高中数学-22 祖暅原理（以祖暅原理为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题22祖咂原理

（以祖咂原理为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.我国南北朝时期的数学家祖迪在计算球的体积时，提出了一个原理（祖晒原理）：

“基势既同，则积不容异”这里的“塞”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是:

两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相

等.利用祖唯原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之

差.图1是一种“四脚帐篷'’的示意图，其中曲线AOC和均是以1为半径的半

圆，平面AOC和平面80。均垂直于平面A8CO,用任意平行于帐篷底面ABC。的平

面截帐篷，所得截面四边形均为正方形.模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一

个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2）,

从而求得该帐篷的体积为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，求得对应正四棱柱的底面边长和高，根据帐篷的体积等于棱柱的体积减去

棱锥的体积，根据体积公式求得结果.

【详解】

根据题意，底面正方形的边长为亚，高为1,

根据题意，可知该帐篷的体积为y=夜X1」X夜X应Xl=?,

33

故选：B.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关几何体体积的求解，解题方法如下：

（1）认真读题，理解题意；

（2）根据题意，求得相应几何体的棱长；

（3）利用体积公式求得结果.

2.祖曜，又名祖眶之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在

《级术》中提出“嘉势既同，则积不容异'’的结论，其中“黑”是面积.“势”是高，意思就

是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，

如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原

理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm,底面

为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为

()

（2000G2000

c

-O-一"

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出阴影部分的面积，其面积为边长20cm的正三角形的面积减去两个边长为10cm

■TT

的正三角形的面积，再减去圆心角为1，半径为10cm的扇形面积，然后利用柱体的

体积公式求解即可

【详解】

由图知阴影部分的面积为

—x20x20x--■-xIOxlOx—x2-•-x—xlO2=f50g-亚万］cm2,

222223I3）

所以艺术品的体积为（2000g-誓万卜

故选：B

3.我国南北朝时期的数学家祖晅提出了一条原理：“基势既同，则积不容异意思

是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

得的两个截面的面积总相等，那么这两个儿何体的体积相等.这个原理能够帮助人们

计算3。打印时的材料耗费问题.3。打印属于快速成形技术的一种，是将粉末状金属或

塑料等可粘合材料，通过逐层喷涂，逐渐堆叠累积的方式来构造物体的技术，可以用

来制造结构复杂的物件.根据祖眼原理，对于30打印制造的零件，如果能找到另一个

与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算该

几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3。打印技术制造一个零件，其在高为

人的水平截面的面积为S（〃）=万（4-〃”0Kzi42,则该零件的体积为（）

4万c8乃-16万r327

A.—B.—C.——D.——

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

易知该零件的体积为以2为半径的半球的体积，根据祖胞原理，即可得到该零件的体

积

【详解】

解：由祖唯原理可知，该零件在高为的水平截面的面积为5他）=恰好与

一个半径为2的半球在高为h处的水平截面面积一致，

所以该零件的体积为半球的体积;x与*23=箸，

故选：C

4.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖随提出“祖氏原理”，他将牟合

方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等

o1

于（d为球的直径），并得到球的体积为%这种算法比外国人早了一千

36

多年，人们还用过一些类似的公式，根据乃=3.1415926…，判断下列公式中最精确的

一个是（）

【答案】C

【解析】

利用选项中的公式化简求得"，找到最精确的选项即可.

【详解】

由丫=1万片得：乃哼

V96x9V16a

由人得：下“而，.•.^-=-^-=3.375；由B得：彳二,，万25=3；

V1576x157…上V86x8c汽

由C得：*丽,•••"30。=3-叫由。得：/%5'7i工---=3.2,

15

，c的公式最精确.

故选：C.

【点睛】

本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得万

的近似值.

5.祖晒是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原

理：”幕势既同幕，则积不容异这里的"暴”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的

意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体

体积相等.如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这

个公共部分叫做牟合方盖）.设两个圆柱底面半径为R,牟合方盖与其内切球的体积比

为4:万.则此帐篷距底面K处平行于底面的截面面积为（）

2

34

A.一兀R~B.3万C.-7tR~D.3/?2

43

【答案】D

【解析】

【分析】

R

山已知求出华介方盖的内切球距底面~处平行于底面的截面圆的半径，得到截而而

2

积，再由祖眼原理列式求得答案.

