2023-2024学年山东省潍坊市九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省潍坊市九年级第一学期开学数学试卷（9

月份）

一、选择题（共6小题，共24分.）

1.如图，把△ABC纸片的NA沿DE折叠，点A落在四边形CBOE外，则/I、N2与NA

的关系是（）

A.N1+/2=2NAB.Z2-Z1=2ZAC.Z2-ZA=2Z1D.2Nl+2/4=/2

2.已知三个数a、氏。满足金］，则———的值是（）

a+b5b+c6c+a7ab+bc+ca

3.将一副三角尺（在RtZVlBC中，NAC8=90°,ZB=60°,在RtZXED尸中，NEDF=

90°,Z£=45°）如图摆放，点。为AB的中点，OE交AC于点尸，DF经过点C,将

△EQF绕点。顺时针方向旋转a（0°<a<60°）,DE'交AC于点M,DF'交BC于

点N,则涉些的值为（）

bACDN

E：......E…R

B..

2

4.定义一种关于整数〃的“尸’运算：

（1）当〃是奇数时，结果为3〃+5；

（2）当〃是偶数时，结果是々（其中火是使々是奇数的正整数），并且运算重复进行.

2n2n

例如：取”=58,第一次经尸运算是29,第二次经F运算是92,第三次经尸运算是23,

第四次经尸运算是74…；若〃=9,则第2023次运算结果是（）

A.6B.7C.8D.9

5.如图，己知80平分NC84,CO平分NACB,且MN〃8C,设AB=18,BC=24,AC=

12,则MN的长是（）

H

A.13B.—C.—D.14

23

6.如图①是3X3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图

二、多项选择题（本题共2小题，共8分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

（多选）7.如图，点。为等边三角形ABC内的一点，DA=5,DB=4,DC=3,将线段4。

以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段A。'，下列结论正确的有（）

A.△AC。'可以由△ABO绕点4逆时针旋转60。得到

B.ZADC=150°

C.点。到C。’的距离为4

D.S四边形ABCD'二6哼

（多选）8.甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地,

乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行.两人之

间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，其中正确的结论

B.6=150

C.甲的速度为8米/秒

D.当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒

三、填空题（本题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分.）

9.若关于x的不等式nzx-">0的解集是则关于x的不等式（《?+"）x>〃-机的解

7

集是.

10.阅读材料：在求1+2+22+23+24+…+22022的值时，先设s=1+2+22+23+24+…+22022,将等

式两边同时乘以2得：2s=2+22+23+24+25+…+22。22+22。23,将下式减去上式得2S-S=22023

-1,即S=22023-1,求得1+2+22+23+24+…+22022=22023-1,请你仿照此法计算：

1+5+52+53+54+…+52023的值等于.

11.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为4近的正方形A8CZ）

可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示

的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边E”上），则

“拼搏兔”所在正方形EFG/7的边长是.

12.如图是某校初中部美丽校园的一景，小明同学上学去班时要走过该段楼梯.已知本段楼

梯共有10个阶梯，如果每步只允许走一个或两个阶梯，那么小明同学共有种

方法走完本段楼梯.

四、解答题（本题共4小题，共48分.解答应写出必要文字说明或演算步骤.）

13.如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【概念理解】（1）如图②，在四边形ABC。中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。

是垂美四边形吗？请说明理由；

【性质探究】（2）如图①，四边形A8CQ的对角线AC,8。交于点。，AC1BD.试证

明：AD1+BC2=AB2+CD2；

【解决问题】（3）如图③，分别以的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形

ACFG和正方形ABOE,连接CE,BG,GE.已知AC=8,AB=10,求GE的长.

14.某学校计划今年国庆期间组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件

完全一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出

不同的优惠方案.

【问题信息】外出学习教师不超过100人.甲宾馆是35人以内（含35人）按标准收费,

超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人以内（含45人）的按标准收费，超

过45人的，超出部分按八折收费.

【问题设计】如果你是这个学校负责人，你会怎样选择宾馆？请你给出你的设计方案和

理由.

15.数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发

现一些数学结论.现有a克糖水，其中含有人克糖（a>b>0）,则糖水的浓度（即糖的

质量与糖水的质量比）为少.

a

（1）糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为.生活经验

告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式.我

们趣称为“糖水不等式”.

（2）糖水实验二：

将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度

为,根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等

式“.

（3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：

设a、b、c为AABC三边的长，求证：-^-4--^-<2.

a+bb+ca+c

16.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片ABC3,使与8C重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在上选一点P,连接8P,沿8P折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸

片展平，连接PM,BM.

