广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年 九年级上学期开学考数学试卷

深圳实验学校初中部2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

一.选择题（每题3分，共30分）

1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形,

2.已知2x=3y（γ>0）,则下面结论成立的是（

ʌX3X2

A.—ɔ-dB.一ɔ-

Y23y

3.如果。>从那么下列运算正确的是（）

A.a——3Vb——3B.Q+3V6+3

4.如图，在AABC中，点。在边AB上，过点。作。E〃8C,交AC点E.若AE）=2,BD=3,则丝

的值是（）

5.如图，在已知的AABC中，按以下步骤作图:

①分别以B,C为圆心，以大于∙∣8C的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；

②作直线MN交AB于点£>,连接CD

若CO=AC,ZA=50o,则乙4C8的度数为（）

6.如图，每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中aABC相似的是（）

RC

7.如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（-2,0）,ZAOC=GOo.将菱形。ABC

沿X轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A'B'C',其

C∙（一正，1）D.（一遥,代—1）

则以下说法错误的是（）

A.E和aOCT的面积相等

B.四边形AEoF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEDE是菱形

D.若NA=90°,则四边形AEf>F是矩形

9.若一个菱形的两条对角线长分别是关于X的一元二次方程x2-10x+m=O的两个实数根，且其面

积为11,则该菱形的边长为（）

ʌ-√3B∙2√3C.√14D.2√U

10.如图，在RtaQ4B中，Q4=8,C为线段AB上一点，且AC=1,BC=4,将aOAC沿。C翻折，

点A落在点。处，延长CO至点E,连接。£,且NCoE=45°,则。E的值是（）

E

二.填空题（每题3分，共15分）

11.分解因式：Qb—ab=

12.关于X的分式方程甘∙+J-=3有增根，则加=_______.

χ-22-χ

13.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，

从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是.

14.如图，已知正方形ABCO的边长为5,点E、尸分别在A。、DCh,AE=DF=2,BE与力产相交

15.如图，已知RtZXABC中，ZS=90o,点、E为BC上一动点、,DCYBC,连接AE,DE.DE^AC

交于点F,NDFC=45°,AC=2√15,CE=3√3>若BE=DC,贝∣J4E=.

三.解答题（共55分）

C236

16.（8分）（1）解方程：3X2-2X-2=0;（2）解方程：泊了二T=一•

2--1

17.（7分）先化简÷-}-」，再从不等式―2<α<3中选择一个适当的整数，代入

a+1a+2a+l

求值.

18.（8分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,⅛£,尸在线段BC上，点Q在线段AB上,

CF=BE,AEr=AQ∙AB.

求证：（1）ΔCAE^∆BAf;

（2）XACESXAFQ.

19.（6分）如图，老李想用长为70“的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈

ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在Ef处，另用其他材料）.

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640加的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650加2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

II

A]D

BEFC

20.（8分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自

行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆

售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减

少10%,求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数

量的两倍.已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和180（）元，计划B型车销售价格为

2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

21∙（9分）如图，aABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点8,C重合），连接AE,

在AE的左侧作等边三角形AE£>,将线段EC绕点E逆时针旋转120°,得到线段EF,连接BF,

交DE于点、M.

（1）如图1,当点E为8C中点时，请直接写出线段QM与EM的数量关系；

（2）如图2,当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证

明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当BC=6,CE=2时，请直接写出AM的长.

22.(9分)如图，四边形ABC。是边长为4的正方形，点E在边AO所在直线上，连接CE,以CE

为边，作正方形CEFG(点。，点F在直线CE的同侧)，连接BF.

(1)如图1,当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；

(2)如图2,当点E在线段AO上时，AE=I;

①求点尸到4。的距离；

②求BF的长；

(3)若BF=3√TU,请直接写出此时AE的长.

深实验初中部开学考参考答案与试题解析

一.选择题

1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意;

B、D,是轴对称图形，但不是中心对称图形，故8、O不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故C不符合题意.

故选：A.

2.已知2x=3y（y>0）,则下面结论成立的是（）

.X3CX2„X2

A.­=—B.—=—C.-=--

y23yy3

【解答】解：∖∙2x=3y,.∙.三=∙∣,ɪɪɪ.故选：A.

y232

3.如果α>R那么下列运算正确的是（）

A.a—3Vb—3B.α+3<b+3C.3aV3bD.2C&

-3-3

【解答】解：A、若a>b,则α-3>8-3,故A不符合题意;

B、若a>b,则α+3>b+3,故3不符合题意；

C、若。>4则3α>3b,故C不符合题意；

D、若4>。，则与，正确，故。符合题意.故选：D.