【详解】

牟合方盖的内切球距底面四处平行于底面的截面圆的半径为立R，

22

截面面积为S1="X（与R）。=］芯,

D

设帐篷距底面1处平行于底面的截面面积为邑，

则由题意可得，$2忑=4：万，

.工，43,,

即3万，解得S,=-x；;rR-=3R~.

nK2

~4.-n4

故选：D.

6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖瞄父子总结了魏晋时期著名数学家刘

微的有关工作，提出“累势既同，则积不容异“累”是截面积，“势”是几何体的高，

即：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体

积相等，上述原理称为“祖眶原理”.一个上底面边长为1,下底面边长为2,侧棱长为

713的正六棱台与一个不规则几何体满足“基势既同”，则该不规则几何体的体积为

)

7__

A.&屈B.16百C.18百D.21

【答案】D

【解析】

【分析】

由“祖胞原理”，结合已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解即

可.

【详解】

解：由“祖唯原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，

因为正六棱台的上下底面边长分别为1和2,设上底面面积为S一下底面面积为邑，

高为人

则S[=6xgx1X1x=if，S2=6xgx2x2x咚=66,6=J13-1=26,

所以V=g（E+7^+S2）力

=*（亭+竽+6G）X2G

=21,

所以该不规则几何体的体积为21.

故选：D.

7.祖也（公元5-6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原

理：“幕势既同，则积不容易这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的

水平截面的面积相等，则这两个儿何体的体积相等.如图将底面直径皆为幼，高皆为“

的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且与

夕距离为d的平面截两个几何体得到几及S坏两截面，可以证明飞=S环总成立.据此,

短轴A8长为3cm,长半轴为2cm的椭半球体的体积是（)

A.34cm*B.bTrcm3C.48^-cm'D.96%cn?

【答案】A

【解析】

【分析】

根据祖恒原理可得出椭半球的体积为丫=；/球=%）柱-小城，即可得解.

【详解】

由题意可知，短轴AB长为女m,长半轴CD为2cm的椭半球体的体积为

卜=3%球=%柱_%椎=丘图,2_m）。2=31（cm）

故选：A.

8.祖地是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献.他在五世纪末提出祖眶原

理：“密势既同，则积不容异其意思是：两个等高的儿何体若在所有等高处的水平截

22

面面积相等，则这两个几何体的体积相等.我们称由双曲线,-营=1（。＞0力＞0）中

可4"（机＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体.如图，双曲线旋转

体的下半部分挖去底面直径为2a,高为根的圆柱体后，所得几何体与底面半径为

华，高为机的圆锥均放置于平面夕上（几何体底面在夕内）.与平面尸平行且到平面

夕距离为人＜〃?）的平面与两儿何体的截面面积分别为品，5例环，可以证明

S/=S卿不总成立.依据上述原理，/一£=1（344的双曲线旋转体的体积为

（）

44

A.—n

3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据双曲线旋转体的定义，结合双曲线的标准方程、圆柱和圆锥的体积公式即可求解.

【详解】

解：依题意〃?=4,a=l,b=2,圆锥底面半径半=2,即圆锥底面积为4兀，

由祖唯原理可知，双曲线旋转体体积

V=2(Viatt+^ffi.)=2[7lx,2x4+；x;tx22x4)=券.

故选：B.

9.我国南北朝时期的数学家祖眼提出了计算几何体体积的祖晒原理：“事势既同，则

积不容异，，.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个儿

何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖晅原理的条件，若圆锥的侧面展开图

是半径为3的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为()

A.巫兀B.逑乃C.4近兀D.枭

333

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知列式求得圆锥的底面半径与高，代入圆锥体积公式求解.

【详解】

解：由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，

圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，

，圆锥的底面周长为筲^=2兀,

故圆锥的底面半径为1,母线为3,所以圆锥的高为律方=2后.

圆锥的体积y=X2夜=2巨".

33

从而所求几何体的体积为丫=述;T.