如图1,当点M在EF上时，根据以上操作，写出一个度数为30°的角

为;

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片A8C。按照（1）中的方式操作，并延长PM交C。于点。，连接8Q.

①如图2,当点M在EF上时，则；

②改变点P在A。上的位置（点P不与点A,O重合）如图3,判断与NCBQ的

数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片A8C。的边长为8cw,当FQ=lcm时，请直接写出

AP的长.

参考答案

一、选择题（本题共6小题，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，

请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，多选、不选、错选记0分.）

1.如图，把△ABC纸片的沿OE折叠，点A落在四边形CBDE外，则N1、/2与

的关系是（）

A./1+N2=2/AB./2-/l=2N4C.Z2-ZA=2Z1D.2/l+2NA=N2

【分析】分别延长CE、8。交于A'点，连接AA',由三角形外角的性质得出N2=/

EA'A+ZEAA',Z1=ZDAZA+ZDAA'，再由翻折的性质得EA=EA',D4=D4',

则NE4'A=ZEAA',ZDA1A=ZDAA',即可得出答案.

解：如图，分别延长CE、8。交于川点，连接A4',

C

：.Z2=ZEA'A+ZEAA',=A+ZDAA',

由翻折的性质得：EA=EA',DA=DA',

：.ZEA'A^ZEAA',ZDA'A^ZDAA',

AZ2-Zl=2（ZEAA1-ZDAA'）=2ZEAD,

故选：B.

【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握翻折的性质和等

腰三角形的性质是解题的关键.

2.已知三个数a、b、c满足也-g，则———的值是（）

a+b5b+c6c+a7ab+bc+ca

2

15

【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.

・・abbeca」

a+b5'b+c6c+a7

----=5,------=6,-----

abbeca

abbcac

...2(1^-4)=18,

abc

abc

abc1

ab+bc+ca9

故选：A.

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是找出各式之间的关系，本题属于中等题型.

3.将一副三角尺(在RtZVIBC中，ZACB=90°,ZB=60°,在Rt/XEDE中，NEDF=

90°,NE=45°)如图摆放，点。为A3的中点，DE交AC于点P,。尸经过点C,将

△&)/绕点。顺时针方向旋转a(0°<a<60°),DE'交AC于点M,DFf交BC于

点M则绘陋的值为()

'△CON

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CC=AO=Q8,则/ACO=NA=30°,

NBCD=/B=60°,由于NEQF=90°,可利用互余得NCP£>=60°,再根据旋转的性

质得NPDM=NCDN=a,于是可判断△PE>Ms/iC£>N,得到更=&,然后在Rl/XPCD

CNCD

中利用正切的定义得到tanNPC£)=tan30。=丝，于是可得粤=且即可得答案.

CDCN3

解：：点。为斜边A8的中点，

：.CD=AD=DB,

...NACQ=/A=30°,NBCQ=NB=60°,

；NEDF=90°,

.".ZCPD=60°,

ZMPD=ZNCD,

/绕点。顺时针方向旋转a(0°<a<60°),

：.NPDM=NCDN=a,

祟丛PDMs丛CDN,

.PM=PD

…而一而

pn

在RtZXPCQ中，；tan/PCC=tan30°=—,

CD

.PM■'/s

..---=tan30=--.

CN3

.SAPDM1

SACDN3

故选：D.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质.

4.定义一种关于整数〃的“尸’运算：

(1)当"是奇数时，结果为3a+5；

(2)当〃是偶数时，结果是与(其中人是使与是奇数的正整数)，并且运算重复进行.

2n2n

例如：取〃=58,第一次经F运算是29,第二次经F运算是92,第三次经F运算是23,

第四次经产运算是74…；若〃=9,则第2023次运算结果是()

A.6B.7C.8D.9

【分析】根据运算结果的变化找出变化规律，依此规律即可得到第2020次运算结果.

解：由题意"=9时，第一次经F运算是32,第二次经F运算是1,第三次经F运算是8,

第四次经尸运算是1-

以后出现1、8循环，奇数次是8,偶数次是1,

.•.第2023次运算结果是8,

故选：C.

【点评】本题考查了规律型中数字的变化以及有理数的混合运算，解答本题的关键是明

确题意，发现运算结果的变化特点.

5.如图，已知80平分/C84,C。平分/4C8,且MN〃BC,设AB=18,BC=24,4C=

12,则MN的长是()

H

A.13B.—C.—D.14

23

【分析】根据80平分NCBA,CO平分NACB,且MN〃BC,可得出M0=MC,NO=

NB,所以三角形4MN的周长是AB+AC,再利用相似三角形的性质求出MN.

