圆周运动常考模型-2023届高考物理一轮复习热点题型(解析版)

专题09圆周运动常考模型

目录

题型一圆周运动中的运动学分析.................................................................1

题型二水平面内的圆周运动.....................................................................3

类型1圆锥摆模型..........................................................................4

类型2生活中的圆周运动....................................................................7

题型三竖直面内的圆周运动.....................................................................9

题型四圆周运动中的临界极值问题..............................................................10

类型1水平面内圆周运动的临界问题.......................................................10

类型2竖直面内的圆周运动的临界问题.....................................................14

类型3斜面上圆周运动的临界问题.........................................................17

题型五竖直面内圆周运动与图像结合问题........................................................19

题型一圆周运动中的运动学分析

【解题指导】1.对公式v=s的理解

当口一定时，U与厂成正比.

当y一定时，口与尸成反比.

2.对斯=匕=①2厂的理解

r

在y一定时，On与尸成反比；在①一定时，曲与广成正比.

3.常见的传动方式及特点

(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等,

即VA=VB.

%⑥BA@Xg)5

甲乙

(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边

缘线速度大小相等，即卜=丫&

(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，coA=coB,由v=s厂知v与

，,成正比.

【例1】游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图7所示，一小孩坐在旋转

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木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为3.0ni,小孩旋转5周用

时1min,则下列说法正确的是（）

A.小孩做圆周运动的角速度为:rad/s

B.小孩做圆周运动的线速度为2兀m/s

C.小孩在1min内通过的路程为15Km

D.小孩做圆周运动的向心加速度为-m/s2

12

【答案】D

【解析】小孩做圆周运动的周期T=2=12s,则角速度为。=区=四rad/s,A错误；线速

nT6

度为m/s,B错误；在1min内通过的路程s=/r2加，=30兀m,C借误；向心加速

T2

度为a—oj2r——m/s2,D正确。

n12

【例2】（2022•河北衡水中学模拟）穿梭于大街小巷的共享单车解决了人们出行的“最后一公

里”问题。单车的传动装置如图所示，链轮的齿数为38,飞轮的齿数为16,后轮直径为660

mm。己知齿轮的齿数比等于半径比，若小明以5m/s匀速骑行，则脚踩踏板的角速度约为

B.6.4rad/s

C.12.6rad/sD.18.0rad/s

【答案】B

【解析】飞轮和后轮角速度助相等，链轮和飞轮的边缘线速度v相等，链轮和踏板角速

度他相等，可得32=迎=6.4rad/s,故B正确，A、C、D错误。

NiR

【例3】（2022•资阳诊断）如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和。靠摩擦传

动，两轮的半径R：r=2：1.当主动轮。匀速转动时，在。轮边缘上放置的小木块恰能相

对静止在。轮边缘上，此时。轮转动的角速度为。I，木块的向心加速度为m,若改变转速,

把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时。轮转动的角速度为5,木块的向心加速度为“2,

则（）

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C021

【解析】：根据题述，0=0>，联立解得小木块放在尸轮边缘也恰能静

止，ng=<«2R=202r.由3汽=°2%联立解得迫=也，选项A、B错误：mai—nmg,所以"=

C022ai

1,选项C正确，D错误.

题型二水平面内的圆周运动

【解题指导】1.向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的

合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.

2.向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.

(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.

3.几种典型运动模型

运动模型向心力的来源图示运动模型向心力的来源图示

飞机水平

圆锥摆

转弯

mg--

I

火车转弯飞车走壁

wmg、---'

THg

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4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,

几何分析目的是确定圆周运动的圆心、半径等

运动分析目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等

目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心

受力分析

力

类型1圆锥摆模型

y__________

1.如图所示，向心力尸冏=/ngtan6=用匕=”心2厂，且r=/sin仇解得v=yjgLtan心in0,co—

2.稳定状态下，。角越大，对应的角速度”和线速度口就越大，小球受到的拉力F=」总和

cos0

运动所需向心力也越大.