3

故选：A.

10.我国南北朝时期的科学家祖曜，提出了计算体积的祖随原理：“器势既同，则积不

容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的

体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线y=x2（04y&L）绕）轴旋转一周得几

何体Z,将Z放在与y轴垂直的水平面a上，用平行于平面a,且与Z的顶点。距离

为/的平面截几何体z,得截面圆的面积为万（77）2=T/.由此构造右边的几何体Z1：其

中AC_L平面a，AC=L,Mca,朋=万，它与Z在等高处的截面面积都相等，

【答案】C

【解析】

【分析】

通过截面面积相等可求得的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.

【详解】

由题意可知：在高为£处，截面面积为万L,且截面面积相等

SBB,C,C=nL=BC=L

VABC-AB1G=SAABC,兀=3兀C

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.

II-祖晅（公元前5〜6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了

一条原原理：“毒势既同，则积不容异这里的“事”指水平截面的面积，“势”指高.这

句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个

22

几何体体积相等・设由椭圆5+京=］（〃>/,>0）所围成的平面图形绕》轴旋转一周

后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖瞄原理求球体体积公式

的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于

.42>4心2

A.—7va~bB.-7rab"

33

1

C.2兀0bD.2兀ab°

【答案】A

【解析】

先构造两个底面半径为〃，高为b的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心

为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖晒原理得出椭球的体积.

【详解】

椭圆的长半轴长为。，短半轴长为b，

先构造两个底面半径为。，高为b的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心

为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖啕原理得出椭球的体积为：

本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.

12.祖晒原理：“幕势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的

截面积恒相等，则体积相等.设A,8为两个同高的几何体，p：A8在等高处的截面积

不恒相等，q:A,B的体积不相等，根据祖瞄原理可知，P是9的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据逆否命题的等价性判断P与夕的关系.

【详解】

“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的

几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等"，所以gnp；

反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等''不成立，即由P推不

出9，

所以。是0的必要不充分条件.

故选：B.

13.我国南北朝时期的数学家祖随提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异意思

是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.根据祖瞄原理，对于3。

打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积

均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3。

打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S,随高度〃的变化而变

化，变化的关系式为5（力）=%（4一方2）（o4力《公，则该零件的体积为（）

4几卜84一164、324

A.—B.—C.——D.——

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

由5（/7）=万（4-川）恰好与一个半径为2的半球在高为/7的水平截面面积一致，由祖眶

原理，该零件的体积等于该半球的体积，从而可得答案.

【详解】

由祖眶原理，该零件在高为"的水平截面的面积为S（Z?）=?r（4-A2）（0</?<2）.

而S（/z）=万（4-〃2）恰好与一个半径为2的半球在高为h的水平截面面积一致，

所以该零件的体积等于该半球的体积：「=JX¥X2：,=等

乙JJ

14.用祖胞原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个凡何体，被平行于这

两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构

造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面

上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得

到一新几何体（如图2）,用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的

两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆三+，=l（y20）

925

绕y轴旋转一周后得一半橄榄状的几何体（如图3）,类比上述方法，运用祖唾原理可

求得其体积等于（）

A.15万B.30万C.45〃D.607r

【答案】B

【解析】

【分析】

构造•个底面半径为3,高为5的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据

祖晒原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥体积.

【详解】

构造一个底面半径为3,高为5的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点

的圆锥，

则当截面与顶点距离为"（）黜5）时•，小圆锥的底面半径为r,贝仁竹，

故截面面积为94-3-,

把旷=〃代入椭圆《+《=1可得工=土期三，

9255

二•橄榄球形几何体的截面面积为乃r=94-等,

由祖厢原理可得半个橄榄球形几何体的体积V=%柱-%惟=9万x5-gx94x5=3（）乃.