解：平分NCBA,C。平分NACB,

NNBO=ZOBC,NOCM=NOCB,

'."MN//BC,

：.NNOB=NOBC,NMOC=NOCB,

：.NNBO=NNOB,NM0C=NMCO,

：.M0=MC,NO=NB,

VAB=18,AC=12,

：.AAMN的周长^AM+MN+AN=AB+AC^18+12=30,

,:MN〃BC,

：.△AMNs”BC,

.MN.△AHN的周长

••瓦一△ABC的周长'

•MN=30

**2454

3

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，相似三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题..

6.如图①是3X3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图

形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四

A.6种B.5种C.4种D.3种

【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案.

解：得到的不同图案有：

共6种.

故选：A.

【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，培养学生实际操作能力，用到了图形的旋转

及轴对称的知识，需要灵活掌握.

二、多项选择题（本题共2小题，共8分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对得4分，有选错的得。分，部分选对的得2分）

（多选）7.如图，点。为等边三角形ABC内的一点，DA=5,DB=4,DC=3,将线段4。

以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段A。'，下列结论正确的有（）

BC

A./XACD'可以由△AB。绕点A逆时针旋转60°得到

B./AOC=150°

C.点。到C。'的距离为4

D-5四边形ABCD，=64^③

【分析】根据旋转的性质得，ZDAD'=60°,由△ABC为等边三角形得到

AB=AC,NBAC=60°,则把△43。绕点A逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD

与AD'重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DO'C为直角三

角形，则可对②④进行判断；由于S四边境A0C0=SAA“，+SA°OC,利用等边三角形的面积

公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断.

解：•.•线段AO以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段A。’，

：.AD=AD',ZDAD'=60°,

「△ABC为等边三角形，

：.AB^AC,NBAC=60°,

...把△ABO绕点A逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AQ'重合，

：.AAC£）'可以由△A3。绕点A逆时针旋转60°得到，所以A正确；

：.D'C=DB=4,

：OC=3,

在△D。'C中，

•.•32+42=52,

J.DC^+D'O=DD'2,

；.△£»£）'C为直角三角形，

/.ZDCD'=90°,

'：/\ADD'为等边三角形，

：.ZADD'=60°,

.•.NA£>CW150°,所以8错误：

■:NDCD'=90°,

：.DC±CD',

...点。到C。'的距离为3,所以C错误；

S&ADD'+SwDC

=近义52+工X3X4

42

=6+25立,所以。正确.

4

故选：AD.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等;

对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的判定与性质以及

勾股定理的逆定理.

（多选）8.甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，

乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行.两人之

间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，其中正确的结论

有（）

y冰

60100

A.a=450

B.6=150

C.甲的速度为8米/秒

D.当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒

【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根

据甲的速度可以计算出。的值，即可判断A;根据乙的速度，可以计算出6的值，可以

判断以根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断£>.

解：由图可得，甲的速度为：600+100=6（米/秒），故C错误，不符合题意；

，乙的速度为：6004-60-6=4（米/秒），

.•.a=4X100=4（X）,故A错误，不符合题意；

6=600+4=150,故B正确，符合题意；

设当甲、乙相距50米时，甲出发了加秒，

两人相遇前：（600-50）=m（6+4）,

解得机=55；

两人相遇后：（600+50）=m（6+4）,

解得，"=65；故。正确，符合题意；

故选：BD.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

三、填空题（本题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分.）

9.若关于x的不等式/nx-〃>0的解集是则关于x的不等式（m+〃）的解

集是XV-；.

【分析】根据已知求出机、〃都为负数，求出加=7"，求出机+〃和〃的值，即可求出

答案.

解：•・•关于戈的不等式加…>0的解集是X*

・••机<0,—=一，

m7

:.m=7n,

：.n<0,

/.m+n=8n,n-m=-6〃,

...关于X的不等式（％+〃）尤>〃-机的解集是X<-地，

8n

即%<-3，

4

故答案为：x<--y.

【点评】本题考查了解一元一次不等式，能求出加、〃为负数和帆=7〃是解此题的关键.

10.阅读材料：在求1+2+22+23+24+…+22022的值时，先设5=1+2+22+23+24+…+22022,将等

式两边同时乘以2得：25=2+22+23+24+25+…+22022+22023,将下式减去上式得2s7=22023

-1,即5=22。23-1,求得1+2+22+23+24+…+22022=22023-1,请你仿照此法计算：

1+5+52+53+54+…+52023的值等于b-----21.