-3-3

4.如图，在aABC中，点。在边AB上，过点。作。E〃BC,交AC点£若AO=2,BD=3,则勇

的值是（）

【解答】解：∙.∙OE∕78C,

...旭=坦=一AD_=_^_=2.故选λ

ACABAD+BD2+35

5.如图，在已知的aABC中，按以下步骤作图:

①分别以8,C为圆心，以大于∙∣3C的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；

②作直线MN交AB于点。，连接CO.

若CQ=HC,ZA=50o,则/AC8的度数为（）

A.90oB.95oC.IOO0D.105°

【解答】解："：CD=AC,ZA≈50o,ΛZADC=ZA=50o,

根据题意得：MN是BC的垂直平分线，,CZJ=BO,

：./BCD=/B,ΛZBɪʌZADC=25°,

2

ΛZACB=180o-ZA-ZB=105°.故选：D.

6.如图，每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中aABC相似的是（）

【解答】解：已知给出的三角形的各边48、CB、AC分别为加、2、√κi'

只有选项B的各边为1、近、√g与它的各边对应成比例.故选：B.

7.如图，在直角坐标系中，菱形。A8C的顶点4的坐标为（-2,O）,NAoC=60。.将菱形OABC

沿X轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A,8'C',其

中点8'的坐标为（）

C.(-√3,1)D∙（一我,我一1）

【解答】解：过点B作BE,X轴于点E,.∙.NBE4=90°,

∙.∙点A的坐标为（-2,O）,.∖OA=2,

：四边形OABC是菱形，.'.AB=OA=2,AB//OC,.∖NEAB=NAOC=60°,

ΛZABE=30o,二AEVAB卷X2=1，

由勾股定理得BE=VAB2-AE2=√22-l2=√3，

：.OE=AE+OA=l+2=3,，点8的坐标是（-3,√3）-

将菱形045C沿X轴向右平移1个单位长度，再沿），轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A'B

C,

A.aBDE和△£＞（7/的面积相等

B.四边形AECF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEDE是菱形

D.若乙4=90°,则四边形AEDF是矩形

【解答】解：A.连接ER

•：D,E、尸分别是AABC各边中点，.∙.EF"8C,BD=CD,设EF和BC间的距离为小

.'.SΔBDE--^BD*II,SADCF=WCD∙h,1.SABDE=SADCF,故本选项不符合题意；

B.'：D,E、尸分别是aABC各边中点，.∙.DE∕∕AC,DF//AB,.∖DE∕∕AF,DF//AE,

.∙.四边形AE3F是平行四边形，故本选项不符合题意；

C.:D、E、F分别是aABC各边中点，：.EF-=-BC,DF=-AB,

22

若AB=BC,则FE=Z）F,.∙.四边形AEDF不一定是菱形，故本选项符合题意；

D∙.∙四边形A矶小是平行四边形，∙∙.若∕A=90°,则四边形AEQE是矩形,

故本选项不符合题意；故选：C.

9.若一个菱形的两条对角线长分别是关于X的一元二次方程f—lOx+，"=0的两个实数根，且其面

积为11,则该菱形的边长为（）

A.√3B.2√3C.√i⅛D∙2√14

【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b,由题意，得（a+b=l0∙

∖ab=22

菱形的边长=√Φ2÷Φ2=Ha2+b2=与J（a+b）2-2ab=,√100-44=-ɪ√56=√14-

故选：C.

10.如图，在RtaOAB中，OA=8,C为线段A8上一点，且AC=1,BC=4,将aQ4C沿OC翻折，

点A落在点。处，延长8至点E,连接。E,且NCO£=45°,则。E的值是（）

c7D.5

【解答】解：如图，过点E作EQLAB交AB的延长线于Q,过点。作07,QE交QE的延长线于7,

设DE=x.

VZT=Z(2=ZA=90o,・•・四边形AOT。是矩形，：.ZAOT=90o,

VZCOE=45o,ΛZA0C+ZE0T=45o,NCO。+NE00=45°,

・・・ZAOC=ZDOC,：.ZEOD=ZEOT,

9：ODVEC,：・/T=NoDE=90°,

'NEOT=NEOD

在aOET和AOEO中，∙ZT=ZODE=OOO，：.∕∖OET^∕∖OED(A4S),

OE=OE

：.OA=OT,ET=DE=x,...四边形AoTQ是正方形，，A。=TQ=AQ=8,

在RtaCEQ中，则有(x+l)2=(8—x)2+72,解得X=型，故答案为：—.故选：B.