故选:B

15.刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立

方二寸.规之为圆困，径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣牟合

方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，

计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图

~）.记正方形。ABC的边长为r,设。尸=/?,过P点作平面PQRS平行于平面

OABC.OS=OO=r,由勾股定理有"=PQ=J与—层，故此正方形PQRS面积是

r-h1.如果将图一的几何体放在棱长为/•的正方体内（如图二），不难证明图二中与

图一等高处阴影部分的面积等于〃L（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高

度为心不难发现对于任何高度小，此截面面积必为好，根据祖唾原理计算牟合方盖体

积（）

注：祖晒原理：“幕势既同，则积不容异意思是两个同高的立体，如在等高处的截

面积相等，则体积相等

图一图二图三

n83n163

AB.-r7iD.—户兀

-533

【答案】c

【解析】

【分析】

计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖晒原理可得图一中几何体体积，从而得

结论.

【详解】

V折钺=—Sh=-x厂x厂二—/

333

由祖胞原理图二中牟合方盖外部的体积等于V吸=;

10

所以图1中几何体体积为V

33

所以牟合方盖体积为8V=等3

故选：C.

16.我国南北朝时期的数学家祖晒提出了计算体积的祖晒原理：“事势既同，则积不容

异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几

何体的体积相等.已知曲线C：y=f,直线/为曲线C在点(1,1)处的切线.如图所示，阴

影部分为曲线c、直线/以及无轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所

得的几何体为T.给出以下四个几何体：

图①是底面直径和高均为1的圆锥；

图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何

体；

图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；

图④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高

为1的倒置圆锥得到的几何体.

根据祖眶原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是

A.①B.②C.③D.@

【答案】A

【解析】

【分析】

将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所

以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水

平截面的面积相等的，即为所求.

【详解】

几何体T是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，

且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为巧，切线对应的横坐标为4

f(x)=x2,f'(x)=2x,:.k=f"(\)=2

切线为y-l=2(x-l),即y=2x-l,

横截面面积5=加与2-乃X：=/()：)y

图①中的圆锥高为1,底面半径为可以看成由直线y=2x+l绕)轴旋转得到

横截面的面枳为S=加一

所以几何体T和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相

等，

故选A项.

【点睛】

本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然

后进行比较.属于难题.

17.祖原理也称祖氏原理，是我国数学家祖晒提出的一个求积的著名命题：“辕势既

同，则积不容异"，"辱"是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在

等高处截面积相等，则体积相等.满足V+丁416的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周

所得旋转体的体积为匕，由曲线V-y2=i6,)，=以，y=±4围成的图形绕y轴旋转一

周所得旋转体的体积为匕，则匕、匕满足以下哪个关系式()

17

A.匕=5匕B.V.=-V2C.匕=2%D.匕=匕

【答案】B

【解析】

【分析】

作出曲线在第一想象内的图象进行分析：当双曲线方程为：x2-y2=«2,高度为〃时，

双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，计算可得圆环的面积S=%q2为定值，

进而由由祖眶原理知等轴双曲线与渐近线绕了轴旋转一周所形成的几何体体积匕，与

底面半径为“，高为2a的圆柱体体积上一致，而满足丁+V416的点(x,y)组成的图

形绕y轴旋转一周所得旋转体为球体，体积为匕，通过分析计算可得

匕=唳，进而可得乂=:匕，从而得解.

【详解】

如图可知：当双曲线方程为：/-丁=",高度为时，

而大圆半径R可以由：代-序=/求出，即：R=正寿，

222

所以大圆的面积为：S2=7rR=7r^\la+hj=](，/+〃，，

所以圆环的面积为：S=S2-St=7rcr,为定值，

所以由祖唯原理知等轴双曲线与渐近线绕y轴旋转一周所形成的几何体体枳匕,

与底面半径为。，高为2a的圆柱体体积L一致,

而球体体积匕=;4得3=7/.242《2％,

333"

22

所以匕=%,匕=§%=§%•

故选：B.

18.南北朝时期的伟大数学家祖迪在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖唯

原理：“事势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被

任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的

体积相等.如图，两个半径均为1的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（）

4164

A.-B.—C.一冗D.37r

333

【答案】B

【解析】

【分析】

分析几何体的每层截面都是正方形，计算正方形的在上下距离中心"截面面积，再根

据正方形的特点想到顶点在中心的正四棱锥（上、下两个），计算正四棱锥的上下距离

中心力截面面积，通过发现面积之间的关系，结合祖晅原理即可求解.