【例1】（2022•辽宁六校联考）四个完全相同的小球/、8、C、。均在水平面内做圆锥摆运动.如

图中所示，其中小球工、8在同一水平面内做圆锥摆运动（连接8球的绳较长）；如图乙所示,

小球C、力在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、。的绳与竖直方向之间的夹角相同

（连接。球的绳较长），则下列说法错误的是（）

A.小球小8角速度相等

B.小球/、8线速度大小相同

C.小球C、。向心加速度大小相同

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D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等

【答案】B

【解析】对题图甲力、8分析：设绳与竖直方向的夹角为仇小球的质量为加，小球/、B

到悬点。的竖直距离为力，则〃噜tan/sin以解得所以小球”、

8的角速度相等，线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙C、。分析：设绳与竖

直方向的夹角为仇小球的质量为"?，绳长为L,绳上拉力为FT，则有加gtan6=，"。，FTCOS6

="ig得a=gtanaFy=-^~,所以小球C、。向心加速度大小相同，小球C、。受到绳的

cos0

拉力大小也相同，故C、D正确.

【例2】（2022•安徽合肥一中段考）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端

固定在金属块。上，。放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆

周运动，现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块。始终静止在桌面上

的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是（）

A.细线所受的拉力不变

B.小球尸运动的线速度变大

C.小球P运动的周期不变

D.。受到桌面的静摩擦力变小

【答案】B

【解析】设细线与竖直方向的夹角为仇细线的拉力大小为R细线的长度为3尸球做匀速

圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图

则有：F='"g，mgtan0—mco2Lsm0,zwgtan0—m---,得线速度v=y/gLtandsin0,角速

cos6Asin6

度。―S—,使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，J增大，cos。减小,

\1Leos6

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sin，、tan。增大，则得到细线拉力下增大，角速度3增大，线速度丫增大，根据公式7="可

CD

得周期减小，故B正确，A、C错误；对。球，由平衡条件得知，。受到桌面的静摩擦力等

于细线的拉力大小，故静摩擦力增大，D错误.

【例3].如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速

圆周运动，甲在乙的上方.贝4()

A.球甲的角速度一定大于球乙的角速度

B.球甲的线速度一定大于球乙的线速度

C.球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期

D.球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力

【答案】B

【解析】对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与

竖直方向夹角为仇根据牛顿第二定律有，"gtan。="71=用/?32,解得v=\jgRtan。,co—

飞嗯9球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定

大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T=区,因为球甲的角速度一定小于球乙的角

CD

速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故c错误；因为支持力/N=g,结

cos0

合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误.

【例4】如图所示，质量均为用的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小

球。在竖直平面内来回摆动，小球6在水平面内做匀速圆周运动，连接小球6的绳子与竖直

方向的夹角和小球。摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为仇重力加速度为g,则下列

A.a、b两小球都是所受合外力充当向心力

B.“、6两小球圆周运动的半径之比为tan。

C.。小球受到的绳子拉力为卫

cos0

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D.a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为第；

sin0

【答案】C

【解析】小球。速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周

运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，°、6两小球圆周运动的半径

之比为一与，故B错误；根据矢量三角形可得凡cos6»=sg,即凡=半，故C正确；“小

sin0cos0

球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有乙=〃?gcos。，故D错误.

类型2生活中的圆周运动

【例2】（2022•哈尔滨师大附中期中）在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低.如图所

示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是做

半径为R的在水平面内的圆周运动.如图，设内外路面高度差为小路基的水平宽度为“，

路面的宽度为L已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）

【解析】：设路面的斜角为仇作出汽车的受力图，如图

N\

根据牛顿第二定律，得mgtan8=》,又由数学知识得到tan0=与联立解得/亚，

RaV«

故B选项正确.

【例2】（2022•河南洛阳名校联考）在室内自行车比赛中，运动员以速度丫在倾角为。的赛道

上做匀速圆周运动.已知运动员的质量为小，做圆周运动的半径为R,重力加速度为g,则

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下列说法正确的是)

A.将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用

B.运动员受到的合力大小为做圆周运动的向心力大小也是加且

RR

C.运动员做圆周运动的角速度为W?

D.如果运动员减速，运动员将做离心运动

【答案】：B

【解析】：向心力是整体所受力的合力，选项A错误；做匀速圆周运动的物体，合力提供向

心力，选项B正确；运动员做圆周运动的角速度为。=工选项C错误；只有运动员加速到

R

所受合力不足以提供做圆周运动的向心力时，运动员才做离心运动，选项D错误.