—4-

【分析】仿照题中的形式进行求解即可.

解：设S=1+5+52+53+54+…+52023,

将等式两边同时乘以5得:5s=5+52+53+54+…+52024,

将下式减去上式得：45=52024-1,

C-20241

则——Z1,

4

c20241

即1+5+52+53+54+—+52023=-2____21,

4

t-20241

故答案为：5——

4

【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是理解

清楚题意，总结出规律.

11.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为4正的正方形A8C。

可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示

的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边E4上），则

“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是一代

【分析】如图2中，连接EG,GMLEN交EN的延长线于M,利用勾股定理解决问题即

可.

解：如图2中，连接EG,作GMLEN交EN的延长线于M.

在Rtz^EMG中，'：GM=4,EM=2+2+4+4=12,

£G=VEM2-H}M2=V122+42=：4，/10'

EG

'.EH=7T=4向r-，

解法二：如图，连接EG交MN于点O.

由题意，EN=MN=4,G例=8,

,:NEON=NGOM,/N=NM=90°,

:.XEONs4GoM,

.ON=EN=1

14

：.ON^—MN=—,

33

<9£，=22=

,,,VEN+OM-^Y^,OG=2OE="不，

:.GF=MEG=®(OE+OG)=4辰.

故答案为4

【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造直角三角形解决问题.

12.如图是某校初中部美丽校园的一景，小明同学上学去班时要走过该段楼梯.已知本段楼

梯共有10个阶梯，如果每步只允许走一个或两个阶梯，那么小明同学共有89种方

法走完本段楼梯.

方法数加上(，-2)个台阶的方法数，据此可得答案.

解：根据每步只允许走一个或两个阶梯，可得:

(1)当一共有1个台阶时,有1种方法;

(2)当一共有两个台阶时,有1+1=2种方法,(即1,2)

(3)当一共有三个台阶时,有1+2=3种方法,(即1-1-1,1-2,2-1)；

(4)当一共有4个台阶时,有2+3=5种方法,(即1-1-1-1,1-1-2,1-2-1,

2-1-1,2-2)；

(5)当一共有5个台阶时,有3+5=8种方法,(即1-1-1-1-1,1-1-1-2,1-

1-2-1,1-2-1-1,1-2-2,2-1-1-1,2-1-2,2-2-1)；

根据规律可知:

(6)当一共有6个台阶时,有5+8=13种方法;

(7)当一共有7个台阶时,有8+13=21种方法;

(8)当一共有8个台阶时,有13+21=34种方法;

(9)当一共有9个台阶时,有21+34=55种方法;

(10)当一共有10个台阶时，有34+55=89种方法;

故答案为：89.

【点评】本题考查了排列与组合问题，规律探索，解题的关键是从较小的数开始，找到

规律.

四、解答题（本题共4小题，共48分.解答应写出必要文字说明或演算步骤.）

13.如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【概念理解】（1）如图②，在四边形ABC。中，AB^AD,CB=C。，问四边形A3C。

是垂美四边形吗？请说明理由；

【性质探究】（2）如图①，四边形ABC。的对角线AC,8。交于点O,ACYBD.试证

明：AD2+BC2=AB2+CD2；

【解决问题】（3）如图③，分别以RtzXACB的直角边AC和斜边48为边向外作正方形

4CFG和正方形连接CE,BG,GE.已知AC=8,AB=\0,求GE的长.

【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.

【解答】（1）解：四边形ABC。是垂美四边形.证明如下：

•：AB=AD,

...点A在线段BD的垂直平分线上，

;CB=CD,

点C在线段BD的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

：.ACLBD,即四边形A8CO是垂美四边形;

（2）证明：如图1中，

D

B

图I

,CACLBD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90Q,

由勾股定理得，AD2+BC1=AO2+DO2+BO1+CO2,

AB2+Ciy=AO2+BO2+CO2+DO2,

：.AD2+BC2=AB2+CD2.

（3）解：连接CG、BE,

图3

：NCAG=/BAE=90°,

NCAG+NBAC=/BAE+NBAC,即/GAB=ZCAE,

在AGAB和△CAE中，

AG=AC

,NGAB=NCAE，

AB=AE

：.AGAB^ACAECSAS）,

：.ZABG=ZAEC,^ZAEC+ZAME=9Q°,

.•.NA8G+NAME=90°,即CE_L8G,

四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE1=CB2+GE2,

：AC=8,AB=10,

：.BC=6,CG=8&,BE=10五,

.,.GSCgBE2-CB2=292,

AGE=2/73.

