函数当时的极限是.数列极限和函数极限的定义在形式上似乎没有什么联系，但是根据海涅定理：对任意数列{}，，且，有.说明这两者在本质上是可以互相转化的。为了正确理解极限的概念，再说明如下几点：(1)在一个变量前加上记号“”，表示对这个变量进行取极限运算，若变量的极限存在，所指的不再是这个变量本身而是它的极限，即变量无限接近的那个值。(2)在极限过程中考察的极限时，我们只要求充分接近时有定义，及时或远离时

取值如何是毫无关系的。一点在求分段函数的极限时尤其重要。(3)如上所给出的各种情形下的极限定义，均属于极限的形象描述，不属于严格的极限定义。3.2.1函数极限单侧极限（1）

时函数的极限定义4

设函数在时有定义(

为某个正实数)，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于常数

，则称为时函数的极限，记为

或.由图2可知：图2

（2）

时函数的极限定义5

设函数在

内有定义(

为某个实数)，当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于常数，则称为时函数的极限，记为或.由图3知，.图3（3）

时函数的极限定义6

设函数在

内有定义(

为某个实数)，当自变量无限变小(或无限变大)时，相应的函数值无限接近于常数，则称为时函数的极限，记

或.由图2-5可知：不难证明，函数在时的极限及在

，时的极限有如下关系：

定理2

的充要条件是.左右极限（1）

时函数

f(x)

的极限定义1

设函数在的某一空心邻域(,)内有定义，如果当自变量在(,)内无限接近于时，相应的函数值无限接近于常数

，则

为

时函数的极限，记作或．图4图5由定义１可见，（2）

时函数的极限定义2

设函数在的右半邻域内有定义，当自变量在此半邻域内无限接近于时，相应的函数值无限接近于常数，则称为函数在处的右极限，记为或或.（3）

时函数的极限定义3

设函数在的左半邻域内有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于时，相应的函数值无限接近于常数，则称为函数在处的左极限，记为或

或.例1

设画出该函数的图形，求，

，并讨论是否存在。解f（x）的图形如图2-3所示，由该图不难看出：例2

设

(通常称为符号函数)，画图讨论

,,

是否存在。解函数的图形如果2-4所示，不难看出：不存在图6图7由左右极限的定义及上述的两个例子不难看出，极限及左右极限存在如下关系：定理1

的充要条件是.3.2.2数列极限定义7

对于数列，如果当n无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数A

，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或A

(n)。若数列没有极限，则称该数列发散。例3

观察下列数列的极限：(1)(2)(3)(4)解先列出所给的数列：观察如上4个数列在时的发展趋势，得定理3

(单调有界原理)单调有界数列必有极限。从几何图形上看，它的正确性是显而易见的。由于数列是单调的，因此它的各项所表示的点(图2-7)在数轴上朝着一个方向移动，这种移动只有两种可能，一种是沿数轴无限远移，另一种是无限接近于一个定点A，而又不可超越A