（2022•山东大学附中质检）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的/、8两物块叠放在一起,

随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是

A.物块48的运动属于匀变速曲线运动

B.8的向心力是力的向心力的2倍

C.盘对8的摩擦力是2对/的摩擦力的2倍

D.若8先滑动，则8与/之间的动摩擦因数月小于盘与8之间的动摩擦因数仅

【答案】：C

【解析】：/、8做匀速圆周运动，加速度方向不断变化，属于非匀变速曲线运动，选项A

错误；根据居=，”“，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心

力相等，选项B错误：对/、8整体分析，兀=2mn«2,对4分析，有：/=〃"•"，知盘对8

的摩擦力是8对/的摩擦力的2倍，选项C正确.对/、8整体分析，〃夕2mg解

得产，对/分析，Mmg=mrs3解得叫='隔,若8先滑动，可知8先达到临

界角速度，可知8的临界角速度较小，即〃选项D错误.

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题型三竖直面内的圆周运动

如图所示为凹形桥模型.当汽车通过凹形桥的最低点时,

概

、V2

述向心力F

r

规7）2

mg桥对车的支持力F^=mg+m->mg,汽车处于超重状态

凹形桥律

如图所示为拱形桥模型.当汽车通过拱形桥的最高点时,

概

述向心力/向=〃吆—八=〃?一

r

mg规桥对车的支持力FN—mg—77?—<mg,汽车处于失重状

r

拱形桥律

态.若。=砺，则尸N=0,汽车将脱离桥面做平抛运动

【例1】（2022•山东省中学高三月考）如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面

半径R=6400km,地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G=800N,在汽车的速度可以达到

需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析正确的是（）

A.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大

B.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都等于800N

C.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力

D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面的压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉

【答案】C

【解析】汽车的重力和地面对汽车的支持力的合力提供向心力，则有加重力

是一定的，v越大，则尸N越小，故A、B错误；因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员

做圆周运动所需的向心力，所以驾驶员对座椅的压力小于他自身的重力，故C正确：如果

速度增大到使汽车对地面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所

需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误.

【例2】（2021•大庆中学期中）如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面，

一个小球先后在与球心在同一水平高度的小8两点由静止开始下滑，通过轨道最低点时

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A.A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力

B./球对轨道的压力等于8球对轨道的压力

C.1球的角速度小于8球的角速度

D./球的向心加速度小于8球的向心加速度

【答案】B

【解析】下滑过程中由于只有重力做功，所以机械能守恒，设圆轨道半径为7?,在最低点时

mgR=~mv2,N—mg=nr—,联立解得—\-mg=3mg,即与半径无关，故A错误，B正

2RR

确；由于在最低点丫=4藏，根据公式3=］可得。=故半径越大，角速度越小，故

C错误；根据可得a=2g,故与半径无关，两种情况下的向心加速度相同，D错误.

R

题型四圆周运动中的临界极值问题

类型1水平面内圆周运动的临界问题

三种临界情况

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力/N=0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑

动的临界条件是静摩擦力达到最大值.

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件

是绳中张力等于它所育练受的最大张力，绳子松弛的临界条件是尸r=0.

【例1】(多选)(2022•西安八校联考)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块4和8放在

转盘上，两者用长为A的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A

放在距离转轴心处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴。。2转动，开始时，绳恰好伸直但

无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是()

5bAB

n——n

A.当时，A,8相对于转盘会滑动

B.当3>,绳子一定有弹力

C.co在范围内增大时，8所受摩擦力变大

D.co在0<&)<范围内增大时，工所受摩擦力一直变大

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【答案】ABD

【解析】当/、8所受静摩擦力均达到最大值时，A,8相对转盘将会滑动，Kmg+KmS=

m^L+mco^L,解得：s='娶,A项正确；当8所受静摩擦力达到最大值后，绳子开

始有弹力，即：Kmg=ma）2-2L,解得:

速度的增大，绳子拉力不断增大，8所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错误:

力所受摩擦力提供向心力，即衣=用。2心静摩擦力随角速度增大而增大,

当悔0V樨时'

以/、8整体为研究对象，At+Kmg=L+mo?•2L,可知Z受

静摩擦力随角速度的增大而增大，D项正确.