【详解】

（左）（中）（右）

重叠部分的几何体的外接正方体如上图（左）所示，

在距离中心九处的截面正方形的边长是：2/=27F彳，

所以距离中心6处截面面积是S=（2炉=（2正-〃2『=出店一/）,

而从同一个正方体的中心位置，与底面四点连线构成的正四棱锥的示意图如上图

（中）所示，

在距离中心八处的截面正方形的边长是：2=与,

MQOQ

因为内切球的半径等于正方体棱长一半，

所以，MQ=OQ=R,

所以/。=〃，

在距离中心〃处的截面正方形的边长是：2/。=2〃，

以距离中心〃处截面面积是5=（2/。y=4/，

又因为正方体的水平截面面积为：（2/?丫，

所以（2尺）2-4层=4（尸-川），

所以剩余部分的截面面积如上图（右）“回”形面积为4（正-〃2）,

因此根据祖眼原理：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面

的平面所截，如果两个截面的面积总是相等“，可得：

左图几何体的体积加上中间图上下椎体的体积等于正方体的体积，

即有：

y+2x；（2R>R=（2R）3,

解得丫空*=争1皆，

故选：B.

二、多选题

19.我国古代数学家祖晒求几何体的体积时，提出一个原理：幕势即同，则积不容异.

这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所

截，若截得两个截面面积比为人,则两个几何体的体积比也为h如下图所示，已知线

段A8长为4,直线/过点A且与A8垂直，以8为圆心，以1为半径的圆绕/旋转一

周，得到环体M；以A,B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体

N；过AB且与/垂直的平面为耳，平面a//£,且距离为〃，若平面a截圆柱体N所

得截面面积为5,平面a截环体”所得截面面积为反，则下列结论正确的是

()

A.圆柱体N的体积为4万B.$2=2万£

C.环体M的体积为8乃D.环体〃的体积为8-

【答案】ABD

【解析】

【分析】

22

圆柱体N的体积为44，即可判断A,S,=2^\-h-4=8yJ\-h,$2=乃加-万看，即可

判断B,环体M体积为2乃%,可判断C、D.

【详解】

由已知圆柱体N的体积为4万，故选项A正确：

由图可得£=2次-层.4=8，1一》,52=万加-万看，

其中碇=（4+Jl-/??）,若=（4一J1-/F）,故邑=164-4,兀=2兀S、，故选项Bili

确；

环体M体积为2万％=2万•4%=8/,故选项D正确，选项C错误

故选：ABD

20.祖曜（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条

原理：“幕势既同，则积不容异这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处

的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为功，高皆为

。的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且

与夕距离为d的平面截两个几何体得到“及S环两截面，可以证明/=S环总成立，若

椭半球的短轴AB=6,长半轴CD=5,则下列结论正确的是（)

A.椭半球体的体积为307r

B.椭半球体的体积为157r

C.如果CF=4ED,以F为球心的球在该椭半球内，那么当球尸体积最大时，该椭半

球体挖去球尸后，体积为日乃

D.如果CF=4ED,以尸为球心的球在该半球内，那么当球尸体积最大时，该椭半球

体挖去球F后，体积为29万

【答案】AC

【解析】

【分析】

由题可得丫=3咻球=嗡柱-%!僚，可判断AB,利用椭圆的性质可得球尸的最大半径为

1,进而可判断CD.

【详解】

由题意知，短轴AB=6,长半轴8=5的椭半球体的体积为

丫=；/球=%桂一%税=》（［卜-；一乃（|b5=30万，.2正确，B错误；

椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3,长半轴长为5,所以半焦距为4,

由于CF=4FD,所以/椭圆的焦点，因此尸。是椭圆的最小焦半径，即球尸的最大半

径为|>

该椭半球体挖去球F后，体积为30乃-：7=与7，故C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题

21.祖晒，祖冲之之子，南北朝时代伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算

原理：祖睢原理：“幕势既同，则积不容异''.意思是如果两个等高的几何体在同高处截

得两几何体的截面面积相等，那么两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被

挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相

等，已知圆柱高为力，底面半径为r,则半椭球的体积是.

