山东省泰安市泰山区泰安第二中学2023-2024学年高二年级上册10月月考数学试题

泰安二中2022级高二上学期10月月考

数学试题

时间：120分钟满分：150分

出题人：侯衍翠审题人：宁淼淼

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知直线xy—2=0,则该直线的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知向量”=（一1,2,1）,b=（3,x,y）,且。〃6,那么实数x+y等于（）

A.3B.-3C.9D.-9

3.已知直线人依+3y+l=0,/2：x+（a-2）y+a=0,贝U"“心”是“a=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知4=（2,3,1）,匕=（1,-2,-2）,则a在人上的投影向量为（）

--22,

A.2bB.-2bC.-bD.—b

33

5.与向量a=平行，且经过点（4,T）的直线方程为（）

7八

D.y=—x+10

2

6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥

。为阳马，Q4JL平面A5CQ,且EC=2PE,若。E=xAB+yAC+zAP,则x+y+z=

5

A.1B.2D.-

cI3

7.已知两点A（l,—2）,3（2,1）,直线/过点P（0,—1）且与线段AB有交点，则直线/的倾斜角的取值范围

为（）

7t7t

4,42,44'22'4

8.三棱柱ABC—44G的侧棱与底面垂直，的=43=4。=1,ABA.AC,N是BC的中点，点P在

上，且满足4P=/IA4,当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（）

A•点（1,一2,3）关于坐标平面Ozr的对称点为（1,2,3）

B.点6,1,—3）关于y轴的对称点为［-；,1,3

C.点（2,—1,3）到坐标平面Oyz的距离为1

D.设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量，若机=3i—2/+4Z,则机=（3,—2,4）

10.下列说法正确的有（）

A.若直线丁=履+8经过第一、二、四象限，则（仁。）在第二象限

B.已知直线/经过点（3,—2）,且在两坐标轴上的截距相等，直线/的方程是x+y-1=0

C.过点（2,—1）,且斜率为—6的直线的点斜式方程为），+l=-J§（x-2）

D.斜率为-2,且在y轴上的截距为3的直线方程为y=—2x±3

11.已知正方体ABC。-A4GA的棱长为1，点E，。分别是A耳，4G的中点，点P在正方体内部且

3I2

满足=+—AD+—A4,，则下列说法正确的是（）

423”

A.BE与BC所成角的正弦值是半B.点。到平面ABGR的距离是乎

C.平面A8。与平面BCA间的距离为乎D.点尸到直线AB的距离为竟

12.如图，菱形ABC。边长为2,N&LD=60°,E为边AB的中点，将AWE沿0E折起，使A到4,

且平面AOEJ_平面8CDE,连接A'3,A'C.则下列结论中正确的是（）

C.BC与4。所成角的余弦值为3D.直线A3与平面A'CQ所成角的正弦值为更9

44

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线/的方程为5+2y—a-2=0（aeR）,若直线/与直线〃?：2x—y=0垂直，则。=

14.直线4：丁=依+。与直线4：丁=灰+。（。人。0,4。0）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是

（填写正确的序号）.

15.空间直角坐标系中，己知A。,—2,—3）,则直线48与坐标平面Oxz的交点坐标为

TT

16.在心AHBC中，C=士,AC=BC=4,D,E分别为AC,AB的中点，沿DE将AWE折起到

2

△4。石的位置，使平面4£>E_L平面BCQE,如图所示.若F是AB的中点，则四面体FCDE外接球的体

积是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

△A5C的三个顶点是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）,求：

（1）边8c上的中线所在直线的方程；

（2）边BC上的高所在直线的方程.

18.（12分）

己知空间中的三点尸（一2,0,2）,M（—1,1,2）,N（—3,0,4）,设。=加，b=PN.

（1）若左。+〃与hz—2石互相垂直，求左的值；

（2）求点N到直线的距离.

19.（12分）

已知在oABCD中,A（l,2）,3（5,0）,C（3,4）.

（1）求点D的坐标；

（2）试判断.ABCO是否为菱形.

20.（12分）

如图，在四棱锥P-ABC。中，AB_L平面附力，AB//DC,E为线段PO的中点，己知

PA=AB=AD=CD=2,440=120°.

（1）证明：直线PBH平面ACE；

（2）求直线PB与平面PC。所成角的正弦值.

21.22分）

己知直线/：京一y+2+&=0（ZeR）.