【例2】.（2022・湖南怀化联考）质量为m的小球由轻绳。和6分别系于一轻质细杆的B点和

力点，如图所示，绳。与水平方向成8角，绳6在水平方向且长为/,当轻杆绕轴以角速

度。匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是

()

B.。绳的张力随角速度的增大而增大

C.当角速度\1s用,b绳将出现弹力

D.若6绳突然被剪断，则。绳的弹力一定发生变化

【答案】：C

【解析】：由于小球〃，的重力不为零，。绳的张力不可能为零，6绳的张力可能为零，选项

A错误；由于。绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以。绳的张力随角速度的增大而不

变，b绳的张力随角速度的增大而增大，选项B错误；若人绳中的张力为零，设“绳中的张

力为凡对小球m,Fsin8—mg,Feos0—mco2l,联立解得：。=个名。。：〃,即当角速度

b绳将出现弹力，选项C正确；若。=0用，6绳突然被剪断，则。绳的弹

力不发生变化，选项D错误.

【例3】（多选）（2022•湖北省高考模拟）如图所示，竖直杆Z8在4、8两点通过光滑较链连

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接两等长轻杆NC和BC,4C和8c与竖直方向的夹角均为仇轻杆长均为乙在C处固定

一质量为，〃的小球，重力加速度为g,在装置绕竖直杆转动的角速度勿从0开始逐渐增

大过程中，下列说法正确的是（）

A.当。=0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力

B./C杆对球的作用力先增大后减小

C.一定时间后，/C杆与8c杆上的力的大小之差恒定

D.当。=、/—时，8c杆对球的作用力为0

YLeos0

【答案】CD

【解析】当3=0时.，由于小球在水平方向受力平衡，因此ZC杆对小球的作用力表现为

拉力，8c杆对小球的作用力表现为支持力，旦大小相等，选项A错误；当。逐渐增大时，

XC杆对小球的拉力逐渐增大，8c杆对小球的支持力逐渐减小，当8。杆的作用力为0时，

有"唔tan八加苏小而仇解得。=、/一^,当。继续增大时，/C杆对小球的拉力继续增大，

VLeos0

8c杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，选项B错误，D正确：一定时间后，/C杆

和8c杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即Bcos0-F2cose

=mg,则尸i一尸2=」除，因此4C杆与8c杆上的力的大小之差恒定，选项C正确。

cos0

【例4】（多选）如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为6=37。.

一根长为/=lm的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平

面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6,不计空气阻力，则

（）

A.小球受重力、支持力、拉力和向心力

B.小球可能只受拉力和重力

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C.当00=,也rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零

2

D.当。=23rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用

【答案】BC

【解析】转速较小时，小球紧贴圆锥面，则FTCOSO+Risinf)=mg,Frsin<9—FNCOS0=fna)2lsin

仇随着转速的增加，产r增大，尸N减小，当转速达到①。时支持力为零，支持力恰好为零

时有zwgtan。=川的2/11仇解得助)=-仍rad/s,A错误，B、C正确；当3=2砧^(1/5时,

小球已经离开斜面，小球受重力、拉力的作用，D错误.

【例5】(2022•河北廊坊市摸底)如图所示，暗室中一水平转台上，距离转轴OO,长为L的位

置嵌入一物块(可视为质点)。在常亮光源照射下从上往下看，转台逆时针匀速转动，如果用

频闪光源照射转台，发现物块做顺时针匀速转动。已知物块质量为小频闪光源闪光频率为

N,观察到物块做顺时针圆周运动的周期为T,当地重力加速度的大小为g。求：

0'

(1)水平转台的最小转速〃；

(2)转台以最小转速转动时给物块的作用力大小。

【答案】(1)N—：(2)/»^j4n2Z,2?+工

【解析】(1)水平转台的角速度3=2初

频闪光源闪光一次的时间间隔里转台逆时针转过的角度

3=­a)

N

观察到物块顺时针转过的角度

ff=2kit-e(k=\f2,3...)