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定

理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.

14.某学校计划今年国庆期间组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件

完全一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出

不同的优惠方案.

【问题信息】外出学习教师不超过100人.甲宾馆是35人以内(含35人)按标准收费，

超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人以内(含45人)的按标准收费，超

过45人的，超出部分按八折收费.

【问题设计】如果你是这个学校负责人，你会怎样选择宾馆？请你给出你的设计方案和

理由.

【分析】设共有x(xWlOO)名教师到外地进行学习，当xW35时，选择甲宾馆所需费用

为120x元，选择乙宾馆所需费用为120r元，由120x=120x,可得出此时选择两宾馆所

需费用相同；当35<xW45时，选择甲宾馆所需费用为(108X+420)元，选择乙宾馆所

需费用为120x元，由108x+420V120x,可得出此时选择甲宾馆所需费用较少；当45Vx

W100时，选择甲宾馆所需费用为(108X+420)元，选择乙宾馆所需费用为(96X+1080)

元，分108x+420<96x+1080,108x+420=96x+1080及108x+420>96x+1080三种情况，

求出x的值或x的取值范围.综上所述，即可找出选择方案.

解：设共有x(xW100)名教师到外地进行学习.

当xW35时，选择甲宾馆所需费用为120x元，选择乙宾馆所需费用为120x元，

•.T20x=120x,

,此时选择两宾馆所需费用相同，即可以任意选择甲、乙两家宾馆；

当35<xW45时，选择甲宾馆所需费用为120X35+120X0.9(%-35)=(108x+420)元，

选择乙宾馆所需费用为120x元，

V108x+420<120x,

此时选择甲宾馆所需费用较少：

当45<xW100时，选择甲宾馆所需费用为120X35+120X0.9(%-35)=(108A+420)

元，选择乙宾馆所需费用为120X45+120X0.8(x-45)=(96x+1080)元，

若108x+420V96x+1080,则xV55,此时选择甲宾馆所需费用较少；

若108x+420=96x+1080,则x=55,此时选择两宾馆所需费用相同；

若108x+420>96x+1080,则x>55,此时选择乙宾馆所需费用较少.

综上所述，方案设计为：当xW35或x=55时，选择两宾馆所需费用相同：当35Vx<55

时，选择甲宾馆更实惠；当55VXW100时，选择乙宾馆更实惠.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，根据

各数量之间的关系，用含x的代数式分别表示出选择甲、乙两家宾馆所需费用是解题的

关键.

15.数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发

现一些数学结论.现有“克糖水，其中含有b克糖(“>6>0),则糖水的浓度(即糖的

质量与糖水的质量比)为少.

a

(1)糖水实验一：加入力克水，则糖水的浓度为生活经验告诉我们，糖水

a+m

加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_上<也我们趣称为“糖水不等式”.

a+ma

(2)糖水实验二：

将“糖水实验一”中的“加入机克水”改为“加入〃，克糖”，则糖水的浓度为_旦q_.根

a+m

据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”_且也>2_.

a+ma

(3)请结合(2)探究得到的结论尝试证明：

设4、b、。为△ABC三边的长，求证：---+----K——<2.

a+bb+ca+c

【分析】(1)①根据题意列式表示；根据“糖水加水后会变淡”可列出不等式；

(2)根据题意列出代数式和不等式即可；

(3)利用三角形的三边关系得到a+b>c,b+c>a,c+a>b,即一一<［上<1，

b+ca+c

—<b在通过本题糖水不等式变形求证即可.

c+a

解：(1)①由题意得：加入力克水后，糖水的浓度为上，

a+m

•••糖水加水后会变淡，

.•.上<2

aga

故答案为：—,上〈工；

a-hna+ma

(2)由题意得：加入机克糖后，糖水的浓度为止更，

根据生活经验，加入加(加>0)克糖后，糖水会变甜，

・bF)b

a-hrtia

故答案为：目里，上&>2：

a+ma+ma

(3)在△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b9且。>0,b>6,c>0,

1,1,1,

b+ca+cc+a

由糖水不等式得，上＜上上，上工，

b+cb+c+ac+ac+a+bb+aa+b+c

・abc/a+ab+bc+cn

b+cc+aa+bb+c+ab+c+aa+b+c

.yq」＜2.

b+cc+aa+b

【点评】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及

三角形三边关系证明2是解决本题的关键.

a+bb+ca+c

16.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCC,使AQ与8c重合，得到折痕EF,