，终于密集在A的附近。但前一种是不可能的，因为数列有界，所以只能为后者。换句话说，A就是数列的极限。(a)数列单调递增且有上界

A(b)数列单调递减且有下界A3.3极限理论的确立3.3.1波尔查诺的工作把微积分的重要概念建立在极限理论的基础上,并且首次给出严格叙述的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳。波尔查诺(Bolzano,Bernard1781-1848)。他第一次用极限给出了函数在某一区间上连续的定义,迄今沿用。他的导数定义及今天的一致。虽然波尔查诺的观点指出了微积分学最终表达的方向(建立在极限理论的基础上),但其观点对微积分未起决定性影响。他的大部分工作湮没无闻,直到半个世纪之后,才被赫尔曼汉克尔(Hankel,Hermann1839-1873)所发现。波尔查诺的工作业绩是不可磨灭的,他是成功地应用极限理论的第一人。我们已经看到:极限概念其源于古希腊的穷竭法,瓦里斯第一次以变量方式下了定义。达朗贝尔等人更明确地将其作为微分学基本概念。然而,在漫长的岁月里,极限概念仍缺乏精确的表达方式,这是它不能完全摆脱几何直观描述所造成的恶果。最终在极限理论方面的集大成者是及波尔查诺同时代的法国数学家柯西。3.3.2柯西的极限理论柯西(Cauchy,Augustin-louis1789-1857)的最大功绩是在微积分中引进严格的方法,赋予微积分以今天的特色。柯西的《分析教程》(1821)中,摆脱几何图形及几何量的任何牵连,给出极限的定义:“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一固定数值时,则该固定值称为这一串数值的极限。”在极限的基础上,他定义了无穷小:“无穷小是一个变量,其绝对值无限地减小而收敛于零。柯西还定义了高阶无穷小及无穷小的阶,无穷大及无穷大的阶。他通过极限定义导数,再在导数的基础上定义微分(包括定义高阶导数及高阶微分)。他给出了定积作为和式极限的定义,并在连续的前提下,给出了微积分基本定理的严格证明。他还用极限定义了广义积分可以说,柯西是近代意义上的微积分的奠基者。3.3.3维尔斯特拉斯的静态理论波尔查诺在1834年用几何方法给出了在某区间上处处连续而处处不可微的函数的第一个例子。在1872年,维尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl1815-1897)用纯算术方法(无穷函数级数)给出了这种例,这种函数在直观上是难以想象的。其实,还更早些,维尔斯特拉斯已经想到:几何直观并不完全可靠,数学中的“运动”,实际上是一种模糊观念。他觉得柯西完全凭借直观的运动来叙述极限概念,并以此作为微积分的基础,不是真正的严格。于是,他提出了同已有的变量极限的动态观点完全不同的静态观点,也就是把柯西关于极限的定性描述改写成定量描述,即“”语言。这种“”语言方法,是维斯特拉斯于1856年在柏林大学的一次讲演中提出的,它标志着极限理论算术化的完成。根据这种静态的定义,极限概念并不包含“趋近”和能否“达到”极限这一类动态问题。“”语言,本质上是一种“邻域”观点。尔斯特拉斯的最大功绩就在于:从此,极限概念完全摆脱了几何的直观,在一般的拓扑空间可以建立。4数学分析中极限的作用极限方法是用来研究变量问题的基本方法,是人们从有限认识无限的一种数学思想。极限概念体现了变量和常量的对立统一,本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映。极限是高等数学的理论基础,用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的组成部分进行统一处理。本文以正项级数及积分关系来论证这一问题。对于正项级数,由于部分和序列单增,根据单调有界数列必有极限,因而通过正项级数部分和有界及否易于讨论级数收敛性。因此,在讨论任意项级数时,利用取绝对值,都可转化为正项级数(或非负项级数),再根据正项级数的收敛性,将收敛级数分为绝对收敛及条件收敛。对于绝对收敛级数,根据定义,在任意更换其顺序后,其绝对值不变。因此级数不改变收敛性,而且值相同。而对于条件收敛级数,由于添加绝对值后可能发散,故在更换顺序后,级数可以收敛于不同的值。例如,级数满足莱布尼兹收敛条件,因此该级数收敛,但该级数取绝对值后变为调和级数,却是发散的,故是条件收敛级数。若更换的顺序变为即是一个新的级数,整理后我们可以将其写为易证，其收敛于一个新的值。事实上,若适当更换的顺序,可以让它收敛于事先给定的任一个值。因此,对任一个级数都可通过及正项级数比较来判定收敛及否。函数项级数在的定义域内任取一点时,便得到一个数项级数，自然对函数项级数的研究,极大地依赖于对数项级数的研究。在上收敛是指在上的任一点收敛,即对对于，都存在正整数N，使得时，恒有，其中令这里不仅依赖于而且也依赖于.因此,为了保证找到一个，使得这个只及有关,而及无关,这就要求一致收敛。定义:设=.若则称在上一致收敛于.正由于一致收敛,才保证了当连续时,连续,进而得到函数项级数相应的逐项求积分、逐项求导数的定理。正项级数和非负函数的黎曼积分既然都是求无穷和,那它们之间必然存在着某种联系。下面分情况考虑:=1\*GB3①令如果收敛，则有又因为=，其中,则有=.这说明级数及无穷限广义积分可以相互转换。=2\*GB3②令则；另一方面=其中令,因此级数及无界函数的广义积分也可相互转换。=3\*GB3③如果在一般勒贝格积分的框架下,数项级数及积分都可统一为积分形式,例如,设映射且，有界,那么是的一个测度空间，相应的是可测函数，而且则=.同理,我们也可以得到出其它数理分析组成部分在极限上的相关性和统一性。可见,这数量分析各部分都是在极限的定义、性质基础上得到的新的一种概念和数学方法,都是在极限的本质/其差值为无穷小量0基础上,通过某种转换而定义的。因此在一定条件下,它们之间可以相互转换。它们的性质及运算在很大程度上取决于极限的性质和运算,而极限最终归结为无穷小量上。4.1函数的连续描述\o"函数"函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的\o"极限"极限及函数在该点所取的值一致。