由角速度的定义有。'W="

T

解得—"伏=1,2,3…)

&=1时，转速最小，n\=N--.

T

(2)物块做圆周运动所需向心力为

=2

FnmL(2nn)

转台给物块的作用力为F=q碎+(mg)2

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解得F="\乐2乙2(N—1)2+?。

类型2竖直面内的圆周运动的临界问题

1.两类模型对比

轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)

球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的

实例球与杆连接、球在光滑管道中运动等

“过山车”等

X]

图示■杆1

X

［小

,一4卜、、b-、、、

受力尸弹卜、、

F典

mgmgmgmg

示意mg

00O00

图

尸弹向下或等二F零尸弹向下、等于零或向上

力学,„V2

nig+F^m—fng^F^=m—

方程

尸弹=0

v=0

临界Omin2

即F向=0

特征

/弗

即Vmin=y{gR=mg

(1)当。=0时，F^=mg,歹弹背离圆心

(2)当时，mg—F^=m^^弹背

(1)最高点，若F

R

讨论离圆心并随。的增大而减小

绳或轨道对球产生弹力尸弹

分析(3)当^时，/弹=0

(2)若。诲，则不能到达最高点，即到

达最高点前小球已经脱离了圆轨道(4)当。〉时，/%g+尸并=用一尸弹指向

R

圆心并随。的增大而增大

2.解题技巧

(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；

(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；

(3)注意：求对轨道的压力时,转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律

求出压力.

【例1】如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道

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1,再进入圆轨道2,圆轨道1的半径为心圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量

为，"，若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的

压力大小为(重力加速度为g)()

A.2mgB.3mgC.4tngD.5mg

【答案】c

【解析】小球恰好能通过轨道2的最高点8时，有加，小球在轨道1上经过其最

1.8/?

高点力时，有尸计"陪=”正，根据机械能守恒定律，有1.6mgRvn2，解得FN

R22

=4加g,结合牛顿第三定律可知，小球在轨道I上经过其最高点力时对轨道的压力大小为

4mg,C正确.

【例2】(2022•山东枣庄八中月考)如图，轻杆长2/,中点装在水平轴。上，两端分别固定着

小球/和8,4球质量为加，8球质量为2机，重力加速度为g,两者一起在竖直平面内绕。

轴做圆周运动.

(1)若4球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小；

(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时。轴的受力大小、方向；

(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现。轴不受力的情况？若不能，请说明理由：若

能，求出此时/、8球的速度大小.

【答案】(1)而(2)2%g,方向竖直向卜(3)能；当/、8球的速度大小为历时。轴不

受力

【解析】(1M在最高点时，对A根据牛顿第二定律得"名=若

解得VA=yfgi

因为4、8球的角速度相等，半径相等，则VB=Vd=,

(2)8在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2"ig+FroB'=2小彳

代入⑴中的小可得尸TOB'=0

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对N有FTOA'—tng=irry-

可得FTOA=2mg

根据牛顿第三定律，O轴所受的力的大小为2〃?g,方向竖直向下

⑶要使。轴不受力，根据8的质量大于Z的质量，设/、8的速度为也可判断8球应在

最高点

V2

对8有尸rcW+2〃7g=2一

对/有FTOA"-mg=my

轴O不受力时FM"=FTOB"

可得v=y/3gl

所以当力、8球的速度大小为病时。轴不受力.

【例3】（2022•山西吕梁模拟）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内

侧壁半径为R,小球半径为，，则下列说法正确的是（）

A.小球通过最高点时的最小速度Vmin=、/g（R+r）

B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0

C.小球在水平线他以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D.小球在水平线而以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

【答案】：BC

【解析】：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，

内管对小球产生弹力，大小为mg,故最小速度为0,故A错误，B正确；小球在水平线时

以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小

球一定有作用力，而内侧管壁对小球"定无作用力，故C正确；小球在水平线而以上管道

运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，

也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误.