99

二.填空题

11.分解因式：a3b-ab=ab(α+l)(。-1)

【解答】解：a3b-ab=ab(a2—1)=ab(α+l)(。-1).故答案为：ab(tz+1)Ca-1).

12.关于X的分式方程普L+4=3有增根，则m=-1.

χ-22-χ

【解答】解：方程两边同乘(x-2)得：x+m-]=3(χ-2),

由题意得：x=2是该整式方程的解，.∙.2+m-l=0,解得：W=-1,故答案为：一1.

13.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元,

从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是20%.

【解答】解：设每月盈利的平均增长率是X,

根据题意得:5000(l+x)2=7200,

解得：xl=0.2=20%,X2=-2.2(不符合题意，舍去)，

.∙.每月盈利的平均增长率是20%.

故答案为:20%.

14.如图，已知正方形A8CZ)的边长为5,点E、尸分别在A。、Z)C上，AE=DF=2,BE与AF相交

于点G,点，为B尸的中点，连接G，，则GH的长为_」更_.

【解答】解：：四边形ABCO为正方形，.∙.N84E=ND=90°,AB^AD,

,AB=AD

在AABE和尸中，.NBAE=ND,.^∙ΔABE^ΔDAF（,SAS）,:.ZABE=ZDAF,

AE=DF

VZABE+ZBEA=90o,：.ZDAF+ZBEA=90°,.,.ZAGE=ZBGF=90o,

Y点”为8步的中点，：.GH=^BF,

VBC=5ʌCF=CD-DF=5~2=3,：.BF=√βC2-^F2=^34,

：.GH=LBF=故答案为：返工.

222

15.如图，已知RtZ∖ABC中，ZB=90o,点E为BC上一动点，DCLBC,连接AE,DE.DE与AC

交于点F,NDFC=45°,AC=2√15,CE=3√3>若BE=DC,则AE=_^_.

【解答】解：延长区4,过点E作GE_LED交区4的延长线于点G,如图所示:

'.,DC±BC,GELED,：.NB=NDCE=NDEG=90°,

；.NBGE+NBEG=NBEG+∕CED=90°,：.ZBGE=ZCED,

'：BE=DC,：.ABEG义∕∖CDE(A4S),

.∖EG=DE,BG=EC=3如,

：.NEDG=NEGD=工X90。=45。，

2

VZDFC=45°,：.NDFC=NGDE,.∖AC∕∕DG,

VZB+ZOCE=180o,J.BG//CD,

.∙.四边形ACDG为平行四边形，

ΛDG=ΛC=2√15-AG=CD,

VO£2+GE2=DG2,即2。g=(2√i^)2,

解得：OE=√否或。E=-FU(舍去)，

在Rt△C£>E中根据勾股定理得：CD=7ED2-CE2=7(Λ∕30)2-(3Λ∕3)2=Λ∕3,

JAG=BE=DC=M,：•AB=BG-AG=2炳,

∙"E=√AB2+BE2=√(2√3)2+(√3)2=√15∙

故答案为：,715.

三.解答题

16.(1)解方程：3X2-2X-2=0;

236

(2)解方程：WrKFr

【解答】解：(I)∙.Z=3,b=-2,c=-2,

；.△=(-2)2-4×3×(-2)=28>0,

则r=-b±{b2-4ac=2±'W_]±W

2(χ-l)+3(x+l)=6,

解得：x=1,

检验：当x=l时，(x+1)(%—1)=0,

Λχ=l是原方程的增根，

,原方程无解.

17.先化简(m—一。+1)÷1,再从不等式一2<α<3中选择一个适当的整数，代入求值.

a+1a+2a+l

2a?-1

【解答］解：(招——α+l)÷:L

a+1a+2a+l

=a2-a2+l.(a+l)2

a÷l(a+1)(a-l)

_1

a-l

・・•一2V。V3且。≠±1,

Ja=O符合题意.

当。=0时，原式=-1・

U-I

18.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点E,/在线段BC上，点。在线段AB上，且。尸

=BE,AE^=AQ∙AB.

求证：(1)ΔCAE^ΔBAF;

(2)RAC"AFQ.