（1）证明：直线/过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求左的取值范围；

（3）若直线/交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AAQB的面积为S,求S的最小值并求此时直线/的

方程.

22.（12分）

已知三棱柱ABC—A4G中，AC=AA=4，BC=2,ZACB=90°,\BLAC,.

（1）求证：平面A|ACG，平面ABC；

（2）若N4AC=60。，在线段AC上是否存在一点尸使平面和平面AACG所成角的正弦值为

姮？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

4

泰安二中2022级高二上学期10月月考

数学试题参考答案与试题解析

一、选择题（共9小题）

1-5ADCDA6-8ACD

二、多选题（共4小题）

9.ABD10.AC11.ACD12.BC

三、填空题（共3小题）

13.114.④15.（3,0,1）16.

四、解答题（共6小题）

17.解：（1）3（6,7）,C（0,3）,则BC边中点E的坐标为（3,5）,A（4,0）,

则直线4E的方程为匕9=二心，即5x+y-20=0；

5-03-4

7—32

（2）3（6,7）,C（0,3）,则怎°===1，

o—05

・・・BC边上的高与BC垂直，，BC边上的高所在直线的斜率为-士3，

2

：.BC边上的高所在的直线方程为y=-|（x-4）,即3x+2y-12=0.

18.解：由题意可求得a=PM=(1,1,0),力=PN=(—l,0,2),

(1)可得左a+Z?=(攵一1,左,2),ka-2b-(k+2,k,-4),

因为（妨+））,（幼一2匕），所以有（攵一1）（攵+2）+公—8=0,

整理得2二+%-10=0,解得左=2或&=一*,

2

所以上的值为左=2或4=一*.

2

（2）设直线P例的单位方向向量为“，则〃=:=在（11,0）=在，注,0

|«|2I22

由于PN=b=(—1,0,2),所以7=5,b-u=-拳,

所以点N到直线PM的距离d=

19.解：（1）设顶点。的坐标为（x,y）,由题意可得AB=OC,

4=3—尤%=-1

则(4,—2)=(3—x,4—y),解得《.•.点。的坐标是（—1,6）；

-2=4-yy-6

(2)•••4(1,2),3(5,0),C(3,4),0(-1,6),

A\AB\=J(5-l)2+(0—2)2=275,\AD\=+(6-2)2=275,

则在ABCD'V\AB\=\AD\,：.ABC。是菱形.

20.解：（1）证明：如图，连接BD交AC与点F,

则F为8。中点，又E为线段PO的中点，斯〃尸8,

又2平面ACE,EFu平面ACE,：.PBH平面4CE；

（2）设B到平面PCQ的距离为d,又45〃平面PCD,

：.B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，

由题意易知A到平面PC。的距离为AE=，AP=I,...d=A£=l,

2

又PB=2垃,设PB与平面PC力所成角为。，贝iJsine=2-=」==也，

PB2724

J7

直线PB与平面PCD所成角的正弦值为—.

4

21.证明：(1)直线/：kx-y+2+k=0,即左(x+l)+(—y+2)=0,

x+1=0[x=-l、

联立彳_,解得彳_,故直线/：立一y+2+R=0过定点(一1,2)；

y+202

(2)解：直线/：kx-y+2-^-k=09B|Jy=kx+2+k,

[k>Q

・•,直线不经过第四象限，・・・〈，解得女20,

[2+k>0

故女的取值范围是[0,+8)；

(3)解：如图，直线/交x轴负半轴于A,交)，轴正半轴于以则上〉0,

2+〃

直线/：Ax-y+2+左=0中，令y=0,解得冗=-----,令1=0,解得y=2+左，

11^.)।八川12+左/-+4-k+4k2[k"""2"

••S^AOB=-x|OA|x|OB|=-x——x(2+Ztr)=-----------=-+-+2>2J---+2=4,

乙乙K乙K乙KyZrK

k2

当且仅当二=*,即攵=2时等号成立.

2k

；.S的最小值为4,此时的直线方程为2x—y+4=0.

22.解：(1)证明：易知四边形AACG是平行四边形，又AC=A4,,

则「4ACG是菱形，连接AC，如图，则有4C_LAG，

因A8J.AG，48u平面4BC,qcu平面ABC,

于是AG，平面ABC，而BCu平面ABC,则AGJ.BC,

由ZAC3=90°,得ACLBC,

又AC-AG=A,4。匚平面4人。£,40<=平面44。弓，

从而得6C_L平面4ACG，又BCu平