设函数在附近（包括处）有定义。若，（*）亦即：对任给，必有存在,使当时,恒有，则称在处连续,为的连续点。

如在(*)中，改为或,即限定或,则称在处左连续或右连续。显然在处连续的必要充分条件为它在处左、右都连续。

如存在，但或

没有意义，则称在处为可去间断（可去不连续）,因为这时只要改变或补充定义使其等于就可使它变得在处连续；因此，这种不连续常常算作是连续的。如果时，则称在处有第一类间断，称为其跃度。不属于上述情况的不连续点都称为第二类间断。

如果在一开区间内每一点都连续,则称在开区间内连续。在一闭区间上连续是指：在开区间内连续,而在处右连续和处左连续。

由此可确切定义几何名词连续曲线。设平面曲线可写成参数方程其中都是上的连续函数,则称是连续曲线。此定义显然可推广到空间曲线甚至一般的维空间中的曲线上去。

连续函数的性质

①如都在处连续，则，，

（只要)也在处连续。

②如在处连续，且，则必在的某一小邻域（即）中，不变号,即及同号。

③在闭区间上的连续函数,必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。

还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。

设为一闭或开的区间，如果任给,必有存在，使对中任何两点，只要，便有，则称在上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理。

4.2数列的收敛性4.2.1唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极限。证设，又由定义，,使得当时，恒有当时，恒有取则当时有上式仅当时才能成立。4.2.2有界性定义：对数列，若存在正数M，使得一切自然数n，恒有成立，则称数列有界，否则，称为无界。例如，数列；有界，数列无界.数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.相应的，可以给出有上界和下界的定义定理2收敛的数列必定有界证设，由定义，取，则N，使得当时恒有即有.记，则对一切自然数n,皆有，故有界。推论无界数列必定发散。注意：有界性是数列收敛的必要条件。例1证明数列是发散的。证设由定义，对于则时，使得当n>N时，区间长度为1.而无休止地反复取1，-1两个数，不可能同时位于长度为1的区间内.事实上，是有界的，但却发散。4.3导数是特殊的极限物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数的改变量及自变量的改变量的比值当时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定义：设函数在有定义，在自变数的改变量是，相应函数的改变量是.若极限存在，称函数在处可导，此极限称为函数在的导数，若此极限不存在则称函数在不可导。从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。4.4定积分是和的极限为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分割成个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。每个小矩形的面积是已知的，当不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。同样，要计算物体非等速直线运动从时刻到时刻所经过的路程时，可以将这段时间分割成个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻到的路程。越大，这个路程之和就越精确。当时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻到时刻所经过的路程。这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定积分定义：设函数在[]有定义。任给[]一个分法T和一组ξ={ξ}，有积分和.若当时，积分和存在极限，设，且数及分法T无关，也及在[]的取法无关，即＞0，＞0，＜δ，有，则称函数在可积，是的定积分。这个积分可以表示为：.在这里，我们要特别注意的是只有当积分和存在极限时积分才存在，否则函数在是不可积的。以上两例足以说明极限理论是微积分的基础，是数学分析的理论依据。5极限的计算5.1利用导数的定义例1=5.2利用初等函数的连续性设是初等函数。如果有意义，则在处连续，从而。于是，求函数在处的极限就归结为求函数值.例2求。解：因为及都在点连续，因此这两个函数的和也在连续。则有注意，如果是初等函数，并且，则幂指数也是初等函数。5.3数列极限5.3.1利用函数极限求数列极限例3求数列极限。分析此极限为型,直接利用数列的知识很难求出.可以考虑将n连续化,得函数极限，再利用洛必达法则求出此函数极限值,由极限定义可知该值即为所求数列极限值。解先求函数极限设，取对数，得