【解答】证明：(1)TAB=AC

ΛZB=ZC,

•：CF=BE,

：.CF-EF=BE-EF9

即CE=BF,

fAC=AB

在aACE和AAB产中，,ZC=ZB，

CE=BF

ΛΔCAE^∆BAF(SAS)；

(2)二XCAE空∕∖BAF,

：.AE=AF,ZCAE=ZBAF,

YAfi2=AQAB,AC=AB,

.AE=AC

**AQ-AF,

.∖ΔACE^ΔAFQ.

19.如图，老李想用长为70〃？的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCd

并在边BC上留一个2〃?宽的门(建在EF处，另用其他材料).

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640"?2的羊圈？

(2)羊圈的面积能达到650〃尸吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

II

AD

BEFC

【解答】解：(1)设矩形43。的边A8=x加，则边6C=70-2x+2=(72-2x)m.

根据题意，得X(72-2x)=640,

化简，得36x+320=0,

解得xι=16,X2=20,

当X=16时，72—2x=72—32=40；

当x=20时，72-2x=72—40=32.

答:当羊圈的长为4讪,宽为16〃?或长为32〃?，宽为20〃?时，能围成一个面积为640加2的羊圈；

(2)答：不能，

理由：由题意，得X(72-2x)=650,

化简，得f-36x+325=0,

ʌ=(-36)2—4X325=—4<0,

.∙.一元二次方程没有实数根.

.∙.羊圈的面积不能达到650∕n2.

20.随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商

家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预

计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%,

求：

(I)A型自行车去年每辆售价多少元？

(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款8型车共60辆，且8型车的进货数量不超过A型车数

量的两倍.已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为

2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

【解答】解：(1)设去年A型车每辆售价X元，则今年售价每辆为(χ-200)元，由题意，得

8000080000(1-10%),

xχ-200

解得：x=2OOO.

经检验，x=2000是原方程的根.

答：去年A型车每辆售价为2000元；

(2)设今年新进A型车。辆，则8型车(6O-a)辆，获利y元，由题意，得

产(2000-200-1500)a+(2400-1800)(60—a),

y=-3OOα+36000.

∙.∙5型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

60—a<2a,

.∙.4220.

Vy=-30()a+36000.

.,.k--300<0,

.∙.y随a的增大而减小.

.∙.α=20时，y有最大值，

.∙.B型车的数量为：60—20=40(辆).

，当新进4型车20辆，8型车40辆时，这批车获利最大.

21.ZVlBC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B,C重合)，连接AE,在AE的左侧

作等边三角形AED将线段EC绕点E逆时针旋转120。，得到线段EF,连接BF,交Z)E于点

M.

(1)如图1,当点E为BC中点时，请直接写出线段。M与EM的数量关系；

(2)如图2,当点E在线段8C的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证

明过程；若不成立，请说明理由；

(3)当6C=6,CE=2时，请直接写出AM的长.

ΛZBAC=60o,ZBΛE=yZBAC,

.∖ZBAE=30o,

・・,ZVlOE是等边三角形，

.∖ZDAE=60o,

ΛZBAD=ZDAE-ZBAE=60o-30°=30,

.β.ZDAE=/BAE,

：.DM=EM,

(2)如图1,

DM=EM仍然成立，理由如下：

连接BD,

,.∙AABC和XNOE是等边三角形，

o

ΛZABC=ZBAC=ZDAE=ZACB=60,AB=AC9AD=AEf

：.NBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

,/BAD=NCAE,

.∖∕∖BAD^ΛCAE(SAS),

ΛZABD=ZACE=∖SO°-ZACB=UOO,BD=CE,

：.ZDBE=ZABD-ZΛBC=120°-60°=60°,

.∖ZDBE+ZBEF=60o+120°=180°,

C.BD//EF,

YCE=EF,

LBD=EF,

・•・四边形BDFE是平行四边形，

：.DM=EM；

(3)如图2,

当点E在BC的延长线上时，作AG,BC于G,

VZACB=60o,

ΛCG=AC∙cos60o=-AC=3,

2

AG=AC∙sin60o=喙AC=3心

ΛEG=CG+CE=3+2=5,

AE=VAG2+EG2=,7(3√3)2+52=2Λ∕13,

由（2）知：DM=EM,

：.AMVDE,

：.ZAME=90°，

VZAED=60o,

ΛAΛ∕=Af∙sin60o=2√13×

当点E在BC上时，

作AGLBC于G,

由上知：AG=3Λ∕3,CG=3,

ΛEG=CG-CE=3-2=1,

：.AE=AG2+EG2=