7

【答案】^r-h

【解析】

【分析】

依题意半椭球的体积即为圆柱的体积减去圆锥的体积，根据体积公式计算可得：

【详解】

12

解：依题意可得丫=喉柱一％傩=万"2/一§•公产"=］万丹/

7

故答案为：了h

22.我国南北朝时代的祖唯提出“‘幕势既同，则积不容异”，即祖咂原理：夹在两个平

行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截

面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等（如图1）.在xO），平面上，将双曲线

的一支'-丁=］及其渐近线和直线产0,产2围成的封闭图形记为。，如图2

42

中阴影部分.记。绕y轴旋转一周所得的几何体为C,利用祖胞原理试求。的体积为

【答案】8万

【解析】

【分析】

分别求出直线y=a（0«a<2）与渐近线以及与双曲线一支的交点，再求出。绕y轴旋

转一周所得的几何体为C的水平截面面积，利用祖晒原理得出。的体积.

【详解】

直线y=a(O«a<2)与渐近线丫=!彳交于点(2a,a),

与双曲线一支?-V=1交于点(2717/,a)

；O绕》轴旋转一周所得的几何体为Q,过(0,y)(O<^<4),

作Q的水平截面，则截面面积为S=4万，

利用祖晒原理得Q的体积相当于底面面枳为41，高为2的圆柱，

V=4;rx2=8;r.

故答案为：8万

23.我国南北朝时期的数学家祖曜(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖唾

原理：“塞势既同，则积不容异意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截

面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C:y=V,直线/为曲线C在点

(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线/以及x轴所围成的平面图形，记该

平面图形绕》轴旋转一周所得的几何体为Q.过(O,y)(04V41)作。的水平截面，所得

截面面积s=?()」i)2(用y表示)，试借助一个圆锥，并利用祖瞄原理，得出。体积为

【答案】

【解析】

【分析】

根据祖晒原理计算可得。体积.

【详解】

.过点(0,y)的直线与抛物线C：y=/的交点为(4,y)，04y41.

•••H线/为曲线C在点(1,1)处的切线，则切线的斜率为y'k=2,

切线方程为y=2x-i.

过点(o,y)的直线与切线y=2x-］的交点为(gl,”,

用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，

截面面积为")+/+--y=y(y-l)2；

I4J4V

取底面直径与高均为1的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆,

圆的半径为;(y-l),截面面积为符合题意.

则Q体积等于圆锥的体积等于，x;rx(L［xl=C.

3{2)12

故答案为：

24.祖也是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“嘉势即同，则积不容异”，

意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面

所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖晒原理，祖迪

原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积

利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程

为丁=1-/(-14》41),将。围绕＞轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖昭原理

它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为.

［答案］—##-7T

22

【解析】

【分析】

构造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的体积即可.

【详解】

构造如图所示的直三棱柱，高设为x,底面两个直角边为2,I

若底面积相等，则2x=7txl2,解得：XM5,下面说明截面面积相等，设截面距底面为

t,矩形截面长为a,圆形截面半径为r,由左图得到微="，所以a=2(l-f),所以

截面面积为2(lT)x]=(lT)n,由右图得至打=1-产，所以产=17,所以截面面积

为(1—)兀，两者截面面积相等，所以体积相等，所以抛物体的体积等于三棱柱的体

积，—x2xlx—=—

222

故答案为：y

四、双空题

25.我国古代数学家祖晒求几何体的体积时，提出一个原理：塞势即同，则积不容异.

意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，

若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间

的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为我,则两个几

何体的体积比也为h已知线段AB长为4,直线/过点A且与A8垂直，以8为圆心，以

1为半径的圆绕/旋转一周，得到环体”：以A,B分别为上下底面的圆心，以1为上

下底面半径的圆柱体N；过A8且与/垂直的平面为夕，平面a〃£,且距离为6,若

S.

平面a截圆柱体N所得截面面积为耳，平面a截环体M所得截面面积为邑，则”=

,环体〃体积为.

【答案】；8储

L71

【解析】

画出示意图的截面，结合图形可得鸟和邑的值，进而求出圆柱的体积，乘以2万，可得

环体M的体积，得到答案.