【例4】（2022•贵州安顺市网上调研）如图所示，质量为加=1.0kg的小球绕O点在竖直平面

内沿半径，-二。，!!!的圆弧运动.小球运动到最低点时，细线刚好达到所能承受的最大拉力

被拉断，小球水平飞出.已知细线能承受的最大拉力为小球重力的3倍，。点离水平地面的

高度〃=1.0m,取重力加速度g=10力s2.

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，〃，，，，，，，，，，力，，，，，，，，，，〃，，，,

(1)求小球在地面上的落点离。点的水平距离：

(2)若细线断裂的瞬间，小球同时受到水平向左的恒力厂的作用，最终小球恰好落在地面上

的A点(Z点在O点的正下方)，求恒力F的大小.

【答案】(1)0.8m(2)10N

【解析】(1)设在细线刚好被拉断时，小球受到的拉力为小，速度大小为vo,对小球，由

牛顿第二定律有量，由题知尸m=3wg,

r

解得vo=2m/s.

细线拉断后，小球做平抛运动，设平抛运动的时间为3落点距离。点的水平距离为x,有

水平方向上x=vv，

竖直方向上〃一r=$凡

可得x=0.8m.

(2)若细线断裂的同时，小球同时受到水平向左的恒力少的作用，则小球在水平方向先做匀

减速运动再做反向匀加速运动，设加速度大小为〃，

有F=ma,

水平方向上VOLLZ於=0,

2

解得F=10N.

类型3斜面上圆周运动的临界问题

物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为仇重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力

相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化.

【例1】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度”转

动，盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因

,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30。，g取10m/s2,则以

下说法中正确的是()

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A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用

B.小物体随圆盘以不同的角速度”做匀速圆周运动时，”越大时，小物体在最高点处受到

的摩擦力一定越大

C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心

D.°的最大值是1.0rad/s

【答案】CD

【解析】当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，

故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、

支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力

的方向沿斜面向上时，&越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体

在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能

背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时

小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面

的合力提供向心力，支持力FN=wgcos以摩擦力尸£="\="m83aX//wgcos30°—fflgsin

3O°=ma）2R,解得co=1.0rad/s,故D正确.

【例2】.（2022•沈阳东北育才中学模拟）如图所示，在倾角0=30。的光滑斜面上，长为工的

细线一端固定，另一端连接质量为，〃的小球，小球在斜面上做圆周运动，/、8分别是圆弧

的最高点和最低点，若小球在/、8点做圆周运动的最小速度分别为卜、VB，重力加速度为

g，则（）

A.v/=0B.VA=y[gL

C.V5=-V10gZD.VB=yl3gL

【答案】：c

【解析】：在力点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提

供向心力，根据牛顿第二定律得：/ngsin0=m^,解得/点的最小速度为：切=\俣，对

48段过程研究，根据机械能守恒得：刎+吵2加30。=刎玲，解得8点的最小速度为:

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VB==，/1OgL,故C正确，A、B、D错误.

【例3】.（2022•河南开封模拟）如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水

平固定轴调节其与水平面所成的倾角.板上一根长为，=0.60m的轻细绳，它的一端系

住一质量为优的小球P,另一端固定在板上的。点.当平板的倾角固定为a时，先将轻绳平

行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度vo=3.Om/s.若小球能

保持在板面内做圆周运动，倾角a的值应在什么范围内？（重力加速度g取10m/s2）

【答案】：0°<a<30°

【解析】：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力.在垂直平板方向上合

力为0,重力在沿平板方向的分量为/ngsina

小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有

Fr+wgsina=四^①

研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有

—wg/sina=-mv?—v§（2）

若恰好能通过最高点，则绳子拉力尸「=0③

联立①②③解得sina=~,解得a=30。

2

故a的范围为0咚任30。.

题型五竖直面内圆周运动与图像结合问题

【例1】如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点。在竖直面内做圆周运动，小球经过最

高点的速度大小为V,此时绳子拉力大小为6,拉力尸r与速度的平方庐的关系如图乙所示,

图像中的数据〃和6以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（）

A.数据。与小球的质量有关

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B.数据b与小球的质量无关

c.比值e只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关

a

D.利用数据4、6和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径

【答案】D

【解析】当/时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有=以，解

r

得f=gr即。=炉，故与物体的质量无关，A错误；当时，对物体受力分析，则有

mg+b=m^,