【详解】

画出示意图，可得耳=241一/12.4=8jl-»,$2=打成一万看,

其中碇=(4+Jl_〃2,

,----S.1

故S?=16,1—川•4=2"S1,EP—=—,

环体M体积为2万％=2乃-4万=8/.

26.祖地，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖晒原

理)：“募势既同，则积不容异''.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的

截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线c的焦点在y轴上，离心率

为手，且过点(G,26),则双曲线方程为:若直线x=0,x=l在第一

象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所

得几何体的体积为

【解析】

【分析】

由题意求得双曲线的方程，求出X=1在第一象限内与渐近线的交点N,与双曲线第一

象限内交点B的坐标，求出x=l与y轴交点由乃=3万，根据祖晅原

理，求出它绕》轴旋转一圈所得几何体的体积.

【详解】

双曲线c的离心率6=£=毡，.•"=述〃；

a33

/.b2=-a2；

3

，双曲线的方程为了'-17=1，过点(6,26),

3a

120

，a2=3f2

HP-a-....a.-T=lZ?=1>

双曲线方程为

3

则渐近线方程为丫=土百x

x=\在第一象限内与渐近线y=6x的交点N的坐标为(1,6),

2

x=lH双曲线E-V=l在第一象限交点8的坐标为(1,病,

3

记x=l与x轴交于点M(1,O),且4(0,6),如图，

n\MB\2-I|MN|2=6乃-3I=31，

故根据祖晒原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为由高为1的圆柱

“幕势相同”，故它绕X轴旋转一圈所得几何体的体枳为3万.

故答案为：±-/=］；3n.

3

27.祖晒是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“事势既同，则积不容

异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面

的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等”.现已知直线丫=±2与双曲线f-y2=i及其渐近线围成的平面图形G如图所示，

若将图形G被直线y=K-2<r<2）所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转

面的面积5=；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积丫=

X

【答案】兀4万

【解析】

【分析】

22

y=x厂一y=1

由直线卜=，，其中-24742,分步联立方程组和4求得4B的坐

y=t.y=t

标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为万，高为4

的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，双曲线其中一条渐近线方程为丁=》，

由直线y=f,其中-2q42,

(y=x

联立方程组，解得

22_j

联立方程组,解得

y=/

所以截面圆环的面积为s=wVi7予y-亦2=乃，即旋转面的面积为%

根据“塞势既同，则积不容异”，

可得该几何体的体积与底面面积为乃，高为4的圆柱的体积相同，

所以该几何体的体积为丫=万x4=4万.

故答案为：乃；4万.

28.美丽的广州塔，以其窈窕的身姿被广州人民亲昵地称为“小蛮腰”，它的整体轮廓

可以看成是双曲线的一部分绕虚轴旋转得到的.以下是研究广州塔的一个数学题型：

22

将曲线宁-品=l(0V>460,x>0)与x轴、y=60围成的部分绕y轴旋转一周，得到

一旋转体，直线y=〃绕y轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为

.根据祖迪原理，构造适当的一个或多个儿何体，求出此旋转体的体积为

（提示：祖晒原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任

意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）

【答案】[4+芨152071

【解析】

【分析】

将>代入曲线方程结合S=mc2即可得到答案；利用祖晒原理，构造一底面半径为

2,高为60的圆柱与一底面半径为8,高为60的倒立圆锥，即可得到答案.

【详解】

将广为代入曲线方程得，/=4+”，故截面.圆的面积为54+—K.

225I225）

利用截面圆面积结合祖咂原理，即构造几何体，使之再任意高度/?处，截面面积等于

由于4+赤7t=4乃++,构造两个几何体，先构造-底面半价为2,高为60的圆

柱，底面与所求旋转体的底面在同一平面内，再构造一底面半径为8,高为60的倒立

圆

锥，顶点在所求旋转体的底面，圆锥底面与所求旋转体底面平行，与底面距离为人的

平面

截圆柱面积为4万=S一截圆锥得圆，半径设为r,7所以r=S〃，面枳为

h601515

下产=皿=故$+$2=5,由祖晒原理